Лекция №4. Определение и свойства первообразной функции и неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных функций

Свойства определённого интеграла.

1. 
   Если поменять местами пределы интегрирования, то интеграл изменит свой знак
   

2.
3.Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

4. Определённый интеграл от суммы или разности двух функций равны сумме или разности двух интегралов от этих функций

5. Если [а,b] разбит на части точкой с, гдеа<с, то определённый интеграл по отрезку [а,b] равен сумме определённых интегралов по его частям

Доказательство: Так как разбиение [а,b] выполняется произвольно , то и с можно взять за с=х_к

6. Если функция не отрицательна на [а,b], то определённый интеграл также

Доказательство: Так как f(х)≥0 на [а,b], то f(ξ_i)≥0, f(ξ_i)∆x≥0, отсюда

7 . Если f(х)≥φ(х) на [а,b], то


Доказательство: Пусть f(х)≥φ(х)=>f(х)-φ(х)≥0 по свойству 6.

по свойству 4.

8. Теорема о среднем. Если функция у= f(х) непрерывна на [а,b] , то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка с, для которой справедливо равенство

Доказательство: Так как f(х) непрерывна на [а,b], то эта функция имеет наибольшее и наименьшее значения.М- наибольшее значение, m- наименьшее значение для всех хє[а,b] m≤ f(х) ≤М.

,
Так как функция непрерывная, то существует точка с, для которых

m≤ f (c )≤M, f(с) – среднее значение функции.
Так как функция непрерывна, то она принимает все значения, заключённые между m и М, следовательно, при некотором значении с (а<ξ
Определённый интеграл ∫f(x)dx равен площади криволинейной трапеции. f(c) (b-a) – площадь прямоугольника с основанием равным длине отрезка [a,b] и высотой равной значению функции в некоторой точке. Итак, площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с тем же основанием.
В этом заключается геометрический смысл теоремы о среднем.