Loyiha toshkent davlat yuridik universiteti a. Xudaynazarov

Yechim  (kompyuter  yordamida).  Endi  huddi  shu  masalani  EHM  yordamida  echamiz.  “QM 
for  Windows”  dasturida  butun  sonli  chiziqli  dasturlash  (Integer&Mixed  Integer  Programming) 
modulini chaqiramiz: 
                                                           
30
 
Ushbu 
rasmni 
chizishda 
biz 
Maple 
15 
dasturining 
quyidagi 
buyrug‘idan 
foydalandik:
. 

39 
 
 
Butun  sonli  chiziqli  dasturlash  bilan  ishlashning  afzal  tomoni  shundaki,  u  yechim  natijasida 
ishga olinuvchi mutaxassislar sonini butun sonda chiqarib beradi.
 
“Linear Programming” modulida 
yechilgan masalaning javoblari butun bo’lmagan sonlarda bo’lishi mumkin.  Yangi faylni ochamiz, 
ya’ni “File” menyusiga kirib “New” buyrug‘ini beramiz: 
 
Chiqqan  oynada  “Number  of  constraints”  degan  joyga  shartlar  soni  kiritiladi  (nomanfiylik 
shartlari  bundan  mustasno).
  Noma’lumlar  soni  “Number  of  Variables”  degan  joyga  kiritiladi. 
Maksimizatsiya yoki minimizatsiya masalasi ekanligi “Objective” degan joyda aniqlanadi. Bizning 
misolimizni yechish uchun “Minimize” belgilanadi:
 
 
“OK” tugmasini bosganimizdan so‘ng, quyidagi oyna paydo bo‘ladi.  

40 
 
 
“Constraints”  deb  nomlangan  qatorlarda  tegishli  cheklovlarni  kiritib  chiqamiz  –  faqat 
koeffitsientlar  va  ozod  hadlarni  kiritamiz,  no’malumlarni  kompyuter  o‘zining  xotirasida 
saqlaydi.Oynaning  o‘ng  tomonida  avtomatik  ravishda  chiziqli  dasturlash  modelini  EHMning  o‘zi 
chiqarib beradi: 
 
Hamma  ma’lumotlarni  kiritib  bo‘lganimizdan  so‘ng,  “Solve”  tugmasini  bosamiz  va  quyidagi 
yechimni olamiz: 
 
Be  erda  optimal  yechim  ko‘rsatilgan,  ya’ni 
  va 
.  Bundan  tashqari,  minimal  ish 
haqi harajatlari qiymati keltirilgan: 
. Rejadan ortiq xizmat ko‘rsatilgan mijoz soni “Surplus” 
deb  nomlangan  qatorlarda  ko‘rsatilgan.  Demak,  jismoniy  shaxslarga  rejadan  ortiq,  ya’ni  8  kishiga 
ko‘p xizmat ko‘rsatilgan. “Ranging” deb nomlangan maxsus oynada turg‘unlik taxlili ko‘rsatilgan: 
a) 
maqsad 
funksiyasi 
koeffitsientlarining 
turg‘unlik  taxlili;  b)  chegaraviy  shartlar 
koeffitsientlarining turg‘unlik taxlili. 

41 
 
 
Maqsad  funksiyasi  koeffitsientlarining  turg‘unlik  taxlili:  boshqa  ma’lumotlar  o‘zgarishsiz 
qolganda,  agar  xo‘jalik  huquqi  bo‘yicha  yuristning  ish  haqi 
  mln.  so‘m  oraliqda 
o‘zgarsa,  optimal  yechim,  (2;3),  o‘zgarmaydi,  lekin  minimal  xarajatlar  o‘zgaradi;  boshqa 
ma’lumotlar o‘zgarishsiz qolganda, agar mehnat huquqi bo‘yicha yuristning ish haqi 
 
oraliqda o‘zgarsa, u holda optimal yechim, (2;3), o‘zgarmaydi, lekin minimal xarajatlar o‘zgaradi. 
Chegaraviy  shartlar  koeffitsientlarining  turg‘unlik  taxlili:  boshqa  ma’lumotlar  o‘zgarishsiz 
qolganda,  agar    yuridik  shaxslarga  xizmat  ko‘rsatish  hajmi 
quyidagi 
  oraliqda 
o‘zgarsa,  u  holda  optimal  yechim  va  minimal  ish  haqi  harajatlari  ham  o‘zgaradi;  boshqa 
ma’lumotlar o‘zgarishsiz qolganda, agar  nodavlat notijorat shaxslarga xizmat ko‘rsatish xajmi   
quyidagi 
 oraliqda o‘zgarsa, u holda optimal yechim va minimal ish haqi xarajatlari 
ham  o‘zgaradi;  boshqa  ma’lumotlar  o‘zgarishsiz  qolganda,  agar  jismoniy  shaxslarga  xizmat 
ko‘rsatish xajmi 
 quyidagi 
  oraliqda o‘zgarsa, u holda optimal yechim va minimal 
ish haqi xarajatlari o‘zgarmaydi. 
Masala.  (huquqiy  targ‘ibot  masalasi).  Adliya  vazirligi  aholining  huquqiy  ongini  oshirish 
bo‘yicha targ‘ibot ishlarini amalga oshirmoqchi. Targ‘ibot uchun oyiga 1000 dol. ajratildi. Radioda 
1 minutli targ‘ibotning narxi  5 dol., oynai jaxonda 20 dol. ga, internetda esa 1 dol. teng. Radioda 
qilingan 1 minutli targ‘ibot 0,05 mln. kishiga etib boradi, oynai jahon orqali qilingani esa - 0,1 mln. 
kishiga,  internet  orqali  qilingani  esa  –  0,01  mln.  kishiga.  Oynai  jahonda  bir  oyda  ko‘pi  bilan  30 
minut  targ‘ibot  qilsa  bo‘ladi,  lekin  vazir  kamida  10  minut  targ‘ibot  qilish    lozimligini  aytdi. 
Radioda bir oyda ko‘pi bilan 40 minut targ‘ibot qilsa bo‘ladi, lekin vazir kamida 5 minut targ‘ibot 
qilish    lozimligini  aytdi.  Oynai  jahon,  radio  va  internetda  umumiy  targ‘ibot  vaqti  80  minutdan 
oshmasligi  lozim.  Bir  oyda  jahon,  radio  va  internetda  necha  minut  targ‘ibot  qilinsa,  targ‘ibot  eng 
ko‘p kishiga etib boradi? 
Yechim  (modelni  tuzamiz  va  kompyuter  yordamida  echamiz).  Avval,  tegishli  belgilarni 
kiritamiz: 
 - radioda qilingan targ‘ibot miqdori, minutlarda;  
 – oynai jahonda qilingan targ‘ibot miqdori, minutlarda;  
 – internetda qilingan targ‘ibot miqdori, minutlarda. 
Endi maqsad funksiyasini quramiz: 
 
Maqsad  funksiyasining  ma’nosi:  radioda  qilingan  1  minutli  targ‘ibot  0,05  mln.  kishiga  etib 
boradi, oynai jahon orqali qilingani esa - 0,1 mln. kishiga, internet orqali qilingani esa – 0,01 mln. 
kishiga;  bir  oy  davomida  radio,  oynai  jahon  va  internetda  necha  minut  targ‘ibot  qilinsa,  targ‘ibot 
eng ko‘p kishiga etib boradi? 
Birinchi cheklovni ifodalaymiz: 
 
Cheklovning  ma’nosi:  oynai  jahon,  radio  va  internetda  umumiy  targ‘ibot  vaqti  80  minutdan 
oshmasligi lozim. 
Ikkinchi cheklov: 

42 
 
 
Ma’nosi: Targ‘ibot uchun oyiga 1000 dol. ajratildi. Radioda 1 minutli targ‘ibotning narxi  5 
dol., oynai jaxonda 20 dol. ga, internetda esa 1 dol. teng. 
Uchinchi cheklov: 
 
Ma’nosi: radioda bir oyda ko‘pi bilan 40 minut targ‘ibot qilsa bo‘ladi. 
To‘rtinchi cheklov: 
 
Ma’nosi: ... vazir kamida 5 minut targ‘ibot qilish lozimligini aytdi. 
Beshinchi cheklov: 
 
Ma’nosi: oynai jahonda bir oyda ko‘pi bilan 30 minut targ‘ibot qilsa bo‘ladi. 
Oltinchi cheklov: 
 
Ma’nosi: ... vazir kamida 10 minut targ‘ibot qilish lozimligini aytdi. 
Yettinchi cheklov: 
 
Ma’nosi: internet orqali targ‘ibot vaqti manfiy bo‘lmasligi lozim. 
Endi huquqiy targ‘ibot masalasining matematik modelini yahlit holatda ko‘rsatamiz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ushbu  modelni  “QM  for  Windows”  dasturida  yechamiz.  Masaladagi  no’malum 
o‘zgaruvchilar minutlarni ifodalaydi. Odamlar soni esa mln. birligida berilgan. Demak, butun sonli 
bo‘lmagan  chiziqli  dasturlash  usulidan  foydalansa  bo‘ladi.  “Linear  Programming”  modulini 
chaqirtiramiz va yangi fayl ochamiz.  
 
Chiqqan  oynada  “Number  of  constraints”  degan  joyga  olti  sonini  kiritamiz,  chunki  masalada 
ettita  cheklov  soni  bor  va  nomanfiylik  cheklovi  dastur  xotirasida  avtomatik  ravishda  inobatga 
olinadi.  Noma’lumlar  soni  “Number  of  Variables”  degan  joyga  uch  sonini  kiritamiz. 
Maksimizatsiya yoki minimizatsiya masalasi ekanligi “Objective” degan joyda aniqlanadi. Bizning 

43 
 
misolimizni  yechish  uchun  “Maximize”  belgilanadi.  Keyin  “OK”  tugmasini  bosamiz.  Chiqqan 
jadvalga tegishli ma’lumotlarni kiritamiz. 
 
Hamma  ma’lumotlarni  kiritib  bo‘lganimizdan  so‘ng,  “Solve”  tugmasini  bosamiz  va  quyidagi 
yechimni olamiz: 
 
Demak, bir oy davomida radio, oynai jahon va internetda mos ravishda 40, 30 va 10 minut targ‘ibot 
qilinsa,  targ‘ibot  eng  ko‘p  kishiga,  ya’ni  5,1  mln.  kishiga  etib  boradi.  Shunda  xattoki  190  doll. 
mablag‘ tejab qolinadi. 
 
Maqsad  funksiyasi  koeffitsientlarining  turg‘unlik  taxlili:  boshqa  ma’lumotlar  o‘zgarishsiz 
qolganda, agar radioda qilingan 1 minutli targ‘ibot qamrovi 
 kishi oralig‘ida o‘zgarsa, 
optimal yechim, (40;30;10), o‘zgarmaydi, lekin maqsad funksiyasining maksimal qiymati (qamrov) 
o‘zgaradi;  boshqa  ma’lumotlar  o‘zgarishsiz  qolganda,  agar  oynai  jahonda  qilingan  1  minutli 
targ‘ibot qamrovi 
 kishi oralig‘ida o‘zgarsa, optimal yechim, (40;30;10), o‘zgarmaydi, 
lekin  maqsad  funksiyasining  maksimal  qiymati  (qamrov)  o‘zgaradi;  boshqa  ma’lumotlar 
o‘zgarishsiz  qolganda,  agar  internetda  qilingan  1  minutli  targ‘ibot  qamrovi 
  kishi 
oralig‘ida  o‘zgarsa,  optimal  yechim,  (40;30;10),  o‘zgarmaydi,  lekin  maqsad  funksiyasining 
maksimal  qiymati  (qamrov)  o‘zgaradi.  Barcha  targ‘ibot  turlaridan  foydalanish  tavsiya  etiladi, 
chunki  me’yoriy  yo‘qotish  (reduced  cost)  qiymatlari  nolga  teng.  Me’yoriy  yo‘qotish  –  bir 
qo‘shimcha  mahsulot  ishlab  chiqarilganda,  qanaqa  qo‘shimcha  yo‘qotish  (maqsad  funksiyasi 
qiymatida qo‘shimcha pasayish) vujudga kelishini ko‘rsatadi. 

44 
 
Resurslarning  tanqisligi:  targ‘ibotning  vaqt  byudjeti,  radioda  targ‘ibot  qilish  vaqti  va  oynai 
jahonda targ‘ibot qilish vaqti – tanqis resurslardir; targ‘ibot uchun ajratilgan mablag‘ – kerakligidan 
ortiq  resursdir.  Ortiq  resurslarning  ikkilamchi  qiymatlari  (yashirin  narhlari)  nolga  teng  bo‘ladi, 
ya’ni ortiq resurs bir birlikka oshsa, maqsad funksiyasi qiymati o‘zgarmaydi. Tanqis resurslarning 
bir birlikka o‘zgarishi esa, maqsad funksiyasi qiymatini o‘zgartiradi. Targ‘ibotning vaqt byudjeti bir 
minutga  oshsa,  targ‘ibot  qamrovi  0,01  mln.  kishiga  oshadi;  radioda  targ‘ibot  qilish  vaqti  bir 
minutga oshsa, targ‘ibot qamrovi 0,04 mln. kishiga oshadi; oynai jahonda targ‘ibot qilish vaqti bir 
minutga  oshsa,  targ‘ibot  qamrovi  0,09  mln.  kishiga  oshadi.  Demak,  bo‘sh  mablag‘ni  birinchi 
navbatda  oynai  jahonda  targ‘ibot  qilishga  sarflash  kerak,  to  oynai  jahonda  targ‘ibot  qilish  vaqti 
tanqis resurs bo‘lmay qolguncha. 
Resurslarning  alishtirish  me’yori:  masalan,  birinchi  va  uchinchi  ikkilamchi  qiymatlarning 
nisbatini  olaylik,  ya’ni  0,01/0,04.    Buning  ma’nosi  quyidagicha:  agar  vaqt  byudjetini  bir  minutga 
oshirsak,  u  holda  targ‘ibot  qamrovini  saqlab  qolish  uchun  radioga  ajratilgan  vaqtning  to‘rt 
minutidan voz kechishimiz zarur. Demak, radioga ajratilgan vaqtning nisbiy narhi vaqt byudjetining 
nisbiy narhiga ko‘ra pastroq. 
Chegaraviy  shartlar  koeffitsientlarining  turg‘unlik  taxlili:  boshqa  ma’lumotlar  o‘zgarishsiz 
qolganda, agar  targ‘ibotga ajratilgan umumiy vaqt 
 quyidagi 
 oralig‘ida o‘zgarsa, 
u  holda  optimal  yechim  va  maksimal  targ‘ibot  qamrovi  ham  o‘zgaradi;  boshqa  ma’lumotlar 
o‘zgarishsiz  qolganda,  agar  targ‘ibotga  ajratilgan  umumiy  byudjet 
  quyidagi 
 
oralig‘ida  o‘zgarsa,  u  holda  optimal  yechim  va  maksimal  targ‘ibot  qamrovi  o‘zgarmaydi;  boshqa 
ma’lumotlar  o‘zgarishsiz  qolganda,  agar    radioda  targ‘ibot  qilish  vaqti    quyidagi 
 
oralig‘ida o‘zgarsa, u holda optimal yechim va maksimal targ‘ibot qamrovi ham o‘zgaradi (demak, 
vazirdan  radioda  yana  qo‘shimcha  10  minut  targ‘ibot  qilishni  so‘rasa  bo‘ladi,  shunda  maksimal 
targ‘ibot qamrovi oshadi; qo‘shimcha mablag‘ni tejab qolingan 190 doll. ichidan olsa bo‘ladi); va 
xok. 
2.4. 
UZLUKSIZ 
CHEKLOVLI 
OPTIMALLASHTIRISH: 
LAGRANJ  USULI. 
Quyidagi  chiziqsiz  bog‘liqlik  berilgan  bo‘lsin: 
. 
Eni  masala  boshqacha  qo‘yilsin:  maqsad  ko‘rsatkich  qiymati  optimallashtirilsa, 
ammo  x  va  u  sabab  ko‘rsatkichlariga  cheklov  qo‘yilsin: 
.  YA’ni  masala 
quyidagicha qo‘yiladi: 
 
quyidagi cheklovlar ostida: 
 
 
Ushbu  masalani  yechish  uchun  quyidagi  bosqichlardagi  vazifalarni  bajarish 
kerak: 
1)
 
Lagranj funksiyasini qurish: 
. 
2)
 
Lagranj funksiyasining hususiy hosilalari olinadi: 
, 
,
. 
3)
 
Lagranj  funksiyasining  hususiy  hosilalari  nolga  tenglashtiriladi  va 
tenglamalar  tizimi  quilib,  Lagranj  funksiyasining  statsionar  nuqtalari,  ya’ni  (
) 
izlab topiladi
31
: 
                                                           
31
    Bu  tenglamalar  tizimi  “ekstremum  mavjudligi  uchun  kerakli  shartlar”  deb  ataladi.  Ingliz  tilida  “first  order 
conditions” deyiladi. Bu erda, cheklov, albatta, g(x, y) = 0 ko‘rinishida  yozilishi shart, chunki  yechimda shu cheklov 
inobatga olishi lozim. Ushbu tizimni quyidagicha echsa, oson bo‘ladi: (I) va (II) tenglamalarni λ orqali ifodalab, so‘ng 
birini  birining  o‘rninga  qo‘yib,    x  ni  y  orqali  yoki  y  ni  x  orqali  ifodalab  olish  kerak.  So‘ng  olingan  ifodani  (III) 
tenglamaga qo‘yish kerak. 

45 
 
      (I) 
     (II) 
  
        (III) 
4)
 
Ammo  bu  statsionar  nuqtalardagi  optimum  –  eng  katta  yoki  eng  kichik 
qiymatmi  -  buni  biz  xali  bilmaymiz.  Buni  bilish  uchun,  Lagranj  funksiyasining 
ikkinchi hususiy hosilalarini olamiz: 
,
. Agar birinchi hususiy hosilalar manfiy 
bo‘lib, ikkinchilari esa musbat bo‘lsa, u holda statsionar nuqtalardagi optimum – eng 
kichik qiymat. Agar birinchi hususiy hosilalar musbat bo‘lib, ikkinchilari esa manfiy 
bo‘lsa, u holda statsionar nuqtalardagi optimum – eng katta qiymat. 
5)
 
Topilgan statsionar nuqtalarni maqsad funksiyasiga qo‘yib, optimal qiymatni 
aniqlash kerak.  
Masala.  Faraz  qilaylik,  Adliya  vazirligining  iqtisodchilari  oylik  mehnat  miqdori  va  ijaraga 
olinadigan byuro maydonining optimal xajmlarini aniqlamoqchi. Byuro mutaxassislarining vazifasi 
qonunchilikni takomillashtirish bo‘yicha taklif ishlab chiqish. Har bir taklifning standart xajmi ikki 
betni  tashkil  etadi  va  va  bir  hil  mehnatni  talab  qiladi  deb  faraz  qilamiz.  Mutahassislar  bilimi  va 
mehnat  unumdorligi  bir  hil  deb  faraz  qilinadi.  Asbob-uskunalar  vazirlik  tasarrufida  bo‘lganligi  va 
bepul  foydalanilganligi  uchun,  masalada  ko‘rib  chiqilmaydi.  Mehnat  soatda  o‘lchanadi  va  byuro 
maydoni kv.m da. Byuroning takliflarni ishlab chiqish xajmi mehnat miqdori va byuro maydonidan 
quyidagi qonuniyat bilan bog‘liq deb faraz qilamiz:
. Bir soatlik mehnat haqi 2 doll. va bir 
soatlik byuro arendasi 3 doll. tashkil etsin. Adliya vazirligidagi oylik byudjet 4 ming doll. teng deb 
cheklov sifatida ko‘rilsin. Maqsad – taklif ishlab chiqish xajmini, ya’ni z ni maksimallashtirish. 
Yechim. Ahamiyat beraylik, 2x + 3y = 4000 ma’nosi quyidagicha: byudjet to‘liq sarflanishi 
shart. Agar cheklov x + 3y   4000 ko‘rinishida bo‘lganda, byudjet to‘liq sarflanishi shart bo‘lmas 
edi. Byudjet cheklovini g(x, y) = 0 ko‘rinishiga keltiramiz: 2x + 3y – 4000 = 0. 
Endi, optimallashtirish modelini quramiz: 
 
quyidagi cheklovlar ostida: 
2x + 3y – 4000 =0 
 
Lagranj  funksiyasini  quramiz    L(x,y)  = 
  +  λ  (2x  +  3y  –  4000).  Lagranj  funksiyasining 
hususiy hosilalarini olamiz va ularni nolga tenglashtirib, quyidagi tenglamalar tizimini quramiz:  
 
 Birinchi va ikkinchi tenglamalardan quyidagi kelib chiqadi:  
, 
. Ushbu ayniyatni 
cheklov  tenglamasiga  qo‘ib,  uni  x  bo‘yicha  echamiz: 
, 
, 
.    Endi  shu  qiymatni  yana  cheklov  tenglamasiga  qo‘yib,  uni  u  bo‘yicha 
echamiz:
, 
, 
 . 
Demak, 
 nuqtasida optimum bor. Ammo bu optimum – eng katta  yoki 
eng kichik qiymatmi - buni biz xali bilmaymiz. Buni bilish uchun, Lagranj funksiyasining ikkinchi 
hususiy hosilalarini olamiz: 

46 
 
 
. 
Ko‘rinib  turibdiki,  birinchi  hususiy  hosilalar  musbat  va  ikkinchi  hususiy  hosilalar  manfiy. 
Demak, topilgan optimum – eng katta qiymat. 
Javob:  Oylik  mehnat  miqdori  aynan  1000  soatni  (ya’ni  25  kunlik  ish  bo‘lsa  va  kuniga  8 
soatdan  bo‘lsa,  5  kishiga  teng)  va  ijaraga  olinadigan  byuroning  maydoni  666    kv.  m.  ni  tashkil 
qilsa,  eng  ko‘p  taklif  ishlab  chiqiladi,  ya’ni  jami  qonunchilikni  takomillashtirish  bo‘yicha 
  dona  taklif  ishlab  chiqiladi.  Bu  masalani  Maple  15  kompyuter 
dasturida  echsa  bo‘ladi.  Buning  uchun  with(Optimization)  paketi  chaqirilib,  NLPSolve() 
buyrug‘idan foydalaniladi: 
 
Masala: 
Faraz qilaylik, Adliya vazirligining iqtisodchilari oylik mehnat va ijaraga olinadigan byuroga 
ketadigan 
harajatlarni 
kamaytirishmoqchi. 
Qolgan 
masala 
shartlari 
oldingi 
masalada 
ko‘rsatilgandek.  Faqat  endi  Adliya  vazirligidagi  oylik  byudjetini  iloji  boricha  kamaytirish  lozim. 
Shu  bilan  birga,  qonunchilikka  taklif  ishlab  chiqish  miqdori  bir  oyda  600  donadan  kamayib 
ketmasligi  shart,  ya’ni  cheklov  quyidagicha: 
.  Jami  mehnat  sarfiga  va  byuro  ijarasiga 
harajatlarni  kamaytirish  uchun  vazirlik  qaysi  miqdorda  mehnatni  jalb  qilishi  kerak  va  qanaqa 
maydondagi byuroni ijaraga olish kerak? 
Yechim. Bu masalani analitik yo‘lda yechishni talabaga uy vazifasi qilib bersakda, va javobni 
Maple 15 dasturidan foydalangan holda bersak. Buning uchun with(Optimization) paketi chaqirilib, 
NLPSolve() buyrug‘idan foydalaniladi: 
 
Javob:  Vazirlik  jami  734,8  soat  mehnatni  jalb  qilsagina  va  maydoni  489,9  kv.  m.  teng 
bo‘lgan byuroni ijaraga olsagina, mehnat va byuroga sarf-harajatlar minimallashadi, ya’ni 2939,39 
doll. teng bo‘ladi. Shu bilan birga, qonunchilikka taklif ishlab chiqish belgilangan reja bajariladi. 
2.5.  UZLUKSIZ  CHEKLOVLI  OPTIMALLASHTIRISH:  KUN-
TAKER  USULI.  Agar  uzluksiz  optimallashtirishda  cheklovlar  tengsizlik 
ko‘rinishda  bo‘lsa,  Lagranj  usulidan  foydalanish  naf  bermaydi.  Shunaqa 
paytda Kun-Taker usulidan foydalanish maqsadga muvofiq bo‘ladi.
32
 Kun-
Taker  usulidan  foydalanish  uchun  maqsad  funksiyasi  va  cheklovlar  ikki 
marotaba  hususiy  hosila  olinadigan  bo‘lishi,  hamda  Kun-Taker  shartlari 
bajarilishi lozim. 
Quyidagi  chiziqsiz  bog‘liqlik  berilgan  bo‘lsin: 
.  Masala 
quyidagicha  qo‘yilsin:  maqsad  ko‘rsatkich  qiymati  optimallashtirilsin, 
ammo  x  va  u  sabab  ko‘rsatkichlariga  qo‘yilgan  cheklov  inobatga  olinsin. 
Cheklov: 
. Ya’ni masalalar quyidagicha qo‘yiladi: 
                                                           
32
  Kuhn  H.  W.  and  Tucker  A.  W.  Nonlinear  Programming  //  Proceedings  of  2nd  Berkeley  Symposium.  -  Berkeley: 
University of California Press, 1951, p. 481-492. 

47 
 
 
quyidagi cheklovlar ostida: 
 
 
Ushbu  ikkala  masalani  yechish  uchun  quyidagi  bosqichlardagi 
vazifalarni bajarish kerak: 
1)
 
Lagranj funksiyasi quriladi: 
. 
2)
 
Lagranj funksiyasining hususiy hosilalari olinadi: 
, 
,
. 
3)
 
Maksimallashtirish masalasini yechish uchun quyidagi tenglamalar 
va tengsizliklar tizimi quriladi
33
:  
    (I) 
    (II) 
           
     (III) 
    
      (IV) 
 
     (V) 
    
     (VI) 
    
   (VII) 
Minimallashtirish  masalasini  yechish  uchun  quyidagi  tenglamalar  va 
tengsizliklar tizimi quriladi:  
    (I) 
    (II) 
           
    (III) 
    
    (IV) 
 
   (V) 
    
    (VI) 
    
   (VII) 
4)
 
Lagranj  funksiyasining  statsionar  nuqtalari,  ya’ni  (
)  izlab 
topiladi. 
5)
 
Ammo  bu  statsionar  nuqtalardagi  optimum  –  eng  katta  yoki  eng 
kichik  qiymatmi  -  buni  biz  xali  bilmaymiz.  Buni  bilish  uchun,  Lagranj 
funksiyasining ikkinchi hususiy hosilalarini olamiz: 
,
. Agar birinchi 
hususiy  hosilalar  manfiy  bo‘lib,  ikkinchilari  esa  musbat  bo‘lsa,  u  holda 
                                                           
33
 Bu tenglamalar tizimi “Kun-Taker” shartlari deb ataladi.
 
 

48 
 
statsionar  nuqtalardagi  optimum  –  eng  kichik  qiymat.  Agar  birinchi 
hususiy  hosilalar  musbat  bo‘lib,  ikkinchilari  esa  manfiy  bo‘lsa,  u  holda 
statsionar nuqtalardagi optimum – eng katta qiymat. 
6)
 
Topilgan statsionar nuqtalarni maqsad funksiyasiga qo‘yib, optimal 
qiymatni aniqlash kerak.  
Masala. Quyidagi optimallashtirish masalasini eching: 
 
Quyidagi cheklovlar ostida 
, 
 
Yechim.  Avvalam  bor, 
  formulada  ko‘rsatilgandek  standart,  ya’ni 
 
ko‘rinishga keltiramiz: 
. Endi Lagranj funksiyasini quramiz: 
. 
Maksimallashtirish masalasini uchun kerakli Kun-Taker shartlarini yozib chiqamiz: 
      (I) 
         (II) 
           
            (III) 
    
      (IV) 
 
     (V) 
    
        (VI) 
    
                   (VII) 
(IV),(V),(VI) shartlar uchta holatni ko‘rib chiqishni talab qiladi: 
1-holat. 
   yoki   
; 
2-holat. 
   yoki   
; 
3-holat. 
   yoki   
; 
Endi biz barcha imkoniyatlarni, ya’ni (
) yechimlarini ko‘rib chiqishimiz kerak. Muhimi 
ular yuqoridagi (I), (II), (III) va (VII) shartlarni qoniqtirishi lozim. 
3-holatni  ko‘rishdan  boshlaylik.  Agar 
  bo‘lsa,  u  holda  1-  va  2-holatdan  kelib  chiqib, 
(
)  yechimi  uchun  to‘rtta  imkoniyatni  ko‘rish  kerak:  (
),  (
),  (
),  (
). 
Ammo bu imkoniyatlar Kun-Takerning (I),(II),(III) shartlarini qoniqtirmaydi. Agar 
 bo‘lsa, u 
holda  3-holatning  o‘ng  qismidan  kelib  chiqib,  quyidagini  keltiramiz: 
. 
Agar 
  va 
  bo‘lsa,  u  holda
  va  2-holat  (o‘ng  qismi)  tufayli 
.  Ziddiyat  kelib 
chiqdi.  Huddi  shunday 
  va 
  ham  ziddiyat  yaratadi.  Demak,
  ekan. 
Demak,  1-  va  2-holatlar  (o‘ng  qismi)dan  quyidagi  kelib  chiqadi: 
.  Ya’ni 
 
bo‘lganligi  tufayli,  biz 
  teng  ekanligini  aniqlaymiz  va  1-holat  (o‘ng  qismi)  tufayli 
.    Demak,  Kun-Taker  shartlarini  ko‘rib  chiqilgan  sakkizta  nuqtadan  faqatgiga  (
) 
nuqtasi qoniqtiradi va shu nuqtada maqsad funksiyasi qiymati maksimal, ya’ni manfiy bo‘lgan 0,5 
soniga teng bo‘ladi. 
Ushbu masala hech qanday qiyyinchiliksiz Maple 15 dasturida ham echilishi mumkin: