Loyiha toshkent davlat yuridik universiteti a. Xudaynazarov

Masala. Quyidagi optimallashtirish masalasini eching: 
 
Quyidagi cheklovlar ostida 

49 
 
 
Yechim. So‘ngi cheklovni formulaga mos ravishda yozib chiqamiz: 
 
Endi Lagranj funksiyasini quramiz: 
. 
Lagranj funksiyasining maksimallashtirish uchun kerakli shartlarni yozib chiqamiz: 
      (I) 
         (II) 
           
            (III) 
    
      (IV) 
 
     (V) 
    
        (VI) 
    
                   (VII) 
IV-,V- va VI-shartlar uchta holatni ko‘rib chiqishni talab qiladi: 
1-holat. 
   yoki   
; 
2-holat. 
   yoki   
; 
3-holat. 
   yoki   
. 
Ya’ni 8 ta vaziyatni ko‘rish lozim. 
1-vaziyat. Agar 
 bo‘lsa, u holda 1-holatning o‘ng qismidan kelib chiqib, 
quyidagini  keltiramiz: 
,  va  2-holatning  o‘ng  qismidan  kelib 
chiqib,  quyidagini  keltiramiz: 
.  Ya’ni  biz  quyidagi 
tenglamalar tizimini hosil qildik: 
 
Uni  echib,  quyidagini  olamiz: 
  ya’ni  ziddiyatga  keldik  –  vaziyat 
boshida buni faraz qilmagandik. Bundan tashqari, III-shart qondirilmaydi. 
2-vaziyat. Agar 
 bo‘lsa, u holda quyidagi hosil bo‘ladi: 
 
Uni echib, quyidagini olamiz: 
 yana ziddiyatga keldik. 
3-vaziyat.  Agar 
  bo‘lsa,  u  holda  ikkinchi  vaziyatga  o‘xshash  ziddiyat 
kelib chiqadi. 
4-vaziyat. Agar 
 bo‘lsa, u holda III-shart qondirilmaydi. 
5-vaziyat. Agar 
 bo‘lsa, u holda 1-holatning o‘ng qismidan kelib chiqib, 
quyidagini  keltiramiz: 
.  Bundan  tashqari,  2-holatning  o‘ng 
qismidan  kelib  chiqib,  quyidagini  keltiramiz: 
.  Uchinchi 
holatning o‘ng qismidan kelib chiqib, quyidagini keltiramiz:
 
. Ya’ni 
biz quyidagi tenglamalar tizimini hosil qildik: 
 
Uni echib, quyidagini olamiz: 
,
.   
6-vaziyat. Agar 
 bo‘lsa, u holda III-shart qondirilmaydi. 
7-vaziyat. Agar 
 bo‘lsa, u holda  

50 
 
 
Uni echib, quyidagini olamiz: 
,
.   
8-vaziyat. Agar 
 bo‘lsa, u holda  
 
Uni echib, quyidagini olamiz: 
,
.   
Shunday  qilib,  5-,  7-  va  8-vaziyatlarda  biz  uchta  statsionar  nuqtani  aniqladik.  Ulardan  faqat 
bittasi, funksiyaning minimal qiymatiga olib keladi. Bu nuqta: 
. 
Masala. Quyidagi optimallashtirish masalasini eching: 
 
quyidagi cheklovlar ostida 
, 
 
Yechim.  Mazkur  masalaning  analitik  yechimini  talabaga  uy  vazifasi  sifatida  topshiramiz. 
To‘g‘ri javobni Maple 15 dasturi orqali beramiz: 
 
TAYORLANISH UCHUN SAVOLLAR: 
1.
 
Aniqlik sharoiti deganda nimani tushunasiz? 
2.
 
Bir va ikki o‘zgaruvchili funksiyalarga misollar keltiring. 
3.
 
Chiziqli va chiziqsiz funksiyalarga misollar keltiring. 
4.
 
To‘g‘ri va teskari bog‘liqli funksiyalarga misollar keltiring. 
5.
 
Funksiyaning  eng  katta  qiymati  va  eng  kichik  qiymati,  lokal 
maksimumi va lokal minimumiga ta‘riflar bering. Misollar keltiring. 
6.
 
Bir  o‘zgaruvchili  funksiyaning  hosilasi  nimani  anglatadi?  Grafik 
yordamida tushuntirib bering. 
7.
 
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning hususiy hosilasi nimani anglatadi? 
8.
 
Optimallashtirish tushunchasi nimani anglatadi? 
9.
 
Bir 
o‘zgaruvchili 
funksiyani 
uzluksiz 
va 
cheklovsiz 
optimallashtirish usulini tushuntirib bering (muayan misol yordamida).  
10.
 
 Ikki 
o‘zgaruvchili 
funksiyani 
uzluksiz 
va 
cheklovsiz 
optimallashtirish usulini tushuntirib bering (muayan misol yordamida). 
11.
 
 Chiziqli  dasturlash  usulini  grafik  orqali  tushuntirib  bering 
(muayan sodda misol yordamida). 
12.
 
 Ko‘p  o‘zgaruvchili  chiziqsiz  funksiyani  tengliklardan  iborat 
bo‘lgan  cheklovlar  ostida  optimallashtirishni  (ya‘ni  Lagranj  usulini) 
tushuntirib bering (muayan sodda misol yordamida). 

51 
 
13.
 
Ko‘p  o‘zgaruvchili  chiziqsiz  funksiyani  tengsizliklardan  iborat 
bo‘lgan  cheklovlar  ostida  optimallashtirishni  (ya‘ni  Kun-Taker  usulini) 
tushuntirib bering (muayan sodda misol yordamida). 
MUSTAQIL ISHLASH UCHUN KEYSLAR. 
Keys 2.1. Adliya vazirligi aholining huquqiy ongini oshirish bo‘yicha 
targ‘ibot  ishlarini  amalga  oshirmoqchi.  Targ‘ibot  uchun  oyiga  2000  dol. 
ajratildi.  Radioda  1  minutli  targ‘ibotning  narxi  5  dol.,  oynai  jaxonda  20 
dol.  ga,  internetda  esa  1  dol.  teng.  Radioda  qilingan  1  minutli  targ‘ibot 
0,05 mln. kishini qamrab oladi, oynai jahon orqali qilingani esa - 0,1 mln. 
kishini, internet orqali qilingani esa – 0,05 mln. kishini. Oynai jahonda bir 
oyda  ko‘pi  bilan  30  minut  targ‘ibot  qilsa  bo‘ladi,  lekin  vazir  kamida  10 
minut  targ‘ibot  qilish  lozimligini  aytdi.  Radioda  bir  oyda  ko‘pi  bilan  40 
minut  targ‘ibot  qilsa  bo‘ladi,  lekin  vazir  kamida  5  minut  targ‘ibot  qilish  
lozimligini aytdi. Oynai jahon, radio va internetda umumiy targ‘ibot vaqti 
80  minutdan  oshmasligi  lozim.  Bir  oyda  jahon,  radio  va  internetda  necha 
minut targ‘ibot qilinsa,  targ‘ibot eng ko‘p  kishini qamrab  oladi?  Optimal 
yechim  tanlansa,  jami  necha  mln.  kishi  targ‘ibot  bilan  qamrab  olinadi? 
Turg‘unlik  tahlilini  amalga  oshiring.  Keysni  yechishda  QM  for  Windows 
dasturidan yoki chiziqli optimallashtirishning grafik usulidan foydalaning. 
Keys  2.1.  Faraz  qilaylik,  HMQO  rahbarlari  yuz  ming  kishiga  to‘g‘ri 
keladigan soliq jinoyatlari miqdorini (z) kamaytirishmoqchi. Tadqiqotlarga 
ko‘ra, jinoyatlar soniga huquqiy ong indeksi (x, qiymatlari 0 dan 10 gacha 
bo‘lgan oraliqda yotadi) teskari va foyda soliq stavkasi (t, qiymatlari 0 dan 
100% gacha yotadi) chiziqsiz ta‘sir etmoqda: 
, 
ya‘ni,  huquqiy  ong  o‘zgarmay  faqat  soliq  stavkasi  oshirilsa,  avval 
byudjetga  tushumlar oshadi va soliqni yashirish holatlari kamayadi, lekin 
muayan  qiymatga  (t=0,25)  yetgandan  so‘ng,  soliqni  yashirish  holatlari 
ko‘payib  ketadi.  Soliq  stavkasi  ozgarmay  faqat  huquqiy  ong  indeksi  1  ga 
oshsa, soliq jinoyatlari soni 150 ga kamayadi. Lekin huquqiy ong 0ga teng 
bo‘lsa,  hattoki  soliq  olinmasa  ham,  jinoyatlar  soni  1500  dan  past  bo‘la 
olmaydi. 
2014  yilda  tadbirkorlarning  huquqiy  ongi  bir  birlikka  oshganda,  0,5 
mln.  doll.  mablag  sarflanishi  kerakligi  aniqlandi.  Shundan  kelib  chiqib, 
tadbirkorlarning  huquqiy  ongini  oshirish  maqsadida  hukumat  tomonidan 
2015 yil uchun jami 2 mln. doll. mablag‘ ajratildi:  
 

52 
 
Moliya  vazirligi  mutahassislarining  tahliliga  ko‘ra,  soliq  stavkasi 
oshirilsa,  avval  byudjetga  tushumlar  oshadi,  lekin  muayan  qiymatga 
(t=0,25) yetgandan so‘ng, soliqni yashirish holatlari ko‘payib ketadi, ya‘ni 
byudjet tushumi (T) soliq stavkasidan quyidagicha bog‘liq: 
 
Hukumat  2015  yil  uchun  byudjetga  soliq  tushumlarini  19  mlrd.  doll. 
miqdoridan kam bo‘lmasligini belgilab qo‘ydi: 
. 
Soliq  stavkasi  va  huquqiy  ong  indeksi  qanday  qiymatlarga  ega 
bo‘lganda,  soliq  jinoyatlari  miqdori  minimal  bo‘ladi?  Keysni  yechishda 
Maple  15  dasturidan  yoki  chiziqsiz  optimallashtirishning  Kun-Taker 
usulidan foydalaning. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

53 
 
3-MAVZU. MURAKKAB TIZIMLARNING DINAMIKASI 
TAHLILI 
Reja: 
3.1.  Umumiy tushunchalar 
3.2.  Skalyar dinamik tizimlar 
3.3.  Vektorli dinamik tizimlar 
 
3.1. 
UMUMIY  TUSHUNCHALAR.  Agar  vaqt  o‘tgan  sari,  tizim 
holat o‘zarib borsa, bunday tizim dinamik tizim deyiladi. Dinamik tizimlar 
xarakati differensial va farqli tenglamalar yordamida tushuntiriladi.  
Ta’rif.  Agar  muayan  tenglamada  qidirilayotgan  funksiyaning 
hosilalari  yoki  hosilasi  uchrasa,  u  holda  bunday  tenglama  differensial 
tenglama  (DT)  deb  ataladi.  Agar  bunday  tenglamaning  yechimi  yoki 
yechimlari mavjud bo‘lsa, bular - mos ravishda yoki muayan funksiya yoki 
cheksiz miqdordagi funksiyalar to‘plamidir. 
DT lar ikki guruhga bo‘linadi: oddiy differensial tenglamalar (ODT) 
va  hususiy  differensial  tenglamalar  (HDT,  ya’ni  hususiy  xosilalardan 
tarkib  topgan  differensial  tenglamalar)
34
.  ODT  larda  faqatgina  bir  dona 
bog‘liqsiz  o‘zgaruvchiga  (ya’ni  vaqt  yoki  fazodagi  biror  bir  nuqta)    ega 
bo‘lgan funksiyalar mavjud bo‘ladi. Ya’ni barcha funksiyalar faqatgina bir 
dona o‘zgaruvchidan bog‘liq bo‘ladi va hosilalar hususiy bo‘lmaydi. HDT 
larda  esa  ko‘p  o‘zgaruvchili  (ya’ni  vaqt  va  fazodagi  nuqtalar  kabi 
bog‘liqsiz  o‘zgaruvchilarga  ega  bo‘lgan)  funksiyalar  mavjud  bo‘ladi. 
Bunday tenglamalardagi hosilalar - hususiy va aralash hosilalardir.  
Differensial  tenglamalar  (DT)  uzluksiz  vaqt  davomidagi  jarayonlarni 
modellashtirishi  uchun  qo‘llaniladi.  Farqli  tenglamalar  (FT)  esa  uzlukli 
vaqt 
davomidagi 
jarayonlarni 
modellashtirish 
uchun 
ishlatiladi. 
Differensial  tenglamalar  ko‘proq  tabiiy  fanlar  sohasida  qo‘llaniladi. 
Ijtimoiy fanlar sohasida esa ko‘proq farqli tenglamalar qo‘llaniladi. Lekin 
differensial tenglamalar ijtimoiy sohada ham qo‘llanishi mumkin.  
Dinamik  tizimlar  skalyar  va  vektorli  bo‘ladi.  Skalyar  dinamik 
tizimlar  harakati  faqatgina  bir  dona  differensial  yoki  farqli  tenglama 
orqali tushuntiriladi. Vektorli dinamik tizimlar esa bir necha differensial 
yoki farqli tenglamalar orqali tushuntiriladi. 
                                                           
34
  Ushbu  darslikda  hususiy  differensial  tenglamalar  ko‘rib  chiqilmaydi.  Qizziquvchilarga  tegishli  adabiyotlarga 
murojaat qilishni tavsiya etamiz. 

54 
 
Agar vaqt umuman ko‘rilmasa, u holda DT yordamida tizimning statik 
holati  o‘rganiladi.  Biz  ushbu  paragrafda  vaqtni  o‘zgaruvchi  sifatida 
inobatga olamiz. 
3.2.  SKALYAR  DINAMIK  TIZIMLAR.  3.2.1.  Oddiy  differensial 
tenglamalar  (ODT).  ODT  o‘z  navbatida  ikkita  guruhga  bo‘linadi: 
boshlang‘ich shartlarga ega bo‘lgan ODT (Koshi masalalari) va chegaraviy 
shartlarga ega bo‘lgan ODT (chegaraviy masalalar). 
Koshi masalasi. ODT va boshlang‘ich shart berilgan bo‘lsin: 
, 
 
Maqsad: keltirilgan ODT va boshlang‘ich shartni qoniqtiradigan  
 
funksiyasini izlab topish kerak. Agar   vaqtni ifodalasa, u holda   o‘rniga 
 belgisidan foydalaniladi. 
Misol.  Masalan, 
  tenglamasi  berilgan  bo‘lsin.  Bu  –  birinchi  darajali 
ODT, chunki tenglamadagi eng katta hosila - birinchi darajali hosila. Tenglamani eng katta hosila 
orqali ifodalash mumkin bo‘lsa, bunday tenglama eksplitsit tenglama deb ataladi. Berilgan tenglama 
– eksplitsit ODT, chunki: 
, 
. 
Endi  bu  tenglamani  echamiz.  Bunday  ko‘rinishda  tenglamadan  integral  olib  bo‘lmaydi, 
chunki  o‘ng  tomonda  ikkita  funksiyaning,    va  ,  ko‘paytmasi  bor.  “O‘zgaruvchilarni  ajratish 
usuli”  dan  foydalanamiz.    Ajratish  usulini  qo‘llash  uchun 
  yozuvi  o‘rniga 
  yozuvidan 
foydalanamiz: 
 
Endi   va   ni bir biridan ajratamiz: 
 
Ikkala tomondan integral olamiz: 
 
Chap tomondan  , o‘ng tomondan   bo‘yicha integral olsak, quyidagi kelib chiqadi: 
, 
 
Ikkala tomonni eksponensiallash orqala, quyidagini hosil qilamiz: 
 
O‘ng tomonda doimo musbat natija chiqishi tufayli: 
 
Quyida  biz  DTning  umumiy  yechimini  grafik  ko‘rinishida  tasvirlasak  bo‘ladi.  Parabolalar  – 
DTning  integralli  chiziqlari  deb  ataladi.  Giperbolalar  esa  –  izoklinallar  deb  ataladi.  Izoklinallar 
 ning turli   qiymatlaridagi grafiklari. 

55 
 
 
Rasm 3.1. DTning integralli chiziqlari va izoklinallari 
DT ning boshlang‘ich sharti berilsa, parabolalardan birisi – hususiy yechimga aylanadi. 
Amaliyotda  bunday  masalalar  tizimdagi  muayan  vaqtdan  boshlab 
kechishi  lozim  bo‘lgan  o‘tish  jarayonlarini  modellashtirish  uchun  kerak 
bo‘ladi.  Albatta,  ODT  –  juda  sodda,  chunki  faqatgina  vaqt  o‘tishi  yoki 
fazodagi  nuqta  o‘zgarishi  emas,  balki  boshqa  omillar  ham  jarayonlarga 
ta’sir  qiladi.  Lekin  soddalikdan  murakkablikka  o‘tish  tamoyiliga  amal 
qilgan holda, biz bu sodda tenglamani yechishni bilishimiz lozim, chunki 
bunday  yondashuv  bizga  dinamik  harakat  qonuniyatlarini  tushunishga 
yordam beradi. 
Ma’lumki,  funksiyalarni  integrallashtirish  masalalari  echilishi  o‘rta 
maktabning  oxirgi  sinflarida  o‘rgatiladi.  Integrallashtirish  usullari  DT 
yechishda as qotadi. 
Misol.  Quyidagi  ODT  berilgan  bo‘lsin: 
.  Bu  erda  qidirilayotgan  funksiya 
o‘zining hosilasiga teng bo‘lishi kerak. Bir qarashda javob ma’lum:  
. Lekin bu – hususiy 
hol uchun javob. Masalan, 
 ham, 
  ham to‘g‘ri javob. Demak, umumiy hol 
uchun to‘g‘ri javob: 
. Bu erda 
 – haqiqiy sonlar to‘plamiga tegishli ixtiyoriy son. 
Demak,  biz  cheksiz  yechimlarni  topdik.  Izoklinallar  -  bu 
  ning  turli 
 
qiymatlaridagi abssissa o‘qiga parallel bo‘lgan chiziqlar. Ko‘rsatilgan egri chiziqlar esa yechimlarni 
ifodalovchi chiziqlar. 
 
Xo‘sh,  yagona  yechim  bo‘lishi  uchun  qanaqa  shartlar  bajarilishi  kerak?  Bu  –  boshlang‘ich 
yoki  chegaraviy  shartlardir.  Masalan, 
  –  boshlang‘ich  shart  bo‘lsa,  u  holda: 
, 
, demak 
 –  yagona  yechim (rasmda  yuqoridagi  egri  chiziq orqali 
ifodalangan). 

56 
 
Misol  (Koshi  masalasi).  Quyidagi  ODTning  yechimini  izlab  topamiz: 
. 
Boshlang‘ich shartlar: 
 
. 
Yechim. Chap tomonda yagona o‘zgaruvchi bo‘lganligi sababli, integrallashni ikki marotaba 
qo‘llasak bo‘ladi: 
, 
 
, 
 
Biz  shunday  qilib,  umumiy  yechimni  topdik.  Demak,  ODT  ning  darajasi  qancha  bo‘lsa, 
integrallashtirish soni va konstantalari shuncha bo‘ladi. 
Yuqorida 
biz 
 
ayniyatini 
keltirib 
chiqargandik. 
Unga 
ko‘ra: 
, 
.  Analogik  ravishda,
, 
. 
Endi 
  va 
  qiymatlarini  yuqoridagi  umumiy  yechim  ayniyatiga  kiritsak,  quyidagi  hususiy 
yechimni olamiz: 
. 
Xulosa  qilib  aytish  mumkinki,  Koshi  masalalarida  boshlang‘ich 
shartlar  beriladi,  ya’ni  birinchi  darajali  ODT  larda  izlanayotgan 
funksiyaning  boshlang‘ich  qiymati,  ikkinchi  darajali  ODT  larda  - 
izlanayotgan  funksiyaning  boshlang‘ich  qiymati  va  izlanayotgan  funksiya 
xosilasining boshlang‘ich qiymati. Ya’ni ODT ning darajasi qancha bo‘lsa, 
boshlang‘ich shartlar soni shuncha bo‘ladi. 
Chegaraviy  masala.  Chegaraviy  masalalarda  boshlang‘ich  shartlar 
emas,  balki  izlanayotgan  funksiyaning  qiymatlari  oldindan  beriladi.  ODT 
ning darajasi qancha bo‘lsa, chegaraviy shartlar soni shuncha bo‘ladi. 
Misol.  Quyidagi  ODTning  yechimini  izlab  topamiz: 
.  Chegaraviy  shartlar: 
 
. 
Yechim.  Oldingi  misoldagi  qadamlarni  takrorlamasdan,  umumiy  yechimni  keltiramiz: 
. Endi misolda ko‘rsatilgan chegaraviy shartlarni inobatga olamiz: 
 
Ushbu tenglamalar tizimini soddalashtirib, echamiz: 
 
  va 
  qiymatlarini  yuqoridagi  umumiy  yechim  ayniyatiga  kiritsak,  quyidagi  hususiy 
yechimni olamiz: 
 
3.2.2. Farqli  tenglamalar. Farqli tenglamalarda vaqt  uzlukli bo‘ladi. 
Masalan, birinchi yildan so‘ng ikkinchi yil keladi, ammo 1,5 yil masalada 

57 
 
ko‘rilmaydi. Nazariyaga ko‘p berilmay, farqli tenglamani misol yordamida 
tushuntirib o‘tamiz. 
Misol.  Huquqni  muhofaza  qilish  organlarida  muayan  vaqt, ,  davomida  qisqa  muddatli 
maqsadlarga erishish (iste’mol) uchun jami   mablag‘ sarflandi qilindi (ish haqi, bino va jihozlarni 
ta’mirlash ishlari, amortizatsiya harajatlari va xok.). Shu bilan birga shu davrda   miqdorda uzoq 
muddatli  maqsadlarga  erishish  uchun  ham  mablag‘  sarflandi  (asbob-aslahalarni  sotib  olish, 
qo‘shimcha  binolarni  qurish  yoki  sotib  olish  va xok.).  Demak,  jami  harajatlar  har  bir  davr  uchun 
quyidagicha ko‘rsatilishi mumkin:  
 
Ushbu  tizimda  o‘tgan  yil 
  miqdorda  mablag‘  sarflangandi  va  bu  yilgi  iste’mol  sarfi, 
, 
o‘tgan yilgi umumiy sarfdan bog‘liq: 
 
Bu erda   tashqaridan, masalan, hukumat tomonidan, belgilangan maxsus koeffitsient. Uzoq 
muddatli maqsadlar uchun mablag‘lar ham maxsus qoidaga bog‘langan: 
 
Agar  keyingi  yilgi  umumiy  sarflar  oshmasa  va  bu  yilgi  umumiy  sarflar  bilan  teng  bo‘lsa,  u 
holda bir yildan so‘ng hech qanday uzoq muddatli sarf qilinmaydi. 
Endi so‘ngi ikkita tenglamani birinchi tenglama ichiga joylashtirsak, quyidagi hosil bo‘ladi
35
: 
 
Bu  tenglamani  standart  gomogen,  ikkinchi  darajali,  chiziqli  farqli  tenglama  ko‘rinishiga 
keltiramiz: 
 
Agar   va   dan tashqari yana boshqa maqsadlarga 
miqdorda mablag‘lar sarflansa, ya’ni 
 bo‘lsa va bu miqdor xech nimadan bog‘liq bo‘lmay konstant, ya’ni 
 bo‘lsa, 
u holda gomogen bo‘lmagan, ikkinchi darajali, chiziqli farqli tenglamani tuzsa bo‘ladi: 
 
Endi tashqaridan tegishli koeffitsientlar belgilangan bo‘lsin, ya’ni: 
, 
, 
. Shunda tenglama quyidagi ko‘rinishga keladi: 
 
Boshlang‘ich shart ham quyidagicha berilgan bo‘lsin:
 mlrd. so‘m, 
 mlrd. 
so‘m. 
Umumiy  harajatlar  xajmining  vaqt  o‘tishi  bilan  o‘zgarishi  qonuniyatini  izlab  toping.  Besh 
yildan keyin harajat qanchaga teng bo‘ladi?  
Yechim. 
Gomogen, 
-darajali,  chiziqli,  koeffitsientlari  konstant  bo‘lgan  farqli  tenglamalarning 
matematik  yechish  usulini  ushbu  darslikda  ko‘rsatmaymiz.
36
  Buning  o‘rniga  misolni  Maple  15 
dasturida rsolve() buyrug‘i  orqali echamiz: 
 
Javob:  Umumiy  harajatlar  xajmining  vaqt  o‘tishi  bilan  o‘zgarishi  qonuniyati: 
.  Besh  yildan  keyin  harajatlar  xajmini  topish  uchun   
  ni  topilgan 
qonuniyat funksiyasiga qo‘yamiz: 
mlrd so‘m. 
                                                           
35
  Albatta,  real  xayotda  umumiy  harajatlarga  ko‘plab  omillar  ta’sir  etadi  va  bu  misol  o‘ta  soddadir.  Ammo  bu 
soddalashtirilgan gipotetik misol masala mohiyatini tushunishga yordam beradi. 
36
 Qizziquvchi talabalar yechimni differensial va farqli tenglamalar to‘g‘risidagi darsliklardan ko‘rib olishlari mumkin.  

58 
 
3.2.3.  Analitik  yo‘lda  echib  bo‘lmaydigan  ODT  lar:  sonli  yechim 
usuli.  Ba’zi  ODTlarni  analitik  yo‘lda  echib  bo‘lmaydi.  Masalan, 
  ni  Maple  15  dasturida  analitik  yo‘l  bilan  echmoqchi 
bo‘lsak  (ya’ni  umumiy  yechimni  izlasak),  dastur  natijani  chiqarmaydi  va 
kiritilgant tenglamani qaytadan ko‘rsatadi:  
 
Lekin  agar  biz  boshlang‘ich  shartlarni  bersak  va  sonli  yechim  usuli 
(numeric  opsiyasi)  dan  foydalansak,  dastur  bizga 
  ning  berilgan 
qiymatlari uchun tegishli natijalarni chiqarib beradi: 
 
Masalan, 
  va 
  bo‘lganda,  dastur  har  qanday   
ning  qiymati  uchun  tegishli 
va 
  qiymatlarini  chiqarib  beradi. 
Agar, 
  bo‘lsa,  u  holda 
  va 
.  Agar 
 
bo‘lsa, u holda 
 va 
: 
 
3.3. 
VEKTORLI  DINAMIK  TIZIMLAR.  Agar  tizimning 
harakatini  bir  necha  ODT  lar  tushuntirib  bera  olsa,  u  holda  vektorli 
dinamik tizim haqida gapirsa bo‘ladi.  
Misol. Quyidagi ODTlar tizimining umumiy yechimini izlab topamiz: 
 
Yechim. Birinchi tenglamaning ikki tomonini differensiallashtiramiz: 
 
Endi 
 ifodasini tizim ikkinchi tenglamasining o‘ng qismi bilan alishtiramiz: 

59 
 
 
 
Tizimning birinchi tenglamasini 
 orqali ifodalaymiz: 
 
Ushbu ayniyatni oldingi ayniyatning o‘ng qismidagi 
 ning o‘rniga qo‘yamiz: 
 
 
Bu – gomogen chiziqli ODT. Demak, xarakteristik tenglamani tuzsa bo‘ladi: 
 
Bu tenglamaning ildizlari: 
, 
. Demak: 
 
Endi   bo‘yicha hosila olamiz: 
 
Endi  oxirgi  ikkita  ayniyatning  o‘ng  qismini  tizimning  birinchi  tenglamasiga  qo‘yamiz  va 
 
funksiyasini topamiz:   
, 
 
Javob: 
 
Ushbu misolni Maple 15 dasturida dsolve() buyrug‘i orqali echca ham bo‘ladi: 
 
Ushbu dastur yechim to‘g‘riligini ham tekshirib beradi. Buning uchun odetest() buyrug‘idan 
foydalanamiz: 
 
Dastur yechim to‘g‘riligini tasdiqladi. 
Misol (Koshi masalasi). Quyidagi ODTlar tizimining hususiy yechimini izlab topamiz: 
 
Boshlang‘ich shartlar: 
, 
. 
Yechim. Oldingi misol yechimi qadamlarini takrorlamay, umumiy yechimni keltiramiz: 
 
Endi misolda ko‘rsatilgan boshlang‘ich shartlarni inobatga olamiz: 

60 
 
 
Ushbu tizimni echib, 
 va 
 qiymatlarini topamiz: 
 
 
 va 
 qiymatlarini umumiy yechimga joylashtiramiz: 
 
Tayorlanish uchun savollar: 
1.
 
Dinamik tizim deganda nimani tushunasiz? 
2.
 
Skalyar  dinamik  tizim  deganda  nimani  tushunasiz?  Misollar 
keltiring. 
3.
 
Oddiy  differensial  tenglama  va  hususiy  differensial  tenglama 
orasidagi asosiy farq nimadan iborat? 
4.
 
Farqli tenglama – bu nima? Misollar keltiring. 
5.
 
Funksiyaning  eng  katta  qiymati  va  eng  kichik  qiymati,  lokal 
maksimumi va lokal minimumiga ta‘riflar bering. Misollar keltiring. 
6.
 
Vektorli dinamik tizim – bu nima? Misollar keltiring.