Лекция №4. Определение и свойства первообразной функции и неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных функций

Производная от интеграла по переменной верхней границе. Пусть дан , где f(x)- заданная непрерывная ф/я на [a , b]. Этот интеграл зависит от границ интегрирования.
Пусть а–закреплена, а b –меняется. Обозначим b через х, а переменную интегрирования через t.

Функция I(x) называется интегралом по переменной верхней границе.
Теорема: Производная интеграла по переменной верхней границе равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхней границей:

Доказательство:По определению


Применим к последнему интегралу теорему о среднем
сЄ[ x , x+∆x ]

Итак,
Доказанная теорема является одним из основных в курсе математического анализа. Эта теорема устанавливает связь между определённым интегралом и производной.
Формула Ньютона-Лейбница
Вычислить определённые интегралы непосредственно по определению сложно даже для простейших функций. На практике определённые интегралы находят по формуле Ньютона-Лейбница.
Пусть дан ЕслиF(x) - одно из первообразных для f(x), то

Формула Ньютона-Лейбница читается: Определённый интеграл равен приращению первообразной на отрезке интегрирования.
Доказательство:По определению

Две первообразные отличаются на постояннуюI(x)=F(x)+c
(1)
Для определения постоянного спредположим х = а, тогда

С = -F(x);следовательно,

Полагая x = b, получим формулу Ньютона-Лейбница,

Примеры :
1.
2. .
Замена переменной в определённом интеграле
Пусть дан определённый интеграл , где f(x)непрерывна на [a, b] и пусть х = φ(x).