Лекция 6 проблема быстрых и медленных

Трехкратное равновесие (сборка) 
Бифуркация состоит в слиянии трех состояний равновесия – узлов Q
1
, Q
2
и 
седла Q
0
между ними (в рождении двух устойчивых узлов из седла) (рис. 6.7, 
6.8) 
 
Рис. 6.7. Трансформации фазового портрета при бифуркации «рождение двух узлов из седла». а – 
фазовый портрет в незаштрихованной области (рис. 6.8 а);б – фазовый портрет на границе l
1
; в – 
фазовый портрет на границе l
2
; в – фазовый портрет в заштрихованной области представлен двумя 
устойчивыми узлами и седлом между ними.

---

Рис. 6.8. Бифуркация трехкратного равновесия (катастрофа – сборка).
а  бифуркационная диаграмма, б – фазопараметрическая диаграмма
Бифуркация имеет коразмерность 2 и требует для своего описания как 
минимум двух параметров. Модельной системой для нее служит уравнение: 
(6.19) 
Система имеет три особых точки. Линейный анализ показывает, что 
при 
2
>0 и любом 
1
система имеет единственное состояние равновесия Q
0 
с 
отрицательным собственным значением, то есть асимптотически устойчивое. 
При 
2
<0 существует 
область значений 
1
(заштрихованная 
область 
на 
бифуркационной диаграмме (рис.6.8, а), где система имеет три состояния 
равновесия Q
1
, Q
2
и Q
0
, причем Q
0 
- неустойчивое состояние равновесия., 
а Q
1
, Q
2 
- устойчивые. Такие системы (триггерные) широко применяются для 
описания бистабильных режимов, их модели будут подробно рассмотрены в 
лекции 7. 
Границы 
области 
бистабильности 
образованы 
линиями l
1
и l
2 
, 
соответствующими бифуркациям седло-узел, на которых два из состояний 
равновесия сливаются и исчезают. Линии l
1
и l
2
 сходятся в точке А (
1
= 
2 
= 0), 
где 
одновременно 
выполняются 
два 
условия:  (
1
, 
2
) 
в 
точках Q
1
и Q
2 
одновременно равны нулю, поэтому бифуркация в этой точке, 
называемая трехкратным равновесием, имеет коразмерность 2. Для уравнения 
6.19. в точке А фазовый портрет представляет собой седло В 
фазопараметрическом пространстве (рис. 6.8, б) имеет место структура, 
называемая сборкой. Верхний и нижний лист сборки соответствуют 
устойчивым состояниям равновесия, а средний – неустойчивому. На ребрах 
сборки имеют место катастрофы типа складки. 
Модели, содержащие катастрофу типа сборки, используются при описании 
релаксационных автоколебаний малой амплитуды, колебательных режимов со 
смещением средней точки и диссипативных структур ступенчатого типа. 
Слияние четырех или пяти особых точек приводит к катастрофам типа 
«ласточкин хвост» (рис. 6.9) и «бабочка». (Арнольд В.И. Теория катастроф. М., 
Знание, 1983). Фазовые пространства при этом – четырех- и пятимерные. 
Отметим важное различие катастроф типа складки и сборки. «Складка» не 
описывает поведение системы на больших временах. Изображающая точка 
уходит из рассматриваемой области фазового пространства, где справедлива 

---

формула (6.18). Катастрофа складка не локализуема, то же относится к 
катастрофе «ласточкин хвост» с четной коразмерностью (рис. 6.9).