Лекция 6 проблема быстрых и медленных

Модельные системы 
Для описания событий, происходящих вблизи бифуркационной границы удобно 
использовать системы самых простых уравнений, обычно – полиномиальных, 
которые описывают качественные особенности процесса. Такие системы 
называются модельными и активно используются в теории бифуркаций и в 
теории катастроф. Например, для системы, которая может быть описана одним 
автономным дифференциальным уравнением, модельная система имеет вид: 
Условием 
вырождения 
(бифуркации) 
является 
равенство 
нулю 
коэффициента a, то есть отсутствие в правой части линейного члена. 
В качестве модельной системы, описывающей бифуркацию коразмерности k, 
обычно выступает полиномиальная система l k уравнений, зависящая 
от k малых параметров. При нулевых значениях параметров в системе возникает 
вырождение, а при вариации параметров происходит бифуркация. В 
простейшем случае в качестве параметров выступают вещественные части 
собственных чисел. Размерность модельной системы l совпадает с количеством 
собственных чисел, вещественные части которых обращаются в нуль при 
бифуркационном значении параметра . 
Рассмотрим основные бифуркации – катастрофы. 
Седло-узловая бифуркация (складка). 
Пусть в системе при < * существуют два состояния равновесия: устойчивый 
узел Q и седло S (Рис. 6.5, а). При = * происходит слияние узла и седла с 
образованием негрубого состояния равновесия, называемого седло-узлом. (рис. 
6.5, б). 
При > * положение равновесия исчезает (рис. 6.5, в). Переменная x с 
течением времени стремится к бесконечности. Поскольку в результате 
бифуркации аттрактор (узел) исчезает, границы бассейнов должны качественно 
перестроиться. Следовательно, данная бифуркация является кризисом 
(катастрофой). Простейшая модельная система, описывающая данную 
бифуркацию, имеет вид: 

---

(6.17) 
Уравнение (6.17) имеет два стационарных состояния 
Линеаризуем уравнение (6.17) в окрестности стационарного состояния. 
Собственные значения 
. 
Таким 
образом x
1
— 
устойчивое 
состояние, x
2
—неустойчивое. 
При  = 0 имеем x
1 
= x
2 
= 0, и собственное значение в этой точке равно нулю. 
Бифуркация 
имеет 
коразмерность 1, 
так 
как 
выделяется 
одним 
условием ( )=0. На рис. 6.6 а изображена фазопараметрическая диаграмма 
системы (6.17). Если бифуркация седло-узел происходит в двупараметрической 
системе, то в фазопараметрическом пространстве ей соответствует особенность 
(катастрофа) типа складки вдоль линии l* на плоскости параметров. 

---

Поясним, как можно пользоваться образами теории катастроф при изучении 
математических моделей на примере модели второго порядка, содержащей 
переменные x  и u. u – 
это 
фактически 
управляющий 
параметр , бифуркационному значению которого = * соответствует u=0. 
Пусть x – «быстрая» переменная, но исключить ее нельзя, поскольку система 
не удовлетворяет условиям Теоремы Тихонова (см. выше), так как быстрый 
процесс не везде устойчив. «Складка» соответствует модели 
(6.18) 
Здесь  >> 1, характерное время изменения переменной x будем считать 
порядка единицы. Изоклина P=0 имеет устойчивую ветвь – аттрактор в форме 
«складки». При медленном уменьшении u в соответствии с первым уравнением 
(6.18) при достижении u=0 произойдет срыв изображающей точки, которая 
либо уйдет на , либо перескочит на другой устойчивый аттрактор. Заметим, 
что в реальных моделях такая устойчивая ветвь всегда присутствует. 
Катастрофа типа «складки» появляется в моделях, описывающих 
релаксационные колебания, «ждущие» режимы и триггерные системы 
(параметрическое переключение). В распределенных моделях (2 том лекций) 
модели, имеющие «складки», используются при описании автоволновых 
процессов и диссипативных структур.