M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

1

, h

2

) , h

1

∈ H

1

, h

2

∈ H

2

juftliklardan iborat. H = H

1

⊕ H

2

fa-

zoda qo`shish, songa ko`paytirish va skalyar ko`paytma amallari quyidagicha

aniqlanadi:

(h

1

, h

2

) + (h

0

1

, h

0

2

) = (h

1

+ h

0

1

, h

2

+ h

0

2

) , h

1

, h

0

1

∈ H

1

, h

2

, h

0

2

∈ H

2

,

α(h

1

, h

2

) = (αh

1

, αh

2

), h

1

∈ H

1

, h

2

∈ H

2

, α ∈ C,

((h

1

, h

2

) , (h

0

1

, h

0

2

)) = (h

1

, h

0

1

)

H

1

+ (h

2

, h

0

2

)

H

2

, h

1

, h

0

1

∈ H

1

, h

2

, h

0

2

∈ H

2

.

Chekli sondagi H

1

, H

2

, . . . , H

n

Hilbert fazolarining to`g`ri yig`indisi ham

xuddi shunday aniqlanadi.

Sanoqli sondagi H

1

, H

2

, . . . , H

n

, . . .

Hilbert fazolarining to`g`ri yig`indisi

H =

∞

X

n=1

⊕H

n

quyidagicha aniqlanadi

H =

(

h = (h

1

, h

2

, . . . , h

n

, . . .) , h

n

∈ H

n

,

∞

X

n=1

k h

n

k

2

< ∞

)

.

H

fazoda skalyar ko`paytma quyidagicha kiritiladi

(h, g) =

∞

X

n=1

(h

n

, g

n

) , h = (h

1

, . . . , h

n

, . . .) , g = (g

1

, . . . , g

n

, . . .) , h

n

, g

n

∈ H

n

.

28.8. 28.6-misolda keltirilgan L

−

2

[−1, 1]

(toq funksiyalar to`plami) qism

fazoning ortogonal to`ldiruvchisini toping.

Yechish. L

+

2

[−1, 1] = {f ∈ L

2

[−1, 1] : f (−t) = f (t)}

juft funksiyalar-

dan iborat to`plam L

2

[ − 1, 1]

fazoning qism fazosi bo`ladi va ular o`zaro

ortogonal, ya'ni L

−

2

[−1, 1]⊥L

+

2

[−1, 1]

. Haqiqatan ham,

¡

f

−

, f

+

¢

=

Z

1

−1

f

−

(t) · f

+

(t) dt = 0, ∀f

−

∈ L

−

2

[−1, 1], ∀f

+

∈ L

+

2

[−1, 1].

285

Bu yerdan

¡

L

−

2

[−1, 1]

¢

⊥

⊃ L

+

2

[−1, 1]

va

¡

L

−

2

[−1, 1]

¢

⊥

⊂ L

+

2

[−1, 1]

munosa-

batlar kelib chiqadi. Bulardan esa

¡

L

−

2

[−1, 1]

¢

⊥

= L

+

2

[−1, 1]

tenglikni olamiz.

28.1. Kompleks Evklid fazolari

Haqiqiy Evklid fazolari bilan bir qatorda kompleks Evklid fazolari ham qa-

raladi (ya'ni skalyar ko`paytma kiritilgan kompleks chiziqli fazo). Lekin haqi-

qiy Evklid fazolaridagi skalyar ko`paytmaning 1-4 aksiomalari kompleks Evk-

lid fazolari uchun bir vaqtda bajarilmaydi. Haqiqiy Evklid fazolarida skalyar

ko`paytmaning 1-4 aksiomalari quyidagicha edi:

1) (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ E; (x, x) = 0 ⇐⇒ x = θ,

2) (x, y) = (y, x), ∀x, y ∈ E,

3) (λx, y) = λ(x, y), ∀λ ∈ R , ∀x, y ∈ E,

4) (x

1

+ x

2

, y) = (x

1

, y) + (x

2

, y), ∀x

1

, x

2

, y ∈ E.

Biz 2 va 3 dan quyidagiga ega bo`lamiz

(λ x, λ x) = λ (x, λ x) = λ (λ x, x) = λ

2

(x, x) .

Agar λ kompleks son bo`lsa, u holda λ = i bo`lganda, (ix, ix) = −(x, x) ,

ya'ni x va ix vektorlarning skalyar ko`paytmasi bir vaqtda musbat bo`la ol-

maydi, bu esa 1-shartga zid, ya'ni kompleks chiziqli fazolar holida 1, 2 va

3-shartlar bir vaqtda bajarilishi mumkin emas. Demak, kompleks chiziqli fa-

zolarda skalyar ko`paytmaning shartlarini biroz o`zgartirish kerak.

Kompleks chiziqli fazoda skalyar ko`paytmaning shartlarini keltiramiz:

1) (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ E; (x, x) = 0 ⇐⇒ x = θ,

2) (x, y) = (y, x), ∀x, y ∈ E ,

3) (λx, y) = λ(x, y), ∀λ ∈ C , ∀x, y ∈ E,

4) (x

1

+ x

2

, y) = (x

1

, y) + (x

2

, y), ∀x

1

, x

2

, y ∈ E.

2 va 3 dan ( x, λ y) = λ (x, y) kelib chiqadi. Haqiqatan ham,

( x, λ y) = (λ y, x) = λ (y, x) = λ (y, x) = λ (x, y) .

286

28.9-misol. E = C

n

−

kompleks chiziqli fazo. Bu fazoda skalyar ko`paytma

quyidagicha kiritiladi:

(x, y) =

n

X

k=1

x

k

y

k

.

28.10. `

2

=

½

x = (x

1

, . . . , x

n

, . . .) , x

n

∈ C :

∞

P

n=1

|x

n

|

2

< ∞

¾

kompleks

chiziqli fazo. Bu fazoda skalyar ko`paytma quyidagicha kiritiladi:

(x, y) =

∞

X

k=1

x

k

y

k

.

28.11. E = C

2

[a, b] − [a, b]

kesmada aniqlangan kompleks qiymatli uzluk-

siz funksiyalar fazosi. Bu fazoda skalyar ko`paytma quyidagicha kiritiladi:

(f, g) =

Z

b

a

f (t) g (t) dt.

(28.3)

28.12. E = L

2

[a, b]− [a, b]

kesmada aniqlangan kompleks qiymatli va

kvadrati bilan integrallanuvchi ekvivalent funksiyalar sin. Bu fazoda ham f

va g elementlarning skalyar ko`paytmasi (28.3) tenglik bilan aniqlanadi.

Kompleks Evklid fazolarida ham elementning normasi xuddi haqiqiy Evklid

fazolari holidagidek

k f k =

p

(f, f )

yoki

k x k =

p

(x, x)

formula bilan aniqlanadi.

Kompleks Evklid fazolarida ikki vektor orasidagi burchak tushunchasi kiri-

tilmaydi, lekin vektorlarning ortogonallik tushunchasi saqlanib qoladi. Ya'ni,

agar (x, y) = 0 bo`lsa, u holda x va y vektorlar o`zaro ortogonal deyiladi.

28.5-ta'rif. Agar

(φ

n

, φ

m

) =







1,

agar n = m

0,

agar n 6= m .

bo`lsa, nolmas {φ

n

} ⊂ E

sistema ortogonal normalangan sistema deyiladi.

287

Xuddi haqiqiy Evklid fazolaridagi kabi, c

n

= (f, φ

n

) , n ∈ N

sonlar f ∈ E

vektorning {φ

n

}

ortonormal sistemadagi Furye koetsiyentlari deyiladi.

∞

X

n=1

c

n

φ

n

qator f vektorning {φ

n

}

sistemadagi Furye qatori deyiladi. Bu yerda ham

Bessel tengsizligi o`rinli:

∞

X

n=1

|c

n

|

2

≤ kf k

2

.

Kompleks Evklid fazolari holida ham Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi o`z ku-

chini saqlaydi:

| (x, y) | ≤ k x k · k y k .

28.6-ta'rif. Cheksiz o`lchamli to`la kompleks Evklid fazosi kompleks Hilbert

fazosi deyiladi.

Kompleks Hilbert fazolari uchun ham izomorzm haqidagi teorema o`rinli.

28.4-teorema. Barcha separabel kompleks Hilbert fazolari o`zaro izomorfdir.

28.13. `

2

va L

2

[a, b]

lar separabel kompleks Hilbert fazolariga misol bo`ladi.

28.14. L

2

[−π, π]

separabel kompleks Hilbert fazosida

ϕ

n

(t) =

e

int

√

2π

, n ∈ Z

sistema to`la ortonormal sistema bo`ladi. Mustaqil isbotlang.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1.

Hilbert fazolariga misollar keltiring. `

2

fazo Hilbert fazosi bo`ladimi?

2.

Separabel bo`lmagan Evklid fazosiga misol keltiring.

3.

m−

chegaralangan ketma-ketliklar fazosida

(x, y) =

∞

X

n=1

1

2

n

x

n

y

n

funksional skalyar ko`paytma shartlarini qanoatlantiradimi? m separabel

Evklid fazosi bo`ladimi?

288

4.

`

2

fazoni ikkita ortogonal qism fazolarning to`g`ri yig`indisi shaklida yoz-

ing.

5.

L

2

[−1, 1]

Hilbert fazosida L

+

2

[−1, 1] = {f ∈ L

2

[−1, 1] : f ( − t) = f (t)}

juft funksiyalar to`plami qism fazo bo`lishini ko`rsating. Uning ortogonal

to`ldiruvchisini toping.

6.

28.7-misolda keltirilgan L

−

0

[−1, 1]

qism fazoning ortogonal to`ldiruvchisini

toping.

7.

Hilbert fazolarining to`g`ri yig`indisida skalyar ko`paytma qanday kiriti-

ladi?

8.

`

2

va L

2

[−1, 1]

Hilbert fazolarining to`g`ri yig`indisida skalyar ko`paytma

qanday kiritiladi?

9.

Quyidagi ((x, f) , (y, g)) =

∞

P

n=1

x

n

y

n

+

1

R

−1

f (x) g (x) dx, x, y ∈ `

2

,

f, g ∈ L

2

[−1, 1]

funksional `

2

⊕ L

2

[−1, 1]

Hilbert fazosida skalyar

ko`paytma bo`ladimi?

289

VIII bob. Chiziqli operatorlar

Bu bob 6 paragrafdan (29-34-ŸŸ lardan) iborat bo`lib, unda chiziqli opera-

torlar va chiziqli funksionallarning asosiy xossalari o`rganiladi. 29-Ÿ chiziqli

uzluksiz operatorlar xossalariga bag`ishlangan bo`lib, unda chiziqli operator-

larning asosiy xossalari isbotlangan. Chiziqli operatorlarning aniqlanish sohasi,

qiymatlar sohasi va yadrolari ta'rianib, misollarda tushuntirilgan. Chiziq-

li operatorlar uchun uzluksizlik va chegaralanganlik ekvivalent tushunchalar

ekanligi isbotlangan. X chiziqli normalangan fazoni Y chiziqli normalangan

fazoga akslantiruvchi chiziqli uzluksiz operatorlar to`plami − L(X, Y ) chi-

ziqli normalangan fazo bo`lishi ko`rsatilgan. 30-Ÿ da normalangan fazolarda

chiziqli uzluksiz funksionallarning ayrim xossalari qaralgan. Chiziqli uzluk-

siz funksionalning normasini saqlagan holda butun fazogacha davom ettirish

mumkinligi haqidagi Xan-Banax teoremasi isbotlangan. Asosiy funksional fa-

zolarda ( `

p

, C[a, b], L

p

[a, b]

) chiziqli uzluksiz funksionallarning umumiy

ko`rinishidan foydalanib, asosiy funksional fazolarga qo`shma fazolar izomor-

zm aniqligida topilgan. 31-Ÿ chiziqli uzluksiz operatorlar fazosining xossalari-

ga bag`ishlangan. Unda chiziqli operatorlar ketma-ketligining tekis (norma

bo`yicha), kuchli (nuqtali) va kuchsiz yaqinlashishlari ta'rianib, misollarda

tahlil qilingan. Agar Y to`la normalangan fazo bo`lsa, u holda L(X, Y ) chi-

ziqli normalangan fazoning Banax fazosi bo`lishi isbotlangan. X = C[−1, 1] ,

Y = C

2

[−1, 1]

bo`lgan holda L(X, Y ) ning to`la bo`lmagan chiziqli nor-

malangan fazo bo`lishi isbotlangan. Bundan tashqari Banax-Shteynxaus teo-

remasi (tekis chegaralanganlik prinsipi) isbotlangan va uning yordamida X

va Y lar Banax fazolari bo`lgan holda chiziqli uzluksiz operatorlar fazosi

L(X, Y ) −

ning kuchli yaqinlashishga nisbatan ham to`la bo`lishi ko`rsatilgan.

32-Ÿ teskari operatorlar, ularning asosiy xossalariga bag`ishlangan. Bu para-

grafda chiziqli operator teskarilanuvchan bo`lishining zaruriy va yetarli shart-

290

lari keltirilgan. Shuningdek chegaralangan teskari operator mavjud bo`lishining

yetarli, zaruriy va yetarli shartlari keltiriladi. Keltirilgan teorema shartlarin-

ing bajarilishiga doir misollar qaralgan. Navbatdagi 33-Ÿ da Banax va Hilbert

fazolarida berilgan operatorlarning qo`shmalari ta'rianib, ularning asosiy xos-

salari bayon qilingan. Hilbert fazolari `

2

va L

2

[a, b]

larda ko`paytirish ope-

ratorining o`z-o`ziga qo`shmalik kriteriysi berilgan. L

2

[a, b]

fazoda K(x, y)

yadro bilan aniqlanuvchi integral operatorning o`z-o`ziga qo`shmalik shartlari

keltirilgan. So`nggi 34-Ÿ da chiziqli operatorlarning spektri klassikatsiya qili-

nib, ularga doir misollar qaralgan. Chiziqli uzluksiz operatorning spektri bo`sh

bo`lmagan yopiq to`plam ekanligi isbotlangan. Muhim spektr, qoldiq spektr va

chiziqli operatorning xos qiymatlarini topishga doir misollar qaralgan. Spek-

tri kompleks sonlar to`plami C bilan ustma-ust tushuvchi chiziqli operatorga

misol keltirilgan.

29- § . Chiziqli uzluksiz operatorlar

Biz asosan chiziqli operatorlarni qaraymiz. Chiziqli operatorlarning aniqla-

nish sohasi va qiymatlar to`plami chiziqli normalangan fazolarning qism fa-

zolari bo`ladi. Shunday qilib, bizga X va Y chiziqli normalangan fazolar

berilgan bo`lsin.

29.1-ta'rif. X fazodan olingan har bir x elementga Y fazoning yagona

y

elementini mos qo`yuvchi

Ax = y (x ∈ X, y ∈ Y )

akslantirish operator deyiladi.

Umuman A operator X ning hamma yerida aniqlangan bo`lishi shart

emas. Bu holda Ax mavjud va Ax ∈ Y bo`lgan barcha x ∈ X lar to`plami

A

operatorning aniqlanish sohasi deyiladi va D(A) bilan belgilanadi, ya'ni:

D(A) = {x ∈ X : Ax

mavjud

va Ax ∈ Y }

291

Odatda D(A) ning chiziqli ko`pxillilik (26.6-ta'rifga qarang) bo`lishi talab

qilinadi, ya'ni agar x, y ∈ D (A) bo`lsa, u holda ixtiyoriy α, β ∈ C lar uchun

α x + β y ∈ D (A)

bo'ladi.

29.2-ta'rif. Agar ixtiyoriy x, y ∈ D (A) elementlar va ixtiyoriy α, β ∈ C

sonlar uchun α x + β y ∈ D (A) bo`lib,

A(α x + β y) = α A x + β A y

tenglik o`rinli bo`lsa, A ga chiziqli operator deyiladi.

29.3-ta'rif. Bizga A : X → Y operator va x

0

∈ D (A)

nuqta berilgan

bo`lsin. Agar y

0

= Ax

0

∈ Y

ning ixtiyoriy V atro uchun, x

0

nuqtaning

shunday U atro mavjud bo`lib, ixtiyoriy x ∈ U

T

D (A)

lar uchun Ax ∈ V

bo`lsa, A operator x = x

0

nuqtada uzluksiz deyiladi.

29.3-ta'rifga teng kuchli quyidagi ta'riarni keltiramiz.

29.4-ta'rif. Agar ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday δ = δ (ε) > 0 mavjud

bo`lib, kx − x

0

k < δ

tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x ∈ D (A) lar

uchun

kAx − Ax

0

k < ε

tengsizlik bajarilsa, A operator x = x

0

nuqtada uzluksiz deyiladi.

29.5-ta'rif. Agar x

0

nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy {x

n

} ⊂ D(A)

ketma-

ketlik uchun lim

n→∞

kA x

n

− A x

0

k = 0

bo`lsa, u holda A operator x

0

nuqtada

uzluksiz deyiladi. Agar A operator ixtiyoriy x ∈ D (A) nuqtada uzluksiz

bo`lsa, A uzluksiz operator deyiladi.

29.6-ta'rif. Ax = θ tenglikni qanoatlantiruvchi barcha x ∈ D(A) lar

to`plami A operatorning yadrosi deyiladi va u KerA bilan belgilanadi.

29.7-ta'rif. Biror x ∈ D(A) uchun y = A x bajariladigan y ∈ Y lar

to`plami A operatorning qiymatlar sohasi yoki tasviri deyiladi va u ImA

yoki R(A) bilan belgilanadi.

292

Matematik simvollar yordamida operator yadrosi va qiymatlar sohasini

quyidagicha yozish mumkin:

KerA = { x ∈ D (A) : Ax = θ } ,

R(A) := ImA = { y ∈ Y : biror x ∈ D (A) uchun y = Ax } .

Chiziqli operatorning qiymatlar sohasi va yadrosi chiziqli ko`pxillilik bo`ladi.

Agar D(A) = X bo`lib, A uzluksiz operator bo`lsa, u holda KerA yopiq

qism fazo bo`ladi, ya'ni KerA = [KerA] . A operator uzluksiz bo`lgan holda

ham ImA ⊂ Y yopiq qism fazo bo`lmasligi mumkin.

Chiziqli operatorlarga misollar

29.1-misol. X − ixtiyoriy chiziqli normalangan fazo bo`lsin.

Ix = x, x ∈ X

akslantirish birlik operator deyiladi. Uni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring.

Yechish. Bu operatorning chiziqliligi va uzluksizligi quyidagi tengliklardan

bevosita kelib chiqadi:

I(α x + β y) = α x + β y = α I x + β I y,

kI (x − x

0

)k = kx − x

0

k .

Qo`shimcha qilib aytishimiz mumkinki, uning aniqlanish sohasi, qiymatlar so-

hasi va yadrosi uchun quyidagilar o`rinli: