M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

D(I) = X,

R(I) = X,

KerI = {θ}.

29.2. X va Y ixtiyoriy chiziqli normalangan fazolar bo`lsin.

Θ : X → Y, Θ x = θ

operator nol operator deyiladi. Uni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring.

Yechish. Nol operatorning chiziqliligi va uzluksizligi bevosita ta'rifdan

kelib chiqadi. Uning aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi va yadrosi uchun

293

quyidagilar o`rinli:

D(Θ) = X, R(Θ) = {θ} , Ker(Θ) = X.

29.3. Aniqlanish sohasi D(A) = C

(1)

[a, b] ⊂ C[a, b]

bo`lgan va C[a, b]

fazoni o`zini-o`ziga akslantiruvchi

A : C[a, b] → C[a, b] , (Af ) (x) = f

0

(x)

operatorni qaraymiz. Bu operator dierensiallash operatori deyiladi. Uni chiziq-

lilik va uzluksizlikka tekshiring.

Yechish. Uning chiziqli ekanligini ko`rsatamiz. Buning uchun ixtiyoriy

f, g ∈ D(A)

elementlarning chiziqli kombinatsiyasi bo`lgan α f + β g ele-

mentga A operatorning ta'sirini qaraymiz:

(A (α f + β g)) (x) = (α f (x) + β g (x))

0

=

= α f

0

(x) + βg

0

(x) = α (Af ) (x) + β (Ag) (x) .

Biz bu yerda yig`indining hosilasi hosilalar yig`indisiga tengligidan, hamda

o`zgarmas sonni hosila belgisi ostidan chiqarish munkinligidan foydalandik.

Demak, A operator chiziqli ekan. Uni nol nuqtada uzluksizlikka tekshiramiz.

Ma'lumki, Aθ = θ , bu yerda θ− C [a, b] fazoning nol elementi, ya'ni θ (x) ≡

0

. Endi nolga yaqinlashuvchi f

n

∈ D (A)

ketma-ketlikni tanlaymiz. Umumiy-

likni buzmagan holda a = 0, b = 1 deymiz.

f

n

(x) =

x

n+1

n + 1

,

lim

n→∞

k f

n

k = lim

n→∞

max

0≤x≤1

¯

¯

¯

¯

x

n+1

n + 1

¯

¯

¯

¯ = lim

n→∞

1

n + 1

= 0.

Ikkinchi tomondan,

(Af

n

) (x) = x

n

,

lim

n→∞

k Af

n

− Aθ k = lim

n→∞

max

0≤x≤1

|x

n

| = lim

n→∞

1 = 1 6= 0.

Demak, A operator nol nuqtada uzluksiz emas ekan. 29.2-teoremaga ko`ra

dierensiallash operatori aniqlanish sohasining barcha nuqtalarida uzilishga

ega.

294

Uning qiymatlar sohasi va yadrosi uchun quyidagilar o`rinli:

R(A) = C[a, b],

KerA = {const}.

29.4. Endi C[a, b] fazoni o`zini-o`ziga akslantiruvchi B operatorni quyi-

dagicha aniqlaymiz:

(Bf ) (x) =

Z

b

a

K (x, t) f (t) dt

(29.1)

Bu operator integral operator deyiladi. Bu yerda K(x, y) funksiya [a, b] ×

[a, b] −

kvadratda aniqlangan, uzluksiz. K(x, y) integral operatorning o`zagi

(yadrosi) deyiladi. B operatorni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring.

Yechish. Ma'lumki, ixtiyoriy f ∈ C[a, b] uchun K(x, t)f(t) funksiya x

va t ning uzluksiz funksiyasidir. Matematik analiz kursidan ma'lumki,

Z

b

a

K (x, t) f (t) dt

integral parametr x ∈ [a, b] ning uzluksiz funksiyasi bo`ladi. Bulardan B

operatorning aniqlanish sohasi D(B) uchun D(B) = C[a, b] tenglik o`rinli

ekanligi kelib chiqadi. Integral operatorning chiziqli ekanligi integrallash ama-

lining chiziqlilik xossasidan kelib chiqadi, ya'ni ixtiyoriy f, g ∈ C[a, b] va

α, β ∈ C

lar uchun

(B (αf + βg)) (x) =

Z

b

a

K (x, t) (αf (t) + βg (t)) dt =

= α

Z

b

a

K (x, t) f (t) dt + β

Z

b

a

K (x, t) g (t) dt = α (Bf ) (x) + β (Bg) (x)

tengliklar o`rinli. Endi integral operator B ning uzluksiz ekanligini ko`rsatamiz.

f

0

∈ C[a, b]

ixtiyoriy tayinlangan element va {f

n

} ⊂ C[a, b]

unga yaqin-

lashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik bo`lsin. U holda

k Bf

n

− Bf

0

k = max

a≤x≤b

¯

¯

¯

¯

Z

b

a

K (x, t) (f

n

(t) − f

0

(t)) dt

¯

¯

¯

¯ ≤

295

≤ max

a≤x≤b

| f

n

(t) − f

0

(t) | max

a≤x≤b

Z

b

a

|K (x, t) dt| = C · k f

n

− f

0

k . (29.2)

Bu yerda

C = max

a≤x≤b

Z

b

a

|K (x, t) | dt.

C

ning chekli ekanligi [a, b] kesmada uzluksiz funksiyaning chegaralangan

ekanligidan kelib chiqadi. Agar (29.2) tengsizlikda n → ∞ da limitga o`tsak,

lim

n→∞

k Bf

n

− Bf

0

k ≤ C · lim

n→∞

k f

n

− f

0

k = 0

ekanligini olamiz. Agar k Bf

n

− Bf

0

k ≥ 0

tengsizlikni hisobga olsak,

lim

n→∞

k B f

n

− B f

0

k = 0.

Shunday qilib, B integral operator ixtiyoriy nuqtada uzluksiz ekan.

B

integral operatorning qiymatlar sohasi va yadrosi integral operator-

ning o`zagi − K(x, y) funksiyaning berilishiga bog`liq. Masalan, K(x, t) ≡ 1

bo`lsa, B operatorning qiymatlar sohasi Im B o`zgarmas funksiyalardan ibo-

rat, ya'ni Im B = {f ∈ C[a, b] : f(t) = const} , uning yadrosi KerB o`zgar-

masga ortogonal funksiyalardan iborat, ya'ni

KerB = { f ∈ C [a, b] :

Z

b

a

f (t) dt = 0 }.

29.8-ta'rif. Bizga X normalangan fazoning M to`plami berilgan bo`lsin.

Agar shunday C > 0 son mavjud bo`lib, barcha x ∈ M uchun kxk ≤ C

tengsizlik o`rinli bo`lsa, M to`plam chegaralangan deyiladi.

29.9-ta'rif. X fazoni Y fazoga akslantiruvchi A chiziqli operator beril-

gan bo`lsin. Agar A ning aniqlanish sohasi D(A) = X bo`lib, har qan-

day chegaralangan to`plamni yana chegaralangan to`plamga akslantirsa, A

ga chegaralangan operator deyiladi.

Chiziqli operatorning chegaralanganligini tekshirish uchun quyidagi ta'rif

qulaydir.

296

29.10-ta'rif. A : X → Y chiziqli operator bo`lsin. Agar shunday C > 0

son mavjud bo`lib, ixtiyoriy x ∈ D (A) uchun

kA xk ≤ C · k x k

(29.3)

tengsizlik bajarilsa, A chegaralangan operator deyiladi.

29.11-ta'rif. (29.3) tengsizlikni qanoatlantiruvchi C sonlar to`plamining

aniq quyi chegarasi A operatorning normasi deyiladi va u k A k bilan belgi-

lanadi, ya'ni

kAk = inf C.

Bu ta'rifdan ixtiyoriy x ∈ D (A) uchun k A x k ≤ k A k · kx k tengsizlik

o`rinli ekanligi kelib chiqadi.

29.1-teorema. X normalangan fazoni Y normalangan fazoga akslan-

tiruvchi chiziqli chegaralangan A operatorning normasi k A k uchun

kAk = sup

kxk=1

kA x k = sup

x6=θ

k A x k

kxk

(29.4)

tenglik o`rinli.

Isbot. Quyidagicha belgilash kiritamiz

α = sup

x6=θ

k A x k

kxk

.

A

chiziqli operator bo`lgani uchun

α = sup

x6=θ

k A x k

kxk

= sup

x6=θ

°

°

°

°A

x

kxk

°

°

°

° = sup

kxk=1

kA x k .

Ixtiyoriy x 6= 0 uchun

k A x k

k x k

≤ α.

Demak, ixtiyoriy x ∈ X uchun k A x k ≤ α k x k . Bundan esa

k A k ≤ α.

(29.5)

297

Aniq yuqori chegara ta'riga ko`ra, ixtiyoriy ε > 0 son uchun, shunday x

ε

6= θ

element mavjudki,

α − ε ≤

kA x

ε

k

kx

ε

k

≤ k A k

tengsizlik bajariladi. Bu yerdan ε > 0 ixtiyoriy bo`lgani uchun,

α ≤ kAk .

(29.6)

(29.5) va (29.6) lardan k A k = α tenglik kelib chiqadi.

∆

29.1-tasdiq. Chiziqli chegaralangan A operator uchun

sup

kxk=1

k A x k = sup

kxk≤1

k A x k

tenglik o`rinli.

29.1-tasdiqni mustaqil isbotlang.

X

chiziqli normalangan fazoni Y chiziqli normalangan fazoga akslantiruv-

chi chiziqli chegaralangan operatorlar to`plamini L(X, Y ) bilan belgilaymiz.

Xususan, X = Y bo`lsa L(X, X) = L(X).

29.1-natija. Ixtiyoriy A ∈ L(X, Y ) va x ∈ D(A), kxk = 1 uchun

kAxk ≤ kAk

(29.7)

tengsizlik o`rinli.

(29.7) tengsizlikning isboti (29.4) tengsizlikdan kelib chiqadi.

29.12-ta'rif. A : X → Y va B : X → Y chiziqli operatorlarning

yig`indisi deb, x ∈ D(A) ∩ D(B) elementga y = Ax + Bx ∈ Y elementni

mos qo`yuvchi C = A + B operatorga aytiladi.

Ravshanki, C chiziqli operator bo`ladi. Agar A, B ∈ L(X, Y ) bo`lsa, u

holda C ham chegaralangan operator bo`ladi va

kC k = kA + B k ≤ kA k + kB k

(29.8)

tengsizlik o`rinli. Haqiqatan ham,

kCx k = kAx + Bxk ≤ kAx k + k Bxk ≤

298

≤ kA k · kx k + kB k · kx k ≤ (kA k + kB k) kx k .

Bu yerdan (29.8) tengsizlik kelib chiqadi.

29.13-ta'rif. A chiziqli operatorning α songa ko`paytmasi x elementga

αAx

elementni mos qo`yuvchi operator sifatida aniqlanadi, ya'ni

(αA)(x) = αAx.

29.14-ta'rif. A : X → Y va B : Y → Z chiziqli operatorlar berilgan

bo`lib, R(A) ⊂ D(B) bo`lsin. B va A operatorlarning ko`paytmasi deganda,

har bir x ∈ D(A) ga Z fazoning z = B(Ax) elementini mos qo`yuvchi

C = BA : X → Z

operator tushuniladi.

Agar A va B lar chiziqli chegaralangan operatorlar bo`lsa, u holda C ham

chiziqli chegaralangan operator bo`ladi va

kCk ≤ kBk · kAk

(29.9)

tengsizlik o`rinli. Haqiqatan ham,

kCx k

Z

= kB(Ax) k

Z

≤ kB k · kAx k

Y

≤ kB k · kA k · kx k

X

.

Bu yerdan (29.9) tengsizlik kelib chiqadi.

Operatorlarni qo`shish va ko`paytirish assotsiativdir. Qo`shish amali kom-

mutativ, lekin ko`paytirish amali kommutativ emas.

Agar X va Y lar chiziqli normalangan fazolar bo`lsa, L(X, Y ) ham chi-

ziqli normalangan fazo bo`ladi, ya'ni p : L(X, Y ) → R ,

p(A) = sup

kxk=1

kAxk

funksional normaning 1-3 - shartlarini qanoatlantiradi.

29.2-teorema. X normalangan fazoni Y normalangan fazoga akslanti-

ruvchi A : X → Y chiziqli operator berilgan bo`lsin. U holda quyidagi tas-

diqlar teng kuchli:

299

1) A operator biror x

0

nuqtada uzluksiz;

2) A operator uzluksiz;

3) A operator chegaralangan.

Isbot. 1) =⇒ 2). Chiziqli A operatorning biror x

0

nuqtada uzluksiz ekan-

ligidan uning ixtiyoriy nuqtada uzluksiz ekanligini keltirib chiqaramiz.

A

operator x

0

nuqtada uzluksiz bo`lganligi uchun, x

0

ga intiluvchi ix-

tiyoriy

©

x

0

n

ª

ketma-ketlik uchun Ax

0

n

→ Ax

0

. Ixtiyoriy x

0

∈ D(A)

nuq-

ta uchun, x

0

n

→ x

0

ekanligidan Ax

0

n

→ Ax

0

kelib chiqishini ko`rsatamiz.

y

0

n

= x

0

n

− x

0

+ x

0

→ x

0

deymiz. U holda

lim

n→∞

Ay

0

n

= lim

n→∞

A (x

0

n

− x

0

+ x

0

) = lim

n→∞

(A x

0

n

− A x

0

+ A x

0

) = A x

0

.

Bu esa

lim

n→∞

A x

0

n

= A x

0

ekanligini bildiradi. Demak, A operator ixtiyoriy x

0

nuqtada uzluksiz.

2) =⇒ 3). A operatorning uzluksiz ekanligidan uning chegaralanganligi ke-

lib chiqishini ko`rsatamiz. Teskaridan faraz qilaylik, A chiziqli operator uzluk-

siz bo`lsin, lekin chegaralangan bo`lmasin, ya'ni ixtiyoriy C > 0 son uchun

shunday x

c

∈ D(A)

element mavjud bo`lib,

kAx

c

k ≥ C kx

c

k

bo`lsin. Agar C = n ∈ N desak, ixtiyoriy n ∈ N uchun shunday x

n

∈ D(A)

mavjudki, kAx

n

k ≥ n kx

n

k

tengsizlik bajariladi. Quyidagi

ξ

n

=

x

n kx

n

k

ketma-ketlikni qaraymiz. Ko`rinib turibdiki, ξ

n

→ θ

, ya'ni

kξ

n

− θ k =

°

°

°

°

x

n

n kx

n

k

°

°

°

° =

1

n kx

n

k

k x

n

k =

1

n

→ 0,

n → ∞.

300

Ikkinchi tomondan,

kAξ

n

− Aθ k =

°

°

°

°A

µ

x

n

n kx

n

k

¶°

°

°

° =

°

°

°

°

1

n kx

n

k

Ax

n

°

°

°

° =

1

n kx

n

k

kAx

n

k ≥ 1.

Bu qarama-qarshilik A operatorning chegaralangan ekanligini ko`rsatadi.

3) =⇒ 1). A chiziqli chegaralangan operatorning biror nuqtada uzluk-

sizligini ko`rsatamiz. Ta'rifga ko`ra, shunday C > 0 son mavjudki, ixtiyoriy

x ∈ D(A)

uchun

kAx k

Y

≤ C k x k

X

tengsizlik bajariladi. Faraz qilaylik, {x

n

} − x

ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy

ketma-ketlik bo`lsin, u holda Ax

n

→ Ax

ekanligini ko`rsatamiz:

kAx

n

− Ax k = kA(x

n

− x) k ≤ C kx

n

− x k → 0,

n → ∞

ya'ni lim

n→∞

kAx

n

− Axk = 0.

∆

29.2-natija. A chiziqli operator chegaralangan bo`lishi uchun uning uzluk-

siz bo`lishi zarur va yetarli.

29.5-misol. Birlik va nol operatorlarning (29.1 va 29.2-misollar) chegara-

langan ekanligini ko`rsatib, ularning normasini hisoblang.

Yechish. Birlik operatorning chegaralangan ekanligini ko`rsatib, normasini

hisoblaymiz. Ixtiyoriy x ∈ E uchun kIx k = kx k tenglik o`rinli. Ta'rifga

ko`ra, I chegaralangan va uning normasi 1 ga teng. Endi nol operatorning

chegaralangan ekanligini ko`rsatib, uning normasini topamiz. Istalgan x ∈ E

uchun kΘx k = kθ k = 0 tenglik o`rinli. Bundan kΘk = 0 ekanligi kelib

chiqadi. Nol operator L(X, Y ) chiziqli normalangan fazoning nol elementi

bo`ladi.

29.6. 29.3-misolda keltirilgan A : C[a, b] → C[a, b] dierensiallash ope-

ratorining chegaralanmagan ekanligini ko`rsating.

Yechish. Buning uchun A akslantirishda D(A) = C

(1)

[0, 1]

fazodagi

birlik shar B[θ, 1] ning tasviri chegaralanmagan to`plam ekanligini ko`rsatish

301

yetarli. Birlik shar B[θ, 1] da yotuvchi {f

n

}

ketma-ketlikni quyidagicha tan-

laymiz:

f

n

(x) = x

n

, kf

n

k = max

0≤x≤1

|x

n

| = 1.

U holda

(Af

n

) (x) = n · x

n−1

,

kAf

n

k = max

0≤x≤1

|n · x

n

| = n.

Bundan

lim

n→∞

kAf

n

k = ∞

ekanligi kelib chiqadi. Demak, dierensiallash operatori chegaralanmagan ope-

rator ekan.

29.7. 29.4-misolda keltirilgan B : C[a, b] → C[a, b] integral operator-

ning chegaralangan ekanligini ko`rsating.

Yechish. 29.4-misolda B operatorning uzluksiz ekanligi ko`rsatilgan edi.

29.2-natijaga ko`ra, u chegaralangan bo`ladi.

29.8. C[−1, 1] fazoda x ga ko`paytirish operatorini, ya'ni

B : C[−1, 1] → C[−1, 1], (Bf )(x) = xf (x)

(29.10)