M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar
Download 1.42 Mb. Pdf ko'rish
|
funksional analiz va integral tenglamalar
φ
k !
Ã
X
α k φ k , f ! + Ã n X
α k φ k , n X
α j φ j ! = = (f, f ) − 2 n X
α k (f, φ k ) +
n X
α 2
= = k f k 2 − 2 n X
α k c k +
X
2
+
X
c 2
− n X
c 2
= = k f k 2 +
X
(α k − c k ) 2 − n X
c 2
. Bu ifoda barcha k ∈ {1, 2, . . . , n} larda α k = c k (27.12) bo`lgan holda minimumga erishadi. Bu holda
2 = kf k 2 − n X
c 2
. (27.13) Biz isbotladikki, (27.11) ko`rinishdagi yig`indilar ichida f elementdan Furye qatorining f n =
X
269
qismiy yig`indisi eng kam chetlanar ekan. Bu tasdiqning geometrik ma'nosi shundan iboratki, f − n X
α k φ k vektor φ 1
2
n vektorlarning barcha chiziqli kombinatsiyalariga orto- gonal, ya'ni f − S
element φ 1
2
n vektorlardan hosil bo`lgan qism fazoga ortogonal bo`lishi uchun (27.12) shartning bajarilishi zarur va yetarlidir.
2
bo`lgani uchun (27.13) tenglikka ko`ra
X
c 2
≤ kf k 2
Bu tengsizlik ixtiyoriy n ∈ N uchun o`rinli, shunday ekan,
X
c 2
qator yaqinlashuvchi va
X
c 2
≤ kf k 2
(27.14) So`nggi (27.14) tengsizlik Bessel tengsizligi deyiladi. 27.7-ta'rif. Agar ixtiyoriy f ∈ E uchun
X
(f, φ
) 2 = kf k 2 (27.15) tenglik o`rinli bo`lsa, {φ n } ortonormal sistema yopiq sistema deyiladi. (27.15) tenglik Parseval tengligi deyiladi. (27.13) tenglikdan kelib chiqadiki, {φ n } ortonormal sistemaning yopiq bo`lishi uchun, har bir f ∈ E da
X
c k φ k Furye qatorining qismiy yig`indilar ketma-ketligi f elementga yaqinlashishi zarur. 270
27.2-teorema. Separabel Evklid fazosida har qanday to`la ortonormal sis- tema yopiq va aksincha. Isbot. E dan olingan ixtiyoriy {φ
to`la ortonormal sistemani qaraymiz. Istalgan f ∈ E uchun c
= (f, φ k ) , k = 1, 2, . . . , n , . . . Furye koet- siyentlarini olamiz. {φ n } sistema to`la bo`lgani uchun ixtiyoriy ε > 0 songa ko`ra, shunday
P
α k φ k chekli yig`indi mavjud bo`lib, ° °
° °
N X
α k φ k ° ° ° ° ° 2 < ε tengsizlik bajariladi. U holda n ≥ N bo`lganda k f k 2
n X
c 2
≤ k f k 2
N X
c 2
= °
° ° ° f − N X
c k φ k ° ° ° ° ° 2 ≤ ° ° ° ° ° f − N X
α k φ k ° ° ° ° ° 2 < ε. Olingan bu munosabatlardan k f k 2 = ∞ X
c 2
Parseval tengligi kelib chiqadi, ya'ni {φ
sistema yopiq ekan. Endi {φ
dan olingan ixtiyoriy yopiq ortonormal sistema bo`lsin. f ∈ E vektor qanday bo`lmasin, uning Furye qatori ∞ P
c k φ k ning qismiy yig`indilar ketma-ketligi f elementga yaqinlashadi, chunki lim
n→∞ ° ° ° ° ° f − n X
c k φ k ° ° ° ° ° 2 = lim
n→∞ Ã
2
X
c 2
! = 0. Shuning uchun {φ n } − sistemaning barcha chekli kombinatsiyalari to`plami E ning hamma yerida zich bo`ladi. Ya'ni {φ n } to`la ortonormal sistema bo`ladi. ∆ 27.23. C 2 [−π, π] separabel Evklid fazosida ©
n (t) = π −1/2 sin n t ª
sistema ortonormal bo`ladimi? Agar {φ n } ortonormal sistema bo`lsa, u to`lami? 271
Yechish. Ma'lumki, ©
−1/2 sin n t ª trigonometrik sistema ortogonaldir. Endi (φ n , φ n ) = 1
tenglikni tekshiramiz. (φ n , φ n ) =
1 π Z
−π sin
2 nt dt = 1 2π Z π −π (1 − cos 2n t) dt = 1 2π (2π − 0) = 1. Demak, {φ n } ortonormal sistema ekan. Endi uni to`lalikka tekshiramiz. 27.2- teoremaga ko`ra {φ
sistema to`la bo`lishi uchun uning yopiq bo`lishi zarur va yetarlidir. f 0 (t) ≡ 1 ∈ C 2 [−π, π] uchun Parseval tengligi bajarilishi- ni tekshiramiz. f 0 ning Furye koetsiyentlarini hisoblaymiz. Ma'lumki, toq funksiyaning [−a, a] kesma bo`yicha olingan integrali nolga teng. Shuning uchun istalgan n ∈ N da c n = (f 0
) =
1 √ π Z
−π sin nt dt = 0. Bundan 2π = kf 0 k 2
∞ X
c 2
tengsizlik kelib chiqadi. Parseval tengligi bajarilmayapti, shuning uchun {φ
sistema yopiq emas, demak, u to`la bo`lmagan ortonormal sistema ekan. 27.2. To`la Evklidla Evklid fazolari. Riss-Fisher teoremasi Bizni asosan to`la Evklid fazolari qiziqtiradi. 27.8-ta'rif. E Evklid fazosi kxk = p (x, x) normaga nisbatan to`la bo`lsa, u to`la Evklid fazosi deyiladi. 27.6-misol. C 2 [a, b] to`la bo`lmagan separabel Evklid fazosi bo`ladi (21.8- misolga qarang). 27.7. ` 2 va L 2 [a, b] to`la separabel Evklid fazolariga misol bo`ladi (21.7 va 26.18-misollarga qarang). E − to`la separabel Evklid fazosi va {φ n } undagi ortonormal sistema (to`la bo`lishi shart emas) bo`lsin. Bessel tengsizligidan kelib chiqadiki, c 1
2
272
sonlar biror f elementning Furye koetsiyentlari bo`lishi uchun ∞ X
c 2
(27.16) qatorning yaqinlashishi zarur. To`la Evklid fazolarida bu shart yetarli ham ekan. 27.3-teorema (Riss-Fisher). {φ n } − E to`la Evklid fazosidagi ixtiyoriy ortonormal sistema va c 1
2
sonlar shunday bo`lsinki, (27.16) qa- tor yaqinlashsin. U holda shunday f ∈ E element mavjudki,
= (f, φ k ) , k = 1, 2, . . . , va
X
c 2
= (f, f ) = kf k 2 tengliklar o`rinli bo`ladi. Isbot. E to`la Evklid fazosida {f n } ketma-ketlikni quyidagicha aniqlay- miz:
=
X
(27.16) qator yaqinlashuvchi bo`lgani uchun ixtiyoriy ε > 0 son uchun shun- day n(ε) > 0 mavjudki, barcha n > n(ε) va p ∈ N larda
2 = k c n+1 φ n+1 + · · · + c n+p φ n+p k 2 = n+p X
c 2
< ε 2 tengsizlik o`rinli, ya'ni {f n } − fundamental ketma-ketlik. E ning to`laligiga ko`ra {f
ketma-ketlik biror f ∈ E elementga yaqinlashadi. Istalgan i ∈ N uchun (f, φ i ) = (f n , φ i ) + (f − f n , φ i ) , (27.17) tenglik o`rinli. (27.17) ning o`ng tomonidagi birinchi qo`shiluvchi n ≥ i da c i ga teng, ikkinchi qo`shiluvchi esa n → ∞ da nolga intiladi, chunki |(f − f n , φ i )| ≤ k f − f n k · k φ i k = k f − f n k → 0, n → ∞ . 273
(27.17) tenglikning chap tomoni n ga bog`liq emas, shuning uchun n → ∞ da limitga o`tsak, (f, φ
) = c i . f ning aniqlanishiga ko`ra, k f − f n k 2 = Ã f − n X
c k φ k , f − n X
c k φ k ! = (f, f ) − ∞ X
c 2
→ 0, n → ∞. Shuning uchun ∞ X
c 2
= (f, f ) = kf k 2
∆ Ortogonal sistemaning to`laligi haqida quyidagi teoremani isbotlaymiz. 27.4-teorema. To`la separabel Evklid fazosidagi {φ n } ortonormal sistema to`la bo`lishi uchun, E da {φ
sistemaning barcha elementlariga ortogonal bo`lgan nolmas elementning mavjud bo`lmasligi zarur va yetarli. Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilaylik, {φ n } to`la sistema bo`lsin, u holda 27.2- teoremaga ko`ra u yopiq ham bo`ladi. Agar f element {φ
sistemaning bar- cha elementlariga ortogonal bo`lsa, u holda uning barcha Furye koetsiyentlari nolga teng, ya'ni c n = 0
bo`ladi. U holda Parseval tengligiga ko`ra, (f, f ) = ∞ X
c 2
= 0, ya'ni f = θ . Yetarliligi. Teskarisini faraz qilaylik, {φ
to`la bo`lmagan sistema bo`lsin, ya'ni E da shunday g 6= θ element mavjud bo`lib, (g, g) >
P
c 2
, bu yerda
= (g, φ k ) tengsizlik bajarilsin. Riss-Fisher teoremasiga asosan, shunday f ∈ E element mavjudki, (f, φ
) = c k , (f, f ) = ∞ X
c 2
tengliklar o`rinli. Bu holda f − g element barcha φ
larga ortogonal bo`ladi. (f, f ) =
X
c 2
< (g, g) 274
tengsizlikdan f − g 6= 0 ekanligi kelib chiqadi. ∆ 27.8-misol. L 2 [−π, π] Evklid fazosida {ψ
(t) = π −1/2 cos n t} ∞ n=1 orto-
normal sistema to`la bo`ladimi? Yechish. {ψ n } larning barchasiga ortogonal bo`lgan f 0 (t) = 1 nolmas element mavjud. Shuning uchun, 27.4-teoremaga ko`ra {ψ n } sistema to`la emas. 27.3. Evklid fazolarining xarakteristik xossalari Quyidagicha savolni qaraymiz. E − normalangan fazo bo`lsin. E da aniqlan- gan norma qanday qo`shimcha shartlarni qanoatlantirsa, E Evklid fazosi ham bo`ladi? Boshqacha aytganda, qanday shartlarda norma orqali unga mos skalyar ko`paytma kiritish mumkin? 27.5-teorema. E normalangan fazo Evklid fazosi bo`lishi uchun, ixtiyoriy ikkita f, g ∈ E elementlar uchun k f + g k 2 + k f − gk 2 = 2 k f k 2 + 2 k g k 2 (27.18) tenglik bajarilishi zarur va yetarli. Isbot. Zaruriyligi. f + g va f − g tomonlari f va g vektorlardan ibo- rat parallelogramm diagonallaridir. (27.18) tenglik Evklid fazosidagi parallel- ogrammning ma'lum xossasini ifodalaydi, ya'ni parallelogramm diagonallari kvadratlarining yig`indisi barcha tomonlar kvadratlarining yig`indisiga ten:
2 + kf − gk 2 = (f + g, f + g) + (f − g, f − g) = = 2 (f, f ) + 2 (g, g) = 2 kf k 2 + 2 kgk 2 . Yetarliligi. E normalangan fazoda normaning (27.18) ayniyatidan foy- dalanib, E da skalyar ko`paytma kiritish mumkinligini ko`rsatish kifoya. Ix- tiyoriy f, g ∈ E elementlar uchun (f, g) = 1 4 ³ k f + g k 2
2 ´
275 deymiz. Ko`rsatish mumkinki, agar (27.18) tenglik bajarilsa, (27.19) tenglik yordamida aniqlangan funksional skalyar ko`paytma shartlarini qanoatlantira- di. ∆
n p − n o`lchamli vektor fazoni qaraymiz. Bu fazoda x ele- mentning normasi quyidagicha aniqlanadi (26.3-misolga qarang):
= Ã n X
|x k | p ! 1 p . Qanday p ≥ 1 larda R n p normalangan fazo Evklid fazosi bo`ladi? Yechish. R
dan f = (1, 1, 0, . . . , 0) va g = (1, −1, 0, . . . , 0) vektor- larni olamiz. U holda
Endi (27.18) tenglikning bajarilishini tekshirib ko`ramiz: k f + g k p = (2
p ) 1/p = 2, k f − gk p = 2, k f k p = k g k p = 2
1/p , 2 2 + 2 2 = 2 · 2 2/p + 2 · 2 2/p
2 = 2
2/p . So`nggi tenglik faqat p = 2 da o`rinli. Demak, faqat p = 2 da R n p normalan- gan fazo Evklid fazosi ham bo`ladi. 27.10. C[0, π/2] fazoni qaraymiz. Ma'lumki, bu fazoda f elementning normasi quyidagicha aniqlanadi
Download 1.42 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling