Лекция 6 проблема быстрых и медленных
Бифуркации динамических систем
Download 497.75 Kb. Pdf ko'rish
|
Л6 Моделирование биология
|
Бифуркации динамических систем. Мы рассматриваем динамические модели биологических процессов, то есть считаем, что система может быть описана системой дифференциальных уравнений: (6.15) Здесь x – вектор переменных, - вектор параметров. Пусть – стационарное решение – особая точка системы, координаты которой представляют собой решение системы алгебраических уравнений: . (6.16) Зафиксируем некоторое = *, и рассмотрим фазовые портреты системы при данном значении параметра, а также при > * и < *. Фазовые портреты топологически эквивалентны, если существует невырожденное непрерывное преобразование координат, которое переводит все элементы одного фазового портрета в элементы другого. Для того чтобы представить себе такое преобразование на поверхности, представим себе, что поверхность резиновая, ее можно сжимать и изгибать, но нельзя перекручивать. При таких преобразованиях все начальные точки будут однозначно переходить в точки деформированной «резиновой» поверхности, незамкнутые кривые будут переходить в незамкнутые, замкнутые – в замкнутые, связность множеств не будет нарушаться. Такое преобразование происходит с фазовыми кривыми при невырожденном непрерывном преобразовании координат. Недаром говорят, что топология – это «резиновая геометрия» Если фазовые портреты при значениях > * и < * топологически не эквивалентны, это означает, что при происходит качественная перестройка системы. Тогда говорят, что * — бифуркационное значение параметра. Простейший пример бифуркационного значения параметра – нулевое значение собственной константы скорости роста в уравнении экспоненциального роста (2.7): . При r>0 стационарное значение x=0 – неустойчиво, при r<0 – устойчиво. r*=0 — бифуркационное значение параметра. Напомним, что биологический смысл величины r – разница коэффициентов рождаемости и смертности. Если рождаемость преобладает – популяция растет, если преобладает смертность – вымирает. Переход от выживания к вымиранию – качественная перестройка системы. С понятием бифуркации мы также столкнулись в лекции 3, когда рассматривали смену режимов в дискретном уравнении Ферхюльста при увеличении параметра роста. Там режим монотонного роста сменялся режимом двухточечного цикла, следующее бифуркационное значение параметра приводило к четырехточечному циклу, каждая дальнейшая бифуркация вела к удвоению предельного цикла, и, наконец, наступал хаос. Бифуркационную диаграмму для системы двух линейных автономных уравнений мы рассматривали в лекции 4. На рис. 4.11 представлена бифуркационная диаграмма для системы двух линейных автономных уравнений. На ней мы видим бифуркационные границы двух типов – линии – оси координат 0 особой точки или разным типом устойчивости, и точку (0,0) – начало координат, где соприкасаются несколько различных областей. Отметим, что границы устойчивый узел – устойчивый фокус и неустойчивый фокус неустойчивый узел не являются бифуркационными, т.к. переход узел фокус (без смены устойчивости) приводит к топологически эквивалентному фазовому портрету (его можно получить, «изгибая» плоскость). Для оценки «сложности» бифуркации вводится понятие «коразмерности». Коразмерность k совпадает с числом параметров, при независимой вариации которых эта бифуркация происходит. В системе происходит бифуркация коразмерности k (codim k, dimension — размерность), если в ней выполняются k условий типа равенств. Значение k=0 соответствует отсутствию бифуркации в данной точке. На рис. 4.11. линии представляют собой бифуркации коразмерности 1, а начало координат – бифуркацию коразмерности 2. Бифуркации разделяют на локальные и нелокальные. Все рассмотренные нами ранее бифуркации, а также другие бифуркации смены устойчивости или исчезновения предельного множества в результате слияния с другим предельным множеством (как мы это увидим при параметрическом переключении триггера в лекции 7) – локальные. Они диагностируются с помощью линейного анализа ляпуновских показателей (собственных чисел). Нелокальные бифуркации нельзя определить на основе линейного анализа окрестности стационарного состояния, здесь требуется нелинейный анализ системы. К нелокальным бифуркациям относятся образование сепаратрисных петель, касание аттрактором сепаратрисных кривых или поверхностей. Бифуркации аттракторов принято подразделять на мягкие (внутренние) бифуркации и кризисы (жесткие бифуркации). Внутренние бифуркации приводят к топологическим изменениям самих притягивающих множеств, не затрагивая их бассейнов притяжения – областей, из которых фазовые траектории сходятся к данному аттрактору. Кризисы – бифуркации аттракторов, сопровождающиеся качественной перестройкой границ областей притяжения (бассейнов) аттракторов. Пример — бифуркация слияния устойчивого узла с седлом, в результате чего аттрактор исчезает (рис. 6.5). Часто кроме бифуркационных диаграмм для наглядности строят фазопараметрические диаграммы. В этом случае по одним координатным осям откладывают значения параметров, а по другим – динамические переменные или связанные с ними величины. Получают некоторую гиперповерхность, точки которой соответствуют определенным динамическим режимам, меняющимся с изменением параметров. Бифуркации на таких диаграммах могут проявляться в образовании складок поверхности или в расщеплении ее на несколько частей. Резкие значительные изменения переменных состояния динамической системы, вызванные малыми возмущениями в правых частях уравнений, в частности, малыми изменениями параметров, часто называют катастрофами. Теория катастроф была развита топологом Рене Тома (Thom R. Structural Stability and Morphogenesis. N.Y., 1972). В основу ее была положена разработанная ранее теория особенностей Уитни. Показано, что существует небольшое количество элементарных катастроф, с помощью которых можно локально описать поведение системы. С основами теории катастроф можно познакомиться по книге: В.И. Арнольд. Теория катастроф. М., Изд. МГУ, 1983. Download 497.75 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|