Лекция №4. Определение и свойства первообразной функции и неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных функций

Теорема: Если 1.φ(α)=a, φ(β)=b, 2. φ(t) и φ’(t) непрерывно при t Є [α, β] то

Доказательство: Если F(x) – первообразная для f(x) , то
(2)
(3)
Из (1) получим Из (2) получим

Теорема доказана.
Пример:

1. 
   
   

2. 
   
   

Интегрирование по частям в определённом интеграле
Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы на [a, b] и d(uv)=udv+vdu,тогда справедлива следующая формула, которая называется формулой интегрирования по частям



Пример 1.

2. 
   
   

. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов.
План:

1. 
   Несобственные интегралы. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
   
2. 
   Несобственные интегралы от неограниченных функций.
   
3. 
   Признаки сходимости несобственных интегралов.
   

Рассмотрим функцию f (x), которая определена и непрерывна на полупрямой ax +  .
Рассмотрим также интеграл
I (R) = , (1)
гдеRa, который по нашему предположению существует (он также существует так как функция f(x) непрерывна на [a;b)). Итак, при наших предположениях на полупрямой aR +  задана функция I (R), определенная соотношением (1).
Исследуем вопрос о предельном значении функции I(R) при R , то есть вопрос о существовании предела
Определение. Если существует конечный предел
То этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале[ a;+ ) и обозначается