Лекция 6 проблема быстрых и медленных

Фермент-субстратная реакция Михаэлиса-Ментен 
Классическим примером является модель базовой ферментативной реакции, 
предложенная Михаэлисом и Ментен в 1913 г.
Схема реакции может быть представлена в виде: 
E + S
ES,
ES
P + E
 
(6.6) 
Схема означает, что субстрат S соединяется с ферментом E в комплекс ES, в котором 
происходит химическое превращение, и который затем распадается на фермент E и 
продукт P. По закону 
действующих 
масс, скорость 
реакции 
пропорциональна 
произведению концентраций. Обозначив концентрации реагентов малыми буквами:
s=[S], e=[E], c=[ES], p=[P],

---

получим систему уравнений:
(6.7)
В системе (6.7.) учтены следующие процессы:
Субстрат S расходуется, образуя комплекс ES (бимолекулярная реакция), и его 
концентрация увеличивается при распаде комплекса;
Фермент E расходуется на образование комплекса ES, его концентрация 
увеличивается при распаде комплекса.
Комплекс ES образуется из фермента E и субстрата S (бимолекулярная реакция) и 
распадается на субстрат S и фермент E.
Продукт P образуется при распаде комплекса.
Для полной математической формулировки задачи Коши необходимо задать начальные 
условия:
s
0
(0)=s
0
, e(0)=e
0
, c(0)=0, p(0)=0. (6.8) 
Уравнения (6.7) не являются независимыми. Кроме того, последнее 
уравнение отделяется от первых трех. Если система первых трех уравнений 
решена, концентрация продукта может быть рассчитана по формуле: 
В соответствии со схемой реакций (6.6 6.7) общее количество фермента, свободного и 
связанного в комплекс, сохраняется:
е(t) + с(t) = e
0
. 
Это условие позволяет одно из дифференциальных уравнений системы (6.7) заменить 
алгебраическим, и модель сводится к двум дифференциальным уравнениям:
(6.9)
c начальными условиями: s
0
(0)=s
0 
, c(0)=0.
Введем безразмерные переменные и параметры:
(6.10)
Запишем уравнения (6.9) в безразмерном виде:

---

(6.11)
Из (6.10) следует, что (К )>0.
Поскольку реакция превращения фермент-субстратного комплекса необратима, уже из 
схемы реакций (6.6) ясно, что с течением времени весь субстрат будет превращен в 
продукт, и в стационарном состоянии концентрации и субстрата и комплекса станут 
равны нулю: x=0, y=0.
Систему (6.7) нельзя решить аналитически. Проанализируем качественно, как ведут 
себя x(t) и y(t).
Вблизи =0 dx/d <0. Это 
означает, 
что x уменьшается 
от x=1. 
В 
то 
же 
время dy/dt>0, y растет от y=0 до величины y=x/(x+K), при которой правая часть 
уравнения для dy/dt обращается в нуль. После этого величина y будет уменьшаться до 
нуля. Таким образом, концентрация фермент-субстратного комплекса y проходит через 
максимум. В это время величина x (концентрация субстрата) монотонно уменьшается. 
Относительная концентрация свободного фермента e/e
0
сначала убывает а затем снова 
возрастает до величины e/e
0
=1, поскольку с течением времени субстрат исчерпывается, и 
все меньшая доля фермента оказывается связанной. Кинетические кривые изображены на 
рис. 6.2.