M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

0≤t≤π/2

| f (t) | .

(27.20)

Bu fazo Evklid fazosi bo`ladimi?

Yechish. C[0, π/2] fazodan f(t) = cos t , g(t) = sin t elementlarni

olamiz. U holda k f k = k g k = 1 ,

k f + g k = max

0≤t≤π/2

| cos t + sin t| =

√

2

2

+

√

2

2

=

√

2,

276

k f − g k = max

0≤t≤π/2

| cos t − sin t| = 1.

Endi (27.18) tenglikning bajarilishini tekshiramiz:

2 + 1 = 2(1 + 1), 3 6= 4.

Demak, C[0, π/2] fazo Evklid fazosi bo`la olmaydi. Boshqacha aytganda (27.20)

tenglik bilan aniqlanuvchi normani biror bir skalyar ko`paytma yordamida

berish mumkin emas.

∆

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

Shunday funksionalga misol keltiringki, skalyar ko`paytmaning 1-sharti

bajarilmasin.

2.

Skalyar ko`paytmaning 1-sharti bajarilib, 2-4 shartlari bajarilmaydigan

funksionalga misol keltiring.

3.

To`la va to`la bo`lmagan Evklid fazolariga misollar keltiring. `

2

va C

2

[−1, 1]

fazolarni tahlil qiling.

4.

R

3

fazoda x = (1, 1, 1) , y = (1, 1, 0) z = (1, 0, 0) vektorlarni

ortogonallashtiring.

5.

C

2

[a, b]

fazoda ortonormal sistemaga misol keltiring.

6.

C

2

[−1, 1]

fazoda f(x) = 1 va g(x) = x vektorlar orasidagi burchakni

toping. Uni funksiya graklari orasidagi burchak bilan taqqoslang.

7.

{ f

n

(t) = cos (n π x)}

∞

n=1

sistemani C

2

[−1, 1]

fazoda ortogonallikka

tekshiring. U ortonormal sistema bo`ladimi?

8.

{ g

n

(t) = sin (n π x) }

∞

n=1

sistema L

2

[−1, 1]

fazoda yopiq sistema bo`la-

dimi?

277

9.

L

2

[−1, 1]

Evklid fazosida f(x) = 1 va g(x) = x vektorlarning

{ f

n

(x) = cos (n π x)} , n ∈ N

ortonormal sistemadagi Furye koetsiyentlarini toping.

10.

L

2

[−1, 1]

separabel Evklid fazosida

2

−1/2

, f

n

(x) = cos (n π x) , g

n

(x) = sin (n π x) , n ∈ N

ortonormal sistema to`la bo`ladimi?

11.

`

p

chiziqli normalangan fazo p ≥ 1 ning qanday qiymatlarida Evklid

fazosi bo`ladi.

12.

L

p

[a, b], p ≥ 1

chiziqli normalangan fazo p ning qanday qiymatlarida

Evklid fazosi bo`ladi.

28- § . Hilbert fazolari

To`la Evklid fazolarini qarashda davom etamiz. Bizni faqat cheksiz o`lchamli

Evklid fazolari qiziqtiradi, chunki chekli o`lchamli Evklid fazolari R

n

fazoga

izomorfdir.

28.1-ta'rif. Cheksiz o`lchamli to`la Evklid fazosi Hilbert fazosi deyiladi.

Shunday qilib, ixtiyoriy tabiatli f, g, ϕ, . . . elementlarning H to`plami

Hilbert fazosi bo`lsa, u quyidagi uchta shartni qanoatlantiradi:

1) H − Evklid fazosi, ya'ni skalyar ko`paytma kiritilgan chiziqli fazo;

2) ρ (x, y) =

p

(x − y, x − y)

metrika ma'nosida H − to`la fazo;

3) H fazo - cheksiz o`lchamli, ya'ni unda cheksiz elementli chiziqli erkli

sistema mavjud.

Odatda separabel Hilbert fazolari qaraladi, ya'ni H ning hamma yerida

zich bo`lgan sanoqli to`plam mavjud.

Bundan keyin biz faqat separabel Hilbert fazolarini qaraymiz.

278

28.1-misol. C

2

[a, b]

Evklid fazosi to`la emas (21.8 - misolga qarang),

shuning uchun C

2

[a, b]

Hilbert fazosi bo`la olmaydi.

28.2. `

2

va L

2

[a, b]

lar cheksiz o`lchamli to`la separabel Evklid fazolaridir

(27.7-misolga qarang). Shuning uchun ular Hilbert fazolari bo`ladi.

28.2-ta'rif. Agar E va E

∗

Evklid fazolari o`rtasida o`zaro bir qiymatli

moslik o`rnatish mumkin bo`lib,

x → x

∗

, y → y

∗

, x, y ∈ E, x

∗

, y

∗

∈ E

∗

ekanligidan

x + y ↔ x

∗

+ y

∗

,

λ x ↔ λ x

∗

va

(x, y) = (x

∗

, y

∗

)

munosabatlar kelib chiqsa, E va E

∗

lar izomorf fazolar deyiladi.

Boshqacha aytganda, Evklid fazolarining izomorigi shundan iboratki, bu

fazolar o`rtasida o`zaro bir qiymatli moslik mavjud bo`lib, bu moslik shu fazo-

lardagi chiziqli amallarni va ulardagi skalyar ko`paytmani saqlaydi.

Ma'lumki, n − o`lchamli ixtiyoriy ikkita Evklid fazosi o`zaro izomorfdir.

Cheksiz o`lchamli Evklid fazolari o`zaro izomorf bo`lishi shart emas. Masalan

`

2

va C

2

[a, b]

fazolar izomorf emas, chunki `

2

to`la, C

2

[a, b]

esa to`la emas.

Quyidagi teorema o`rinli.

28.1-teorema. Ixtiyoriy ikkita separabel Hilbert fazosi o`zaro izomorfdir.

Isbot. Ixtiyoriy H Hilbert fazosini `

2

fazoga izomorigini ko`rsatamiz.

Agar shuni ko`rsatsak, teorema isbot bo`lgan bo`ladi. H Hilbert fazosidan

ixtiyoriy {φ

n

}

to`la ortonormal sistemani olamiz va f ∈ H elementga uning

Furye koetsiyentlari bo`lgan c

1

, c

2

, . . . , c

n

, . . .

ketma-ketlikni mos qo`yamiz.

Bessel tengsizligiga ko`ra,

∞

X

n=1

c

2

n

< ∞.

Shuning uchun c = (c

1

, c

2

, . . . , c

n

, . . .)

ketma-ketlik `

2

fazoning elementi

bo`ladi. Teskarisi, Riss-Fisher teoremasiga ko`ra, `

2

fazoning ixtiyoriy c =

279

(c

1

, c

2

, . . . , c

n

, . . .)

elementiga (ketma-ketligiga) H fazoning yagona f ele-

menti mos keladi va uning Furye koetsiyentlari bo`lib, c

1

, c

2

, . . . , c

n

, . . .

sonlar xizmat qiladi. O`rnatilgan bu moslik o`zaro bir qiymatlidir. Agar

f ↔ c = (c

1

, c

2

, . . . , c

n

, . . .)

va

g ↔ d = (d

1

, d

2

, . . . , d

n

, . . .)

bo`lsa, u holda

f + g ↔ c + d = (c

1

+ d

1

, c

2

+ d

2

, . . . , c

n

+ d

n

, . . .)

va

αf ↔ αc = (αc

1

, αc

2

, . . . , αc

n

, . . .) .

Nihoyat, Parseval tengligidan

(f, g) =

∞

X

n=1

c

n

d

n

= (c, d)

ekanligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham,

(f, f ) =

∞

X

n=1

c

2

n

,

(g, g) =

∞

X

n=1

d

2

n

(28.1)

va

(f + g, f + g) = (f, f ) + 2 (f, g) + (g, g) =

=

∞

X

n=1

(c

n

+ d

n

)

2

=

∞

X

n=1

c

2

n

+ 2

∞

X

n=1

c

n

d

n

+

∞

X

n=1

d

2

n

.

Bu yerdan va (28.1) dan

(f, g) =

∞

X

n=1

c

n

d

n

= (c, d) .

Shunday qilib, biz o`rnatgan moslik izomorzm ekan, ya'ni bu moslik chiziqli

amallarni va skalyar ko`paytmani saqlaydi.

∆

Isbotlangan teoremadan shunday xulosa kelib chiqadiki, izomorzm aniqligi-

da faqat `

2

Hilbert fazosi mavjud ekan. Boshqacha aytganda, `

2

fazo H

Hilbert fazosining koordinat ko`rinishi desak bo`ladi.

280

H

Hilbert fazosining qism fazosi deganda yopiq qism fazoni tushunamiz.

Hilbert fazosining qism fazolariga misollar keltiramiz.

28.3-misol. h ∈ H − ixtiyoriy element bo`lsin. h ga ortogonal bo`lgan

barcha f ∈ H elementlar to`plami qism fazo tashkil qiladi.

28.4. `

2

fazoda x

1

= x

2

shartni qanoatlantiruvchi elementlar to`plami

qism fazo tashkil qiladi.

28.5. `

2

fazoning M = {x ∈ `

2

: x = (x

1

, 0, x

3

, 0, x

5

, . . . , x

2n+1

, 0, . . .)}

to`plami uning qism fazosi bo`ladi.

Hilbert fazosining har qanday qism fazosi yo chekli o`lchamli Evklid fazosi

bo`ladi, yo uning o`zi Hilbert fazosini tashkil qiladi.

28.6. L

2

[−1, 1]

Hilbert fazosida toq funksiyalardan iborat L

−

2

[ − 1, 1] =

{f ∈ L

2

[−1, 1] : f (−t) = −f (t)}

to`plam qism fazo tashkil qiladi.

28.7. L

2

[−1, 1]

separabel Hilbert fazosida quyidagi to`plam L

−

0

[−1, 1] =

{f ∈ L

2

[−1, 1] : suppf ⊂ [−1, 0]}

qism fazo tashkil qiladi.

Agar H Hilbert fazosi separabel bo`lsa, uning ixtiyoriy qismi ham separabel

bo`ladi. Bu quyidagi lemmadan kelib chiqadi.

28.1-lemma. E separabel Evklid fazosining har qanday E

0

qismi yana

separabeldir.

Hilbert fazosining qism fazolari ayrim maxsus xossalarga egaki, ixtiyoriy

normalangan fazoning qism fazolari bu xossalarga ega emas. Bu xossalar Hilbert

fazosida kiritilgan skalyar ko`paytma va unga mos ortogonallik tushunchasiga

asoslangan.

H

separabel Hilbert fazosining M qism fazosi berilgan bo`lsin. Bu qism

fazoning hamma yerida zich bo`lgan sanoqli sistema olamiz va unga ortogo-

nallashtirish jarayonini qo`llab, quyidagi teoremaga ega bo`lamiz.

28.2-teorema. H separabel Hilbert fazosining ixtiyoriy M qism fazosida

shunday {φ

n

}

ortonormal sistema mavjudki, uning chiziqli qobig`ining yopig`i

281

M

ga teng.

Bizga H Hilbert fazosining M qism fazosi berilgan bo`lsin. Barcha f ∈ M

elementlarga ortogonal bo`lgan g ∈ H elementlar to`plamini M

⊥

= H ª M

orqali belgilaymiz, ya'ni

M

⊥

= { g ∈ H : (f, g) = 0, ∀f ∈ M }.

M

⊥

ham H ning qism fazosi ekanligini isbotlaymiz. Bu to`plamning qo`shish

va songa ko`paytirish amallariga nisbatan yopiqligini ko`rsatamiz. Agar g

1

, g

2

∈

M

⊥

bo`lsa, u holda

(α

1

g

1

+ α

2

g

2

, f ) = α

1

(g

1

, f ) + α

2

(g

2

, f ) = 0.

Endi M

⊥

to`plamning yopiqligini ko`rsatamiz. Faraz qilaylik, {g

n

} ⊂ M

⊥

elementlar ketma-ketligi g ∈ H elementga yaqinlashsin. U holda skalyar

ko`paytmaning uzluksizligiga ko`ra, istalgan f ∈ M uchun

(g, f ) = lim

n→∞

( g

n

, f ) = 0.

Demak, g ∈ M

⊥

, ya'ni M

⊥

yopiq qism fazo bo`lar ekan. M

⊥

qism fazo M

qism fazoning ortogonal to`ldiruvchisi deyiladi.

Bizga H Hilbert fazosi va uning M

1

va M

2

qism fazolari berilgan bo`lsin.

28.3-ta'rif. Agar barcha f

1

∈ M

1

va f

2

∈ M

2

lar uchun (f

1

, f

2

) = 0

bo`lsa, u holda M

1

va M

2

qism fazolar ortogonal qism fazolar deyiladi.

28.3-teorema. Agar M − H Hilbert fazosining yopiq qism fazosi bo`lsa,

u holda ixtiyoriy f ∈ H element yagona usul bilan f = h + h

0

yig`indiga

yoyiladi, bu yerda h ∈ M , h

0

∈ M

⊥

.

Isbot. Avvalo, bu yoyilmaning mavjudligini isbotlaymiz. Buning uchun M

da {φ

n

}

to`la ortonormal sistema olamiz va

h =

∞

X

n=1

c

n

φ

n

, c

n

= (f, φ

n

)

282

deymiz. Bessel tengsizligiga ko`ra,

∞

X

n=1

c

2

n

qator yaqinlashuvchi bo`lgani uchun h ∈ M . Endi h

0

= f − h

deb olamiz.

Ko`rinib turibdiki, ixtiyoriy n ∈ N uchun

(h

0

, φ

n

) = (f, φ

n

) − (h, φ

n

) = c

n

− c

n

= 0.

Ixtiyoriy ξ ∈ M element uchun

ξ =

∞

X

n=1

a

n

φ

n

va

(h

0

, ξ) =

∞

X

n=1

a

n

(h

0

, φ

n

) = 0,

ya'ni h

0

∈ M

⊥

.

Endi yoyilmaning yagonaligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, boshqa bir f =

h

1

+ h

0

1

, h

1

∈ M, h

0

1

∈ M

⊥

yoyilma mavjud bo`lsin. U holda ixtiyoriy n ∈ N

uchun

(h

1

, φ

n

) = (f, φ

n

) = c

n

.

Bu yerdan kelib chiqadiki h

1

= h, h

0

1

= h

0

.

∆

28.1-natija. M ⊂ H qism fazoning ortogonal to`ldiruvchisining ortogonal

to`ldiruvchisi M ning o`ziga teng, ya'ni

¡

M

⊥

¢

⊥

= M

.

Shunday qilib, H fazoning o`zaro to`ldiruvchi qism fazolari haqida kr

yuritish mumkin. Agar M va M

⊥

ikkita shunday bir-birini to`ldiruvchi qism

fazolar va {φ

n

}, {φ

0

n

} −

mos ravishda M va M

⊥

dagi to`la ortonormal

sistema bo`lsa, u holda {φ

n

}

va {φ

0

n

}

sistemalarning birlashmasi butun H

fazoda to`la ortonormal sistema bo`ladi.

28.2-natija. H fazodagi har qanday ortonormal sistemani to`la sistema-

gacha to`ldirish mumkin.

Agar {φ

n

}

sistema chekli bo`lsa, u holda bu sistemaga kiruvchi elementlar

soni {φ

n

}

sistemadan hosil qilingan M qism fazoning o`lchamiga va M

⊥

qism fazoning koo`lchamiga teng. Shunday qilib, quyidagiga egamiz.

283

28.3-natija. n o`lchamli qism fazoning ortogonal to`ldiruvchisi n koo`l-

chamga ega va aksincha.

28.4-ta'rif. Bizga H Hilbert fazosi va uning o`zaro ortogonal M

1

va M

2

qism fazolari berilgan bo`lsin. Agar ixtiyoriy f ∈ H element

f = h

1

+ h

2

, h

1

∈ M

1

, h

2

∈ M

2

ko`rinishda tasvirlansa, u holda H fazo o`zaro ortogonal M

1

va M

2

qism

fazolarning to`g`ri yig`indisiga yoyiladi deyiladi va

H = M

1

⊕ M

2

ko`rinishda yoziladi.

To`g`ri yig`indini chekli yoki sanoqli sondagi qism fazolar uchun ham umum-

lashtirish mumkin. Agar quyidagi shartlar bajarilsa H o`zining M

1

, M

2

, . . . ,

M

n

, . . .

qism fazolarining to`g`ri yig`indisiga yoyilgan deyiladi:

a) M

i

qism fazolar juft-jufti bilan o`zaro ortogonal, ya'ni M

i

dagi ixtiyoriy

vektor M

k

dagi barcha vektorlarga ortogonal, i 6= k ;

b) ixtiyoriy f ∈ H element

f = h

1

+ h

2

+ · · · + h

n

+ · · · ,

h

n

∈ M

n

, n = 1, 2, . . .

(28.2)

ko`rinishda tasvirlanadi, agar qo`shiluvchilar soni cheksiz bo`lsa,

∞

X

n=1

k h

n

k

2

qator yaqinlashuvchi bo`ladi. Bu holda H =

∞

P

n=1

⊕M

n

ko`rinishda yoziladi.

Osongina ko`rsatish mumkinki, agar f uchun (28.2) yoyilma mavjud bo`lsa,

u yagona va quyidagi tenglik o`rinli:

k f k

2

=

∞

X

n=1

k h

n

k

2

.

284

Qism fazolarning to`g`ri yig`indisi bilan bir qatorda chekli yoki sanoqli

sondagi Hilbert fazolarining to`g`ri yig`indisi haqida ham gapirish mumkin.

Agar H

1

va H

2

lar ixtiyoriy Hilbert fazolari bo`lsa, u holda ularning to`g`ri

yig`indisi H = H

1

⊕ H

2

quyidagicha aniqlanadi. H fazoning elementlari

barcha (h