Кванты Скотт Паттерсон Brainiac Кен Дженнингс Moneyball

И Д Т И Д О П Р Е Д Е Л А
133
Теперь фигура приобрела менее странную форму. Дуги сверху и снизу 
по-прежнему существуют, но они не столь ярко выражены. Еще одно 
усовершенствование: левая и правая стороны изогнутой фигуры ста-
ли более вертикальными, чем раньше. Несмотря на все изменения, два 
факта остаются постоянными: дуги внизу по-прежнему имеют длину πr, 
а каждая сторона — длину r. И конечно, площадь фигуры та же — это 
площадь исходного круга, так как это просто фигура, составленная из 
восьми частей круга.
По мере увеличения числа отрезков происходит нечто чудесное: фе-
стоны все больше и больше разглаживаются, превращая фигуру в пря-
моугольник. Дуги становятся более плоскими, а стороны — почти вер-
тикальными.
r
r
πr
В пределе бесконечно большого числа частей фигура превратится 
в прямоугольник. Но, как и прежде, два факта все еще остаются неиз-
менными: нижняя сторона прямоугольника равна πr, а высота — r.
r
πr
Но теперь задача упростилась. Площадь прямоугольника равна его 
ширине, умноженной на высоту, то есть произведение πr и r дает пло-
щадь прямоугольника, равную πr
2
. А так как у преобразованной фигуры 
такая же площадь, как и у исходного круга, то полученное значение явля-
ется также и площадью круга!

---

Ф И Г У Р Ы
134
В таких расчетах приятно то, что бесконечность приходит на помощь. 
В каждом отдельном шаге фигуры с фестонами выглядели странными 
и бесперспективными. Но когда вы доходите до ее предела, она стано-
вится простой и красивой, и все проясняется. Вот так работает исчисле-
ние бесконечно малых в своем лучшем проявлении.
Архимед использовал подобную стратегию, чтобы приблизиться к π. 
Он заменил круг на многогранник с прямыми сторонами, а затем удваи-
вал их число, чтобы приблизиться к идеальной округлости. Но вместо того 
чтобы согласиться на приближение неопределенной точности, он мето-
дично ограничивал π, поместив круг между вписанными и описанными 
многоугольниками, как показано ниже, на 6-, 12- и 24-сторонних фигурах.
Затем с помощью теоремы Пифагора он выразил периметры этих 
внутренних и внешних многоугольников, начиная с шестигранника 
и далее для многоугольников с 12, 24, 48 сторонами, и в конечном итоге 
для 96-стороннего многоугольника. Формула для него позволила дока-
зать, что
3 10
71
<  < 3 1
7
.
В десятичной системе счисления (которой у Архимеда не было) это 
означает, что π находится между 3,1408 и 3,1429.

---