M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

operatorni qaraymiz. Uning chegaralangan ekanligini ko`rsatib, normasini to-

ping.

Yechish. B operatorning chiziqli ekanligi oson tekshiriladi. Uzluksiz funk-

siyalarning ko`paytmasi uzluksiz ekanligidan B operatorning aniqlanish sohasi

D(B) = C[−1, 1]

ekanligi kelib chiqadi. Endi B operatorning chegaralangan

ekanligini ko`rsatamiz.

kBf k = max

−1≤x≤1

|x f (x)| ≤ max

−1≤x≤1

|x| · max

−1≤x≤1

|f (x)| = 1 · kf k

Bu tengsizlikdan B operatorning chegaralangan ekanligi va kB k ≤ 1 kelib

chiqadi. Ikkinchi tomondan, agar f

0

(x) = 1

desak, u holda

(B f

0

)(x) = x, kB f

0

k = 1, kBk ≥

kB f

0

k

kf

0

k

= 1

302

ni olamiz. Yuqoridagilardan kB k = 1 kelib chiqadi.

Xuddi shunday ko`rsatish mumkinki, L

2

[−1, 1]

Hilbert fazosida ham (29.10)

tenglik bilan aniqlangan B operator chiziqli chegaralangan bo`lib, normasi 1

ga teng bo`ladi.

29.9. Endi `

2

fazoda ko`paytirish operatorini, ya'ni

A : `

2

→ `

2

, (Ax)

n

= a

n

x

n

, sup

n≥1

|a

n

| = a < ∞

(29.11)

operatorni qaraymiz. Uning chegaralangan ekanligini ko`rsatib, normasini to-

ping.

Yechish. Ixtiyoriy x ∈ `

2

uchun Ax ∈ `

2

ekanligini ko`rsatamiz:

∞

X

n=1

|(Ax)

n

|

2

=

∞

X

n=1

|a

n

x

n

|

2

≤ sup

n≥1

|a

n

|

2

∞

X

n=1

|x

n

|

2

= a

2

kx k

2

.

(29.12)

Bu munosabatlardan D(A) = `

2

ekanligini olamiz. Endi uning chiziqli ekan-

ligini ko`rsatamiz. A operatorning aniqlanishiga ko`ra

(A(αx + βy))

n

= a

n

(αx

n

+ βy

n

) = a

n

αx

n

+ a

n

βy

n

= α(Ax)

n

+ β(Ay)

n

.

Demak, A chiziqli operator ekan. Uning chegaralangan ekanligi (29.12) teng-

sizlikdan kelib chiqadi. Bundan tashqari (29.12) tengsizlikdan kAk ≤ a ekan-

ligi ham kelib chiqadi. A operatorning normasi kA k = a ekanligini isbot-

laymiz. Buning uchun `

2

fazoda {e

n

}

∞

n=1

ortonormal sistemani ((23.8) ga

qarang) olamiz. A operatorning aniqlanishiga ko`ra, ixtiyoriy n ∈ N uchun

Ae

n

= a

n

e

n

tenglik o`rinli. Bundan va (29.7) dan

kA k ≥ kAe

n

k = ka

n

e

n

k = |a

n

| · ke

n

k = |a

n

|

munosabat kelib chiqadi. Bu tengsizlik ixtiyoriy n ∈ N da o`rinli bo`lgani

uchun

kAk ≥ sup

n≥1

|a

n

| = a

(29.13)

ni olamiz. Demak, kAk = a tenglik isbotlandi.

∆

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

303

1.

L

2

[−1, 1]

Hilbert fazosida (29.10) tenglik bilan aniqlangan B ko`paytirish

operatorining chiziqli chegaralangan ekanligini ko`rsatib, uning normasi-

ni toping.

2.

L

2

[a, b]

Hilbert fazosida (29.1) tenglik bilan aniqlangan B integral ope-

ratorning chiziqli chegaralangan ekanligini ko`rsating.

3.

L

2

[−π, π]

Hilbert fazosida (29.1) tenglik bilan aniqlangan B integral

operatorning o`zagi K(x, t) = cos(x − t) bo`lgan holda, uning yadrosi

KerB

va qiymatlar sohasi R(B) ni tavsiang.

4.

29.3 va 29.8-misollarda keltirilgan operatorlar y ig`indisini toping.

5.

Integral operator

A : C[−1, 1] → C[−1, 1], (Af )(x) =

Z

1

−1

(1 + xy)f (y)dy

va 29.8-misolda keltirilgan x ga ko`paytirish operatori B larning ko`paytmasini

toping. AB = BA tenglik to`g`rimi?

6.

Agar A, B ∈ L(X, Y ) bo`lsa, u holda | kAk − kBk | ≤ kA − Bk teng-

sizlikni isbotlang.

7.

Aytaylik, X chiziqli normalangan fazo bo`lsin. p : X → R , p(x) = kxk

akslantirishning uzluksizligini isbotlang.

30- § . Normalangan fazolarda chiziqli funksionallar

Ma'lumki, chiziqli funksional va uning nollari 24-Ÿ da o`rganilgan edi. 25-Ÿ

da esa L

0

qism fazoda aniqlangan f

0

chiziqli funksionalni p qavariq funksio-

nalga bo`ysungan holda butun L fazogacha chiziqli davom ettirish mumkinli-

gi haqidagi Xan-Banax teoremasi isbotlangan edi. Biz bu paragrafda chiziqli

304

funksionalning normasini saqlagan holda uni butun L fazogacha davom et-

tirish mumkinligi haqidagi Xan-Banax teoremasini isbotlaymiz, hamda funk-

sional fazolarda chiziqli uzluksiz funksionallarning umumiy ko`rinishidan foy-

dalanib, asosiy funksional fazolarga qo`shma fazolarni izomorzm aniqligida

topamiz.

30.1. Chiziqli funksionallar

Agar operatorning qiymatlari sonlardan iborat bo`lsa, bunday operator

funksional deyiladi (24.1-ta'rifga qarang). Agar X chiziqli fazoda aniqlangan

f

funksional uchun quyidagi shartlar bajarilsa

1) f(x

1

+ x

2

) = f (x

1

) + f (x

2

), ∀x

1

, x

2

∈ X

; additivlik,

2) f(λx) = λf(x), ∀x ∈ X, ∀λ ∈ C , (yoki R), bir jinslilik

f

ga chiziqli funksional (24.2, 24.3-ta'riarga qarang) deyiladi.

30.1-ta'rif. Agar ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday δ = δ(ε) > 0 mavjud

bo`lib, kx − x

0

k < δ

tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x ∈ D(f) lar

uchun |f(x) − f(x

0

)| < ε

tengsizlik bajarilsa, f funksional x = x

0

nuqtada

uzluksiz deyiladi. Agar f funksional ixtiyoriy x ∈ D(f) nuqtada uzluksiz

bo`lsa, f uzluksiz funksional deyiladi.

30.1-ta'rifga teng kuchli bo`lgan quyidagi ta'rifni keltiramiz.

30.2-ta'rif. Agar x

0

nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy x

n

ketma-ketlik uchun

lim

n→∞

|f (x

n

) − f (x

0

)| = 0

bo`lsa, u holda f funksional x

0

nuqtada uzluksiz

deyiladi.

C −

kompleks sonlar to`plami ( R − haqiqiy sonlar to`plami) Banax fazosi

bo`lganligi uchun 29-Ÿ da chiziqli operatorlar uchun o`rnatilgan teorema va

tasdiqlar chiziqli funksionallar uchun ham o`rinli bo`ladi.

30.1-teorema. X chiziqli normalangan fazoda aniqlangan chiziqli funk-

sional biror x

0

∈ X

nuqtada uzluksiz bo`lsa, u holda bu chiziqli funksional

butun X fazoda uzluksiz.

305

30.2-teorema. X chiziqli normalangan fazoda aniqlangan chiziqli f funk-

sional uzluksiz bo`lishi uchun uning chegaralangan bo`lishi zarur va yetarli.

Xuddi chiziqli operatorlardagidek |f(x)| ≤ M kxk tengsizlikni qanoat-

lantiruvchi M sonlarning aniq quyi chegarasi f funksionalning normasi deyi-

ladi va kfk bilan belgilanadi. Shunday qilib,

|f (x)| ≤ kf k · kxk .

Bundan tashqari, chiziqli chegaralangan funksionalning normasi kfk uchun

quyidagi tenglik o`rinli:

kf k = sup

kxk=1

|f (x)| = sup

x6=0

|f (x)|

kxk

.

(30.1)

30.3-teorema (Xan-Banax). E kompleks chiziqli normalangan fazo, E

0

−

E

ning qism fazosi va f

0

− E

0

da aniqlangan chiziqli uzluksiz funksional

bo`lsin. U holda f

0

ni normasini saqlagan holda E da aniqlangan f chiziqli

funksionalgacha davom ettirish mumkin, ya'ni

f (x) = f

0

(x), x ∈ E

0

va kf k

E

= kf

0

k

E

0

shartlarni qanoatlantiruvchi f : E → C chiziqli funksional mavjud.

Isbot. Aytaylik, kf

0

k

E

0

= K

bo`lsin. Norma aksiomalaridan bevosita kelib

chiqadiki, barcha x ∈ E larda p(x) = K kxk tenglik bilan aniqlanuvchi

akslantirish qavariq funksional bo`ladi. Bundan tashqari ixtiyoriy x ∈ E

0

uchun

| f

0

(x) | ≤ kf

0

k

E

0

· kxk = K · kxk = p(x)

tengsizlik o`rinli. Shunday ekan, f

0

25.3-teorema shartlarini qanoatlantiradi.

U holda E da aniqlangan shunday f chiziqli funksional mavjudki, quyidagilar

bajariladi:

f (x) = f

0

(x), ∀x ∈ E

0

,

|f (x) | ≤ p(x) = kf

0

k · kxk , ∀x ∈ E.

306

Bu yerdan f ning chegaralanganligi va k f k ≤ k f

0

k

tengsizlik kelib chiqadi.

Ikkinchi tomondan,

k f k

E

= sup

x∈E, x6=θ

|f (x)|

k x k

≥

sup

x∈E

0

, x6=θ

|f (x)|

k x k

= k f

0

k

E

0

.

Demak, k f k

E

= k f

0

k

E

0

.

∆

30.1-natija. X chiziqli normalangan fazo va x

0

6= θ

undagi ixtiyoriy bel-

gilangan element bo`lsin. U holda butun X da aniqlangan shunday f chiziqli

funksional mavjudki,

k f k = 1, f (x

0

) = kx

0

k

(30.2)

tengliklar o`rinli bo`ladi.

Isbot. f funksionalni bir o`lchamli X

0

= {αx

0

}

qism fazoda quyidagicha

aniqlaymiz: f

0

(αx

0

) = α kx

0

k .

Ko`rinib turibdiki,

f (x

0

) = kx

0

k , |f

0

(x)| = | α | k x

0

k = k x k , x = α x

0

Bu yerdan kf

0

k

E

0

= 1. f

0

funksionalni butun X gacha chiziqli davom etti-

ramiz. Hosil bo`lgan funksional (30.2) shartlarni qanoatlantiruvchi funksional

bo`ladi.

∆

Endi chiziqli funksionalning davomiga doir misol qaraymiz.

30.1-misol. L = C[−1, 1] uzluksiz funksiyalar fazosi va uning L

0

=

{f ∈ C[−1, 1] : suppf ⊂ [0, 1]}

qism fazosini qaraymiz. L

0

qism fazoda f

0

chiziqli funksionalni quyidagicha aniqlaymiz:

f

0

(x) =

Z

1

−1

x(t)dt, x ∈ L

0

.

f

0

funksionalni normasini saqlagan holda davom ettiring.

Yechish. f

0

funksionalning normasini hisoblaymiz. Agar x ∈ L

0

bo`lsa,

u holda

Z

0

−1

x(t)dt = 0

307

bo`ladi. Shuning uchun

|f

0

(x)| =

¯

¯

¯

¯

Z

1

−1

x(t)dt

¯

¯

¯

¯ =

¯

¯

¯

¯

Z

1

0

x(t)dt

¯

¯

¯

¯ ≤ max

0≤t≤1

|x(t) |

Z

1

0

dt = k x k

L

0

.

Demak,

k f

0

k ≤ 1.

Endi k f

0

k ≥ 1

tengsizlikni ko`rsatamiz. Buning uchun C[−1, 1] fazoda

uzluksiz funksiyalarning

x

n

(t) =



















0,

t ∈ [−1, 0]

nt, t ∈ (0, 1/n),

1,

t ∈ [1/n, 1]

ketma-ketligini qaraymiz. Bu ketma-ketlik uchun quyidagilar o`rinli:

x

n

∈ L

0

, kx

n

k = 1,

∀n ∈ N ,

|f

0

(x

n

)| =

¯

¯

¯

¯

Z

1

0

x

n

(t)dt

¯

¯

¯

¯ ≥

Z

1

1

n

dt = 1 −

1

n

.

(30.3)

(30.3) tengsizlikda n lar bo`yicha aniq yuqori chegara olsak,

k f

0

k ≥ sup

n≥1

|f

0

(x

n

)| = sup

n≥1

½

1 −

1

n

¾

= 1

tengsizlikka ega bo`lamiz. Bu ikkala tengsizlikdan kf

0

k = 1

tenglikni olamiz.

25.6-misoldagi kabi C[−1, 1] chiziqli fazoda g

y

, y ∈ V

0

[−1, 0]

funksionalni

quyidagicha aniqlaymiz:

g

y

(x) =

Z

0

−1

x(t)y(t)dt +

Z

1

0

x(t)dt , x ∈ L.

(30.4)

Ma'lumki, istalgan y ∈ V

0

[−1, 0]

uchun g

y

funksional f

0

funksionalning

C[−1, 1]

fazogacha davomi bo`ladi. g

y

funksional uchun Xan-Banax teore-

masining tasdig`i o`rinlimi? Boshqacha aytganda k f

0

k = k g

y

k

tenglik qanday

y ∈ V

0

[−1, 0]

lar uchun o`rinli? C[a, b] fazodagi chiziqli uzluksiz funksional-

ning umumiy ko'rinishi haqidagi Riss - 30.4-teorema, hamda (30.19) tenglik-

dan foydalansak, (30.4) ko`rinishdagi davomlar ichida yagona g

0

funksional

308

f

0

funksionalning normasini saqlagan holda L = C[−1, 1] fazogacha davo-

mi bo`ladi. 25.6-misolda f

0

funksionalni (25.1) shartni saqlagan holda cheksiz

ko`p (kontinuum) usul bilan L fazogacha davom ettirish mumkin edi.

30.2. Qo`shma fazolar

Chiziqli funksionallarning umumiy ko`rinishidan foydalanib, qo`shma fazoni

ayrim hollarda izomorzm aniqligida topish mumkin.

30.3-ta'rif. X normalangan fazoda aniqlangan, chiziqli uzluksiz funksio-

nallar fazosi X ga qo`shma fazo deyiladi va X

∗

bilan belgilanadi, ya'ni X

∗

=

L(X, C).

Bundan keyingi 31-Ÿ da ya'ni chiziqli uzluksiz operatorlar fazosi mavzusi-

da biz Y to`la fazo bo`lgan holda L(X, Y ) fazoning Banax fazosi bo`lishini

isbotlaymiz. Shunga ko`ra (31.1-natijaga qarang) X chiziqli normalangan fa-

zoga qo`shma bo`lgan X

∗

= L(X, C)

fazo Banax fazosi boladi. Chunki,

kompleks sonlar to`plami C = Y to`la normalangan fazo. Qo`shma fazo-

larni o`rganishni eng sodda holdan, yani X fazo n o`lchamli (haqiqiy yoki

compleks) chiziqli fazo bo`lgan holdan boshlaymiz.

30.2-misol. X n o`lchamli (haqiqiy yoki compleks) chiziqli fazo bo`lsin.

Bu fazoda biror e

1

, e

2

, . . . , e

n

bazisni tanlaymiz. U holda har bir x ∈ X vektor

yagona ravishda

x =

n

X

j=1

x

j

e

j

(30.5)

ko`rinishda tasvirlanadi. Agar f −X da aniqlangan chiziqli funksional bo`lsa,

u holda ravshanki,

f (x) =

n

X

j=1

x

j

f (e

j

)

(30.6)

bo`ladi. Shunday ekan, chiziqli funksional o`zining e

1

, e

2

, . . . , e

n

bazis vektor-

lardagi qiymatlari bilan bir qiymatli aniqlanadi. Bundan tashqari bu qiymat-

309

larni ixtiyoriy berish mumkin. Ushbu g

1

, g

2

, . . . , g

n

funksionallarni

g

i

(e

j

) =







0, agar i 6= j,

1, agar i = j

deb aniqlaymiz. Ko`rsatish mumkinki, bu funksionallar chiziqli bog`lanmagan.

Agar x ∈ X element (30.5) ko`rinishda bo`lsa, u holda g

i

(x) = x

i

tenglik

bajariladi. Shuning uchun (30.6) formulani

f (x) =

n

X

i=1

g

i

(x)f (e

i

)

ko`rinishda yozish mumkin. Shunday qilib g

1

, g

2

, . . . , g

n

funksionallar X

∗

fa-

zoda bazis tashkil qilar ekan, ya'ni X

∗

ham n o`lchamli fazodir. X

∗

dagi

g

1

, g

2

, . . . , g

n

bazis X dagi e

1

, e

2

, . . . , e

n

bazisga ikkilamchi bazis deyiladi.

X

fazoda aniqlangan har xil normalar X

∗

fazoda har xil normalarni

keltirib chiqaradi. Hozir biz X va X