M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar
Download 1.42 Mb. Pdf ko'rish
|
funksional analiz va integral tenglamalar
i f i ! 1 q Ã
X
! 1 p = 315 = Ã
X
! 1 q Ã
X
! 1 p = kf k q kxk p . Demak,
° ° ° e f ° ° ° q = k f k q . Ko`rsatish mumkinki, ` q fazodagi ixtiyoriy ˜ f chiziqli uzluksiz funksional (30.11) ko`rinishda tasvirlanadi. Shunday qilib ` ∗ q va ` q , p −1 + q −1 = 1
fazolarning izomorigi isbotlandi. Xususan, p = 2 da ` ∗ 2 = ` 2 kelib chiqadi. Shuning uchun ` 2 fazo o`z-o`ziga qo`shma fazo deyiladi. Xuddi shunday ko`rsatish mumkinki, ixtiyoriy Hilbert fazosining qo`shmasi ham o`ziga izomorf bo`ladi. 30.4. Endi ` 1 fazoning qo`shmasini topamiz. 30.2-misolning c) bandidagi- ga o`xshash mulohazalar qilib ko`rsatish mumkinki, ` 1 fazoning qo`shmasi ` ∞ = m − chegaralangan ketma-ketliklar fazosiga izomorfdir, ya'ni `
1 = m . Quyidagi tasdiqlarni o`quvchiga mustaqil isbotlash uchun qoldiramiz: c ∗ = ` 1
0 = ` 1 . Bu tengliklarni izomorzm aniqligida tushunish kerak. 30.5. Endi X = C[a, b] fazoga qo`shma fazoni izomorzm aniqligida topamiz. Ma'lumki, [a, b] kesmada aniqlangan va t = a nuqtada nolga aylanuvchi o`zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi V 0 [a, b] orqali belgi- lanadi (26.15-misolga qarang). Ko`rsatish mumkinki, bu to`plam funksiyalarni qo`shish va ularni songa ko`paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Bu fazoda x elementning normasi k x k = V b a [x] tenglik bilan aniqlana- di. Bu yerda V b a [x] o`zgarishi chegaralangan x funksiyaning [a, b] kesmadagi to`la o`zgarishi. Ko`rsatamizki, (C[a, b]) ∗ = V 0 [a, b] . Biz M[a, b] − bilan [a, b] kesmada aniqlangan barcha chegaralangan funk- siyalar to`plamini belgilaymiz. Bu to`plam odatdagi funksiyalarni qo`shish va 316
songa ko`paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi (26.8-misolga qarang). Bu fazoda x elementning normasi k x k = sup a≤t≤b | x(t) | tenglik bilan aniqlanadi. Har bir x ∈ C[a, b] funksiya chegaralangan va sup
tenglik o`rinli bo`lgani uchun C[a, b] fazoni M[a, b] fazoning qism fazosi sifatida qarash mumkin. Endi f ∈ C
[a, b] ixtiyoriy chiziqli uzluksiz funksio- nal bo`lsin. Normalangan fazolarda Xan-Banax teoremasiga (30.3-teoremaga qarang) ko`ra, f ∈ C
[a, b] funksionalni normasini saqlagan holda butun
fazoga davom ettirish mumkin. F deb f funksionalning C[a, b] dan M[a, b] ga davomini belgilaymiz. Endi
ϕ t (ξ) =
1, agar a ≤ ξ ≤ t, 0, agar t < ξ ≤ b t ∈ [a, b] funksiyalar oilasini qaraymiz. Ravshanki, ixtiyoriy t ∈ [a, b] uchun ϕ t ∈ M [a, b] . F funksionalning ϕ t ∈ M [a, b] elementdagi qiymatini u(t) deb belgilaymiz, ya'ni u(t) = F (ϕ
), t ∈ [a, b]. Natijada [a, b] kesma- da u funksiya aniqlandi. Bu funksiyaning o`zgarishi chegaralangan ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun [a, b] kesmani ixtiyoriy chekli sondagi
0
1
2
n−1 < t n = b (30.13) nuqtalar bilan bo`lakchalarga ajratamiz. (30.13) bo`linishga mos n X
| u(t k ) − u(t k−1 )| yig`indini qaraymiz. Agar
= sign [u(t k ) − u(t k−1 )] , k = 1, 2, . . . , n 317
belgilashlarni kiritsak, u holda n P
| u(t k ) − u(t k−1 )| = n P
α k | u(t k ) − u(t k−1 )| = =
P
α k ¯ ¯ F (ϕ t k ) − F (ϕ t k−1 ) ¯ ¯ = F ·
P
¡
t k − ϕ t k−1 ¢ ¸ . F chiziqli funksionalning chegaralanganligi va k F k = k f k dan n X
| u(t k ) − u(t k−1 )| ≤ k F k · ° °
° °
X
¡
t k − ϕ t k−1 ¢ ° ° ° ° ° = k f k tenglik kelib chiqadi. So`nggi tenglik ° ° ° ° ° n X
α k ¡
t k − ϕ t k−1 ¢ ° ° ° ° ° = sup
ξ∈[a, b] ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n X
α k ¡
t k (ξ) − ϕ t k−1 (ξ) ¢ ¯
¯ ¯ ¯ = 1 tenglikka asoslangan. Shunday qilib, (30.13) ko`rinishdagi ixtiyoriy bo`linishda n X
| u(t k ) − u(t k−1 )| ≤ k f k tengsizlik o`rinli. Bundan kelib chiqadiki, u ∈ V [a, b] va
[u] ≤ k f k . (30.14)
ixtiyoriy element bo`lsin. Har bir n natural son uchun [a, b] kesmani
0
1
2
n−1 < t n = b, t k = a + b − a n k, k = 1, 2, . . . , n (30.15) nuqtalar yordamida n ta teng bo`lakka ajratamiz va
(t) = n X
x(t k ) £ ϕ t k (t) − ϕ t k−1 (t) ¤ (30.16) pog`onasimon funksiyani quramiz. U holda F (y n ) quyidagi formula bo`yicha aniqlanadi: F (y n ) =
n X
x(t k ) [u(t k ) − u(t k−1 )] . 318
Bu y n funksiyalarning aniqlanishidan ko`rinib turibdiki, y n (a) = x(a) va agar t k−1 < t < t k bo`lsa y n (t) = x(t k ), k = 1, 2, . . . , n . Kantor teo- remasiga ko`ra, x funksiya [a, b] kesmada tekis uzluksiz funksiya bo`ladi. Demak, ε > 0 uchun shunday δ > 0 mavjud bo`lib, |t − t 0 | < δ tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha t, t
lar uchun |x(t) − x(t 0 )| < ε tengsizlik bajariladi. Shunday ekan, n yetarlicha katta bo`lganda b − a n < δ bo`lgani
uchun max
t∈[a, b] | x(t) − y n (t) | = max 1≤k≤n max
t∈[t k−1 , t k ]
k ) | < ε tengsizlik bajariladi. Bu yerdan {y
ketma-ketlikning x funksiyaga [a, b] kesmada tekis yaqinlashishi kelib chiqadi. F uzluksiz funksional bo`lganligi uchun
lim n→∞ F (y n ) = F (x). Ikkinchi tomondan [a, b] da uzluksiz x va [a, b] da o`zgarishi chegaralan- gan u funksiyalar uchun Z
Riman-Stiltes integrali mavjudligi va (30.16) yig`indi uning (30.15) bo`linish bo`yicha integral yig`indisi bo`lganligi sababli
) = lim
n→∞ n X
x(t k ) [u(t k ) − u(t k−1 )] =
Z b a x(t) du(t). Ammo, x ∈ C[a, b] bo`lgani uchun F (x) = f(x) , ya'ni f (x) = Z
a x(t) du(t) (30.17) tenglik o`rinli. Shunday qilib ixtiyoriy x ∈ C[a, b] uchun f(x) (30.17) formu- la bo`yicha aniqlanadi. Riman-Stiltes integrallari uchun o`rta qiymat haqidagi teoremaga ko`ra ixtiyoriy x ∈ C[a, b] uchun
¯ ¯ ¯ ¯ Z b a x(t) du(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ max t∈[a, b] | x(t) | V b a [u] ≤ V b a [u] k x k 319
tengsizlikni olamiz. Bundan k f k ≤ V b a [ u ] (30.18) tengsizlik kelib chiqadi. Endi (30.14) va (30.18) tengsizliklarni taqqoslab, k f k = V b a [ u ] (30.19) tenglikka ega bo`lamiz. Olingan natijalardan tashqari yana shuni ta'kidlash lozimki, ϕ
(t) ≡ 0 va F (0) = 0 bo`lgani uchun u(a) = F (ϕ
) = 0
shart o`rinli.
Endi f funksional uchun olingan natijalarni jamlab, quyidagi F.Riss teo- remasini keltiramiz. 30.4-teorema. C[a, b] fazoda berilgan ixtiyoriy f chiziqli uzluksiz funk- sional uchun shu f funksional bo`yicha aniqlanuvchi shunday u ∈ V 0 [a, b] o`zgarishi chegaralangan funksiya mavjudki, barcha x ∈ C[a, b] larda (30.17) va (30.19) tengliklar o`rinli. Ko`rsatish mumkinki [1], har bir o`zgarishi chegaralangan u ∈ V 0 [a, b] funksiya (30.17) tenglik yordamida yagona f ∈ C ∗ [a, b] funksionalni aniqlay- di. Shuning uchun, C ∗ [a, b] dagi chiziqli funksionallar bilan V 0 [a, b] o`zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosining elementlari o`rtasida o`zaro bir qiymatli moslik mavjud. Bundan tashqari k f k = k u k bo`lgani uchun, bu moslik izomorfdir, ya'ni C ∗ [a, b] = V 0 [a, b] . 30.6. Berilgan [a, b] kesmada p(p ≥ 1) − darajasi bilan Lebeg ma'nosida integrallanuvchi funksiyalar sinni L
[a, b] bilan belgilaymiz (26.15-misolga qarang). Ma'lumki, L p [a, b] to`la normalangan fazo, ya'ni Banax fazosidir. Endi p > 1 uchun (30.7) munosabatni qanoatlantiruvchi q sonni olamiz. Isbotlamasdan quyidagi tasdiqni keltiramiz. Har bir f ∈ L
[a, b] funksional uchun yagona y ∈ L q [a, b] element mavjud bo`lib, ixtiyoriy x ∈ L
[a, b] 320
larda f (x) = Z
a x(t) y(t) dt (30.20) tenglik bajariladi va aksincha, y ∈ L
[a, b] uchun (30.20) formula L
[a, b] ga tegishli biror funksionalni aniqlaydi. Bundan tashqari (30.20) formula L ∗ p [a, b] va L
[a, b] fazolar o`rtasida izometrik moslik o`rnatadi. Shuning uchun
[a, b] va L
[a, b] fazolar o`zaro izomorfdir, ya'ni L
[a, b] = L q [a, b] . Xususan, p = 2 da L ∗ 2 [a, b] = L 2 [a, b] . Shuning uchun L 2 [a, b] o`z-o`ziga qo`shma fazo deyiladi. 30.7. Hilbert fazosida chiziqli funksionalning umumiy ko`rinishi quyidagicha
ya'ni ixtiyoriy f chiziqli uzluksiz funksionalga shu fazoning yagona y elementi mos keladi, shuning uchun Hilbert fazosi o`z-o`ziga qo`shma fazo hisoblanadi. Xuddi shu sababli, n o`lchamli Evklid fazosi ham o`z-o`ziga qo`shma fazo bo`ladi. Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 1.
0 : c 0 → C, f 0 (x) = x 1 chiziqli funksionalni normasini saqlagan holda c fazoga chiziqli davom ettiring. 2. Chiziqli funksional davomi yagonami? Javobni asoslang. 3. f : C 2 [0 1] → C 2 [0 1], f (x) = x(0) funksionalni chiziqli chegaralangan- likka tekshiring. 4. Evklid fazolarida chiziqli funksionalning umumiy ko`rinishi qanday bo`ladi? 5. Uzluksiz funksiyalar fazosi C[−1, 1] dagi barcha toq funksiyalar to`plami C − [−1, 1] = L 0 (26.14-misolga qarang) qism fazo tashkil qiladi. L 0 qism
fazoda f 0 chiziqli funksionalni quyidagicha aniqlaymiz: f 0 (x) = Z 1
t x(t) dt, x ∈ L 0
321
f 0 funksionalni normasini saqlagan holda C[−1, 1] gacha davom etti- ring. 6.
1
2 va ` p , p ≥ 1 fazolarga qo`shma fazolarni toping. 7.
0
va m fazolarga qo`shma fazolarni toping. 8.
fazoga qo`shma fazoni toping. 9.
2 [a, b] fazoga qo`shma fazoni toping. 10.
H Hilbert fazosiga qo`shma fazoni toping. 31- § . Chiziqli uzluksiz operatorlar fazosi Mazkur paragrafda biz chiziqli uzluksiz (chegaralangan) operatorlar fazosi L(X, Y ) ning to`laligi haqidagi teoremani isbotlaymiz. Operatorlar ketma- ketligining kuchsiz, kuchli (nuqtali) va tekis (norma bo`yicha) yaqinlashish ta'riarini beramiz. Ularni misollarda tahlil qilamiz. 31.1-ta'rif. Agar {A
operatorlar ketma-ketligi uchun shun- day A ∈ L(X, Y ) operator mavjud bo`lib, lim
bo`lsa, {A n } operatorlar ketma-ketligi A operatorga norma bo`yicha yoki tekis yaqinlashadi deyiladi va A
shaklda belgilanadi. 31.2-ta'rif. Agar ixtiyoriy x ∈ X uchun lim
bo`lsa,
{A n } operatorlar ketma-ketligi A operatorga kuchli yoki nuqtali yaqinlashadi deyiladi va A
shaklda belgilanadi. 31.3-ta'rif. Agar ixtiyoriy f ∈ Y
va barcha x ∈ X lar uchun lim n→∞ f (A n x) = f (Ax) bo`lsa, {A
operatorlar ketma-ketligi A operatorga kuchsiz yoki kuchsiz ma'noda ³
n w −→ A ´ yaqinlashuvchi deyiladi. 31.3-ta'rif Hilbert fazosida quyidagicha bo`ladi. 322
31.4-ta'rif. Agar ixtiyoriy x, y ∈ H uchun lim n→∞ (A n x, y) = (Ax, y) bo`lsa, {A n } operatorlar ketma-ketligi A operatorga kuchsiz yaqinlashuvchi Download 1.42 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling