Лекция №4. Определение и свойства первообразной функции и неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных функций

Пример:
= =
1. Если подинтегральная функция является нечетной относительно sinx, т.е. а) R(-sinx.cosx)=-R(sinx.cosx), то t=sinx
б) Если подинтегральная функция четная и относительно sinx и cosx
R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx),тоt=tgx.
Пример





III. Рассмотрим интегралы вида
а)числа m и n –целые и положительные , и хотя бы одно из них нечетное число. Пусть m=2k+1; t=cosxsinxdx=-dt


б)m и n –целые положительные и четные. Применяем формулы понижения степени cos sin sinxcosx=

в)m и n –четные и хотя бы одно из них отрицательное. Здесь следует сделать замену tgx=t или ctgx=t
Пример:

Произведения подинтегральной функции преобразуют в сумме по известным формулам:cosmxcosnx=
sinmxsinnx=
sinmxcosnx=

Пример:

1. 
   
   
2. 
   
   

В функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции.
Не всякая первообразная, даже тогда, когда она существует, выражается в конечном виде через элементарные функции.

Например:

-интеграл Пуассона, -интеграл Френеля
-интегральный синус, -интегральный косинус -интегральный логарифм, -интеграл Лапласа, все эти интегралы в конечном виде не выражаются и находят их приближенным способом.

Задачи, приводимые определенному интегралу. Определение и основные свойства определенного интгерала. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.
План:

1. 
   Задачи, приводимые определенному интегралу.
   
2. 
   Определение и основные свойства определенного интгерала. Формула Ньютона-Лейбница.
   
3. 
   Замена переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.
   

Требуется найти площадь любой плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией. Частный случай: Пусть фигура ограничена прямыми х=а,х=b , осью Ох и кривой y=f(x), причём f(x) ≥ 0. Такая фигура называется криволинейной трапецией. Отрезок [a , b] разобьём на n частей точками а=х₀ , х₁, ... , х_n=b. Через точки деления проведём прямые параллельные оси Оyи получим n криволинейных трапеций. Пусть ΔS₁ , ΔS₂ ,ΔS₃ , ..., ΔS_n – площади соответствующих трапеций

Найдем площадь ΔS_i. Длина отрезка [x_{i-1 ,}x_i] считается настолько малым, что ΔS_i≈ f(ξ_i) Δx_{i .}где Δx_i= х_i-х_i-1,

п

ри n→∞ точное значение площади
Рассмотренная задача привела к определённому интегралу.