Margarita Ginovska, Hristina Spasevska Nevenka Andonovska

Sl. 2.23. Ilustracija za kru`no dvi`ewe  

38 
Vektorot na agolna brzina na telo 
{to vr{i kru`no dvi`ewe se definira 
kako agol na zavrtuvawe podelen so iz-
minatoto vreme: 
vreme
 
izminato
zavrtuvawe
 
na
 
agol
brzina
 
agolna
 
, 
t
'
'
 
T
Z
. 
Agolot na zavrtuvawe 
T
'  e ednakov 
na
1
2
T
T
 , a iziminatoto vreme na vrtewe 
t
'  e ednakvo na 
1
2
t
t
 . Intenzitetot na 
agolnata brzina mo`e da se prika`e: 
 
1
2
1
2
t
t


 
T
T
Z
. (2.59) 
Ako 
T

 = 0 i t
1
 = 0, ovaa ravenka go 
dobiva oblikot: 
 
t
T
Z
 
 (2.60) 
i mo`e da se sporedi so soodvetnata de-
finicija za liniska brzina, 
t
x
v
/
 
. 
Agolnata brzina 
Z
soodvetstvuva so 
liniskata brzina v,
 
a agolnoto pomestu-
vawe 
T
 soodvetstvuva so liniskoto pome-
stuvawe  h. Ako 
T
  se meri vo radijani i t 
vo sekundi, agolnata brzina 
Z
 }e ima edi-
nica radijani vo sekunda (rad/s). 
Primer 12. 
Kamen e vrzan na krajot 
od edno ja`e so dol`ina 0,5 m i se vrti 
vo horizontalna ramnina taka {to pravi 
8 zavrtuvawa vo 2 y. Najdi ja agolnata br-
zina so koja se vrti kamenot! 
Re{enie: 
Bidej}i 1 zavrtuvawe = 2 
S 
radijani,  8 zavrtuvawa se ekvivalentni 
na 8·2
S = 50,3 rad. 
So direktna zamena vo ravenkata 
(2.60): 
 
t
T
Z
 
  
se dobiva:  
 
s
rad
15
,
25
s
2
rad
3
,
50
 
 
Z
. 
Za da se najde liniskata brzina na 
kamenot {to se dvi`i po kru`na pateka, 
treba da se upotrebi ravenkata (2.58) i 
od nea da se izrazi liniskoto pomestuva-
we h i agolnata brzina 
Z
Re{avaj}i ja ravenkata (2.58) po h, 
dobivame: 
r
x
˜
 
T
. Ovoj izraz se zamenu-
va vo ravenkata za liniskata brzina 
t
x
v
 
 i se dobiva: 
  
t
r
v
˜
 
T
. (2.61) 
Od druga strana, ja zemame vo pred-
vid ravenkata 
t
/
T
Z
 
, pa so zamena vo 
ravenkata (2.61) se dobiva izraz za lini-
skata brzina izrazena preku agolnata 
brzina: 
 
r
v
˜
 
Z
 (2.62) 
Zabele`uvame deka site ravenki me-
|usebno se nadovrzuvaat i deka radijanot 
kako edinica nema dimenzii. Radijanot e 
odnos pome|u dve dol`ini i zatoa ima 
ista vrednost vo site sistemi na merni 
edinici. 
Centripetalno zabrzuvawe na ma-
terijalna to~ka.  Dvi`eweto na mate-
rijalna to~ka po krug so brzina so posto-
jan intenzitet se narekuva ramnomerno 

39 
kru`no dvi`ewe. Pritoa goleminata na 
zabrzuvaweto e konstantna, pa brzinata 
se menuva samo po pravec. 
Neka materijalna to~ka pominala pat 
{to odgovara na lakot 
s
M
M
'
 
2
1
  kako 
del od krugot so radius  r   za vreme 
t
'
, 
kako {to e prika`ano na slikata 2.24. 
Promenata na brzinata samo po pravec 
}e bide  v
&
' , zatoa {to brzinite po gole-
mina se isti, t.e. 
2
1
v
v
&
&  
. Vektorot 
v
&
se 
zavrtel za agol 
2
1
OM
M
‘
 
'
M
 . 
Od geome-
trijata i od ravenkata (2.58) poka`avme 
deka agolot mo`e da se izrazi preku dol-
`inata na lakot i radiusot 
r
s
'
 
'
M
. 
 
 
Sl. 2.24. Centripetalno zabrzuvawe 
Za da go najdeme zabrzuvaweto, treba 
da ja presmetame promenata na brzinata. 
Od ramnokrakiot triagolnik M
1
AB so os-
nova 
v
&
'  za mali agli 
M
'
, t.e. za mala 
vrednost na 
t
'
, va`i: 
 
r
s
v
v
v
'
˜
 
'
 
'
M
, (2.63) 
  
t
s
r
v
t
v
a
'
'
 
'
'
 
 , 
(2.64)
 
 
r
v
a
a
r
2
 
 
. (2.65) 
Dobienoto zabrzuvawe e vektor na-
so~en normalno na brzinata. Zatoa pri 
ramnomerno kru`no dvi`ewe ima samo 
normalno zabrzuvawe koe se narekuva i 
centripetalno zabrzuvawe. Normalnoto 
zabrzuvawe go menuva samo pravecot na 
vektorot na brzinata. 
Zapomni! Zabrzuvaweto {to e povrzano 
so promena na pravecot na brzinata na 
materijalnata to~ka koja{to se dvi`i 
po kru`nica se vika centripetalno za-
brzuvawe. Toa sekoga{ e naso~eno kon 
centarot na kru`nicata. 
;
Pra{awa i zada~i
 
1. Kakvi komponenti ima zabrzuvaweto pri 
promenlivo krivolinisko dvi`ewe i od 
{to se opredeleni? 
2. [to e agolna brzina? Kakva e nejzinata vr-
ska so liniskata brzina? 
3. Materijalna to~ka rotira so 120 zavrtuva-
wa vo minuta. Za kolkavo vreme }e napravi 
8 celi zavrtuvawa? [Odgovor: 4 s.] 
4. Kako vlijae normalnoto zabrzuvawe na br-
zinata pri ramnomerno kru`no dvi`ewe 
na materijalna to~ka? 
5. Dadena materijalna to~ka rotira na rasto-
janie 3 m od oskata na rotacija so 300 zavr-
tuvawa vo minuta. Da se opredeli nejzinoto 
normalno zabrzuvawe! [Odgovor: 2960 m/s
2
.] 
6. Ako pribli`no zememe deka Zemjata roti-
ra okolu Sonceto po kru`na pateka so ra-
dius  r = 1,5·10
11
 m, so liniska brzina 30 
km/s, da se najde agolnata brzina i centri-
petalnoto zabrzuvawe na Zemjata! [Odgo-
vor: a) 2·10
–7
 m/s; b) 6·10
–3
 m/s
2
.] 

40 
REZIME
Kinematika  e del od mehanikata  i 
go izu~uva dvi`eweto na telata vo zavis-
nost od vremeto, bez da gi zema predvid 
silite {to dejstvuvaat na toa telo. 
Skalar pretstavuva veli~ina {to se 
karakterizira samo so numeri~ka vred-
nost, pozitivna ili negativna.  
Vektor pretstavuva veli~ina {to e 
opredelena so numeri~ka vrednost, pra-
vec i nasoka. 
Skalarni veli~ini so koi naj~esto 
se sre}avame vo fizikata se: masa, vreme, 
volumen itn. Vektorski veli~ini koi vo-
obi~aeno se koristat vo mehanikata se: 
pomestuvawe, sila, vektor na brzina, za-
brzuvawe, moment na sila, vrtliv mo-
ment, vektor na agolna brzina i agolen 
moment.  
Nepodvi`no telo vo odnos na koe se 
razgleduva dvi`eweto na drugo telo se 
vika referentno telo. 
Mehani~kata sostojba na teloto vo 
daden moment se opredeluva od negovata 
polo`ba i negovata brzina vo odnos na 
daden referenten sistem. Mehani~koto 
dvi`ewe se deli na: translatorno ‡ 
pretstavuva paralelno pomestuvawe na 
sekoja to~ka od teloto; vrtlivo  (rota-
ciono) ‡ koga site to~ki od teloto opi-
{uvaat kru`nici koi le`at vo paralel-
ni ramnini. Centrite na tie kru`nici 
le`at na edna ista prava nare~ena oska 
na rotacija. 
Materijalna to~ka e telo ~ii{to 
dimenzii i oblik se zanemarlivo mali 
vo odnos na dimenziite na prostorot vo 
koj se vr{i dvi`eweto. 
Polo`bata na sekoja materijalna 
to~ka 
M
 vo prostorot mo`e da se opre-
deli so radius-vektor  r
&
, koj pretstavu-
va naso~ena otse~ka {to gi svrzuva refe-
rentniot po~etok O so polo`bata na ma-
terijalnata to~ka vo daden moment od 
vremeto. 
Traektorija e zamislena linija {to 
materijalnata to~ka ja opi{uva vo pro-
storot pri svoeto dvi`ewe. Vo zavisnost 
od formata na traektorijata dvi`eweto 
mo`e da bide pravolinisko ili krivoli-
nisko. 
Dol`inata na traektorijata me|u 
dve to~ki {to le`at na nea se vika izmi-
nat pat. Patot e skalarna veli~ina. 
Vektorska razlika me|u dva radius-
vektora 
1
r
*
 i 
2
r
&
 koi ja opredeluvaat po-
lo`bata na materijalnata to~ka vo raz-
li~ni momenti od vremeto se vika pomes-
tuvawe ili vektor na pomestuvawe  r
&
' . 
Brzinata se definira kako promena 
na polo`bata na teloto vo daden vremen-
ski interval. Odnosot na patot i vreme-
to pri ramnomerno pravolinisko dvi`e-
we sekoga{ e konstanten. 
Konstantna brzina  na dvi`ewe 
zna~i deka teloto izminuva ednakvi po-
mestuvawa za ednakvi vremenski inter-
vali, sekoga{ vo ista nasoka, po prava 
linija.  
Promenliva brzina na dvi`ewe zna-
~i deka za ednakvi vremenski intervali 
pomestuvaweto na teloto e razli~no. Vo 
takvi slu~ai treba da zboruvame za sred-
na brzina na dvi`ewe. 
Konstantno zabrzuvawe zna~i ed-
nakva promena na brzinata vo ednakvi 
vremenski intervali. 
Odnosot pome|u vektorot na prome-
nata na brzinata v i vremenskiot inter-

41 
val za koj taa promena nastanala go dava 
srednoto zabrzuvawe. 
Zabrzuvaweto pri krivolinisko dvi-
`ewe e sostaveno od dve komponenti, 
r
a
&
 
i 
.
t
a
*
 Komponentata 
r
a
&
se vika normalno 
ili radijalno zabrzuvawe i nastanuva po-
radi promena na brzinata po pravec. 
Komponentata 
t
a
&
 se vika tangencijalno 
zabrzuvawe  i zavisi od promenata na br-
zinata po intenzitet. 
Komponentata 
r
a
&
 e sekoga{ naso~e-
na kon vnatre{nosta na krivinata i go 
ima pravecot na radiusot na krivinata, 
pa zatoa e nare~ena radijalno ili cen-
tripetalno zabrzuvawe 
.
r
a
&
 
 
Da nau~ime pove}e: http://www.physicslessons.com/exp1b.htm 
 

43 
 
3. DINAMIKA 

44 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1. Prv Wutnov zakon .............................................................................................  
45 
3.2. Vtor Wutnov zakon ...........................................................................................  
47 
3.3. Impuls na telo i impuls na sila ...................................................................  
48 
3.4. Te`ina na telata ...............................................................................................  
49 
3.5. Tret Wutnov zakon............................................................................................  
51 
3.6. Zakon za zapazuvawe na impulsot ..................................................................  
54 
3.7. Sili na triewe ..................................................................................................  
57 
3.8. Centrifugalna sila .........................................................................................  
59 
3.9. Wutnov zakon za gravitacija ..........................................................................  
61 
3.10. Dvi`ewe na ve{ta~kite sateliti i kosmi~ki brzini...........................  
63 
Rezime .........................................................................................................................  65 

45 
3.1. PRV WUTNOV ZAKON 
Vo kinematikata, ~ii zakonitosti 
gi prou~uvavme vo prethodnata glava, 
dvi`eweto na telata se opi{uva bez da 
se zemaat predvid pri~inite koi{to go 
predizvikuvaat toa dvi`ewe. Vo nea de-
finiciite i zakonite se izrazuvaat pre-
ku fizi~kite veli~ini rastojanie (po-
mestuvawe), vreme, brzina i zabrzuvawe. 
Vo dinamikata, koja{to isto taka pret-
stavuva del od mehanikata, }e gi prou~i-
me tokmu pri~inite {to go predizviku-
vaat dvi`eweto na telata, a vo zakonito-
stite }e gi vovedeme fizi~kite veli~i-
ni masa i sila. 
Isak Wutn (Isaac Newton, 1642–1727) 
bil prviot fizi~ar {to sistematski gi 
vovel ovie fizi~ki veli~ini vo mehani-
kata i gi formuliral osnovnite zakoni 
za dvi`eweto na telata. Ovie zakoni se 
poznati kako Wutnovi zakoni ili dina-
mi~ki zakoni. 
Prviot Wutnov zakon e objaven vo 
negovata poznata kniga Principia Lex I. Toj 
glasi:  Sekoe telo nastojuva da ostane 
vo sostojba na miruvawe ili ramnomerno 
pravolinisko dvi`ewe sè dodeka nekoja 
nadvore{na sila ne ja promeni taa sos-
tojba. 
Ovoj zakon mo`e da se demonstrira 
preku niza ednostavni eksperimenti. Eden 
takov eksperiment e prika`an na sl. 3.1, 
koga pri naglo izvlekuvawe na pokrivka-
ta postavena na masa pod ~iniite i pri-
borot za jadewe ne se menuva nivnata po-
~etna polo`ba.  
 
Sl. 3.1. Pokrivkata mo`e da se izvle~e  
bez pomestuvawe na ~iniite 
Drug eksperiment, na sl. 3.2, prika-
`uva mala koli~ka koja mo`e slobodno 
da se dvi`i po {ina.  
 
Sl. 3.2. [inata mo`e da se pomesti  
bez da se pridvi`i koli~kata 
Ako {inata naglo se turne nalevo 
ili nadesno, trkalata na koli~kata }e se 
zavrtat, no koli~kata }e se stremi da 
ostane vo sostojba na miruvawe. Streme-
`ot sekoe telo da ostane vo sostojba na 
miruvawe se dol`i na svojstvoto, zaed-
ni~ko za site materijalni tela, nare~eno 
inercija. 

46 
Zapomni! Inercijata mo`e da se defi-
nira kako svojstvo na telata da se spro-
tivstavat na promena na nivnata so-
stojba na miruvawe ili ramnomerno pra-
volinisko dvi`ewe. 
Inercijata i masata na telata se me-
rat so ista edinica, kilogram (kg). Toa 
zna~i deka mera za inertnosta na telata 
e vsu{nost nivnata masa. Vo vremeto ko-
ga Wutn ja definiral masata kako mera 
za inertnosta na telata site eksperimen-
ti uka`uvale deka taa ima konstantna 
vrednost i ne zavisi od brzinata na tela-
ta. Taka ostanalo sè do postavuvaweto na 
specijalnata teorija na relativnost od 
strana na Albert Ajn{tajn (Albert Ein-
stein, 1879‡1955), vo koja{to masata na te-
loto zavisi od negovata brzina spored 
ravenkata: 
 
2
2
0
1
c
v
m
m

 
.  
(3.1) 
Masata m se narekuva relativisti~-
ka masa, masata m
0
 e masa na miruvawe, v e 
brzina na teloto, a c e brzina na svetli-
nata vo vakuum (c = 3˜10
8
 m/s). 
Vo prethodnite dva eksperimenta 
bea razgledani tela {to miruvaat. Vto-
riot del na Prviot Wutnov zakon se od-
nesuva na tela {to se dvi`at ramnomerno 
pravoliniski, pa definicijata na zakonot, 
razgleduvan od toj aspekt, bi bila: Telo 
{to se dvi`i ramnomerno pravoliniski 
}e ostane vo taa sostojba sè dodeka vrz 
nego ne dejstvuva nekoja nadvore{na sila 
{to }e ja promeni negovata sostojba. 
Ovaa zakonomernost kaj telata naj-
prvo bila zabele`ana od Galileo Gali-
lej (Galileo Galilei, 1564‡1642) koga go pro-
u~uval zabrzuvaweto na telata {to se ja-
vuva kako rezultat na Zemjinata gravita-
cija. Toj zabele`al deka top~e {to se tr-
kala nadolu po kosa ramnina }e stigne 
pribli`no do ista viso~ina po druga ko-
sa ramnina, nezavisno od nejziniot nak-
lon (vidi sl. 3.3). Toa zna~i deka top~eto 
se stremi da se vrati na koj bilo na~in 
vo prvobitnata sostojba. I obratno, ako 
top~eto se pu{ti da se istrkala po hori-
zontalna ramnina, toa nikoga{ nema da 
ja dostigne po~etnata viso~ina, tuku }e 
se stremi da se trkala i ponatamu sè do-
deka ne zapre poradi trieweto pome|u 
nego i podlogata. 
 
Sl. 3.3. Demonstracija na eksperiment za 
inercija izveden od strana na Galilej 
Prviot Wutnov zakon ni dava mo`-
nost da definirame referenten sistem 
vrzan za Zemjata. Toga{ dvi`eweto na 
sekoe telo {to se nao|a na Zemjata mo`e-
me da go razgleduvame vo odnos na toj si-
stem. Referentnite sistemi koi{to mi-
ruvaat ili se dvi`at ramnomerno pravo-
liniski, a vo koi va`i Prviot Wutnov 
zakon, se narekuvaat inercijalni siste-
mi. Spored toa mo`eme da smetame deka 
za telata na Zemjata taa pretstavuva 
inercijalen referenten sistem {to mi-
ruva. Site sistemi {to se dvi`at zabrza-
no vo odnos na daden inercijalen refe-
renten sistem se narekuvaat neinercijal-
ni. Na primer, voz {to se dvi`i so zabr-
zuvawe po {ini pretstavuva neinercija-
len sistem za patnik {to sedi vo nego, 
smetano vo odnos na referentniot si-
stem na Zemjata. 

47 
;
Pra{awa i zada~i
 
1. Koja fizi~ka veli~ina e mera za inertno-
sta na telata? 
2. Koi sistemi se narekuvaat inercijalni si-
stemi? 
3. Presmetaj ja relativisti~kata masa na te-
lo so masa m
0
 = 1 kg {to se dvi`i so brzina 
v = (3/4)c [Odgovor: 
7
/
4
].  
3.2. VTOR WUTNOV ZAKON 
Vtoriot Wutnov zakon isto taka e 
objaven o knigata Principia Lex I. Toj gla-
si: Koga edno telo e pod dejstvo na kon-
stantna sila, negovoto rezultantno 
zabrzuvawe e proporcionalno so silata, 
a obratnoproporcionalno so negovata 
masa. Vtoriot Wutnov zakon so ravenka 
mo`e da se prika`e kako: 
 
 
m
F
a
 
. (3.2). 
Ovaa ravenka napi{ana vo oblikot: 
 
ma
F
 
, (3.3) 
pretstavuva  osnovna ravenka na dinami-
kata so koja mo`e da se opi{e dvi`ewe-
to na telata. Ovoj izraz za Vtoriot Wut-
nov zakon poka`uva deka zabrzuvaweto 
na teloto sekoga{ e vo nasoka na silata 
{to dejstvuva vrz nego (sl. 3.4). Spored 
toa, ravenkata za sila mo`eme da ja napi-
{eme i vo vektorski oblik: 
 
a
m
F
&
&
 
. (3.4) 
 
Sl. 3.4. Pod dejstvo na konstantna sila 
F
&
 
teloto so masa m se dvi`i so zabrzuvawe  a
&
 
Primer 1. Kolkava e vrednosta na 
konstantna sila koja na telo so masa 50 kg 
mu dadva zabrzuvawe od 5 m/s
2
. Trieweto 
pome|u teloto i podlogata da se zanema-
ri.  
Re{enie: Poznati se vrednostite za 
masata m = 50 kg i zabrzuvaweto a = 5 m/s
2
. 
So direktna zamena vo ravenkata (3.3) za 
silata dobivame: 
 
2
2
s
m
kg
250
s
m
kg·5
50
 
 
F
. 
Vo poslednata ravenka edinicata za 
sila e izrazena preku edinicite na os-
novnite fizi~ki veli~ini dol`ina (m), 
masa (kg) i vreme (s). Spored, toa edini-
cata za sila, {to se narekuva wutn vo 
~est na Isak Wutn, se definira kako: 
Eden wutn e sila koja{to primeneta na 
telo so masa 1 kg mu dava zabrzuvawe od 
1 m/s
2
. 
 
2
s
m
1
kg
1
N
1
˜
 
.  
 
; 
Pra{awa i zada~i
 
1. Koj zakon pretstavuva osnovna ravenka na 
dinamikata? 
2. Kolkava e vrednosta na horizontalna sila 
{to dejstvuva na telo so masa 24 kg i mu da-
va zabrzuvawe 5 m/s
2
? [Odgovor: 120 N.] 

48 
3.3. IMPULS NA TELO I IMPULS NA SILA 
Proizvodot od masata na telo i ne-
govata brzina se narekuva impuls na te-
lo i mo`e da se opredeli so ravenkata: 
 
v
m
p
&
&
 
.  
(3.5) 
Soglasno so ovaa definicija, site 
tela {to se dvi`at imaat impuls, pri 
{to telo so mala masa m {to se dvi`i so 
golema brzina v mo`e da ima ist impuls 
kako i telo so golema masa m {to se dvi-
`i vo ist pravec, no so mala brzina v.
 
 
 
Primer 2. Telo so masa 50 kg se dvi-
`i po prava i ramna pateka so brzina 1,5 
m/s. Potoa drugo telo so masa 15 kg  se 
dvi`i po istata pateka, no so brzina 5 
m/s. Kolku iznesuva impulsot na sekoe od 
telata? 
Re{enie: Poznati se vrednostite 
za masite i brzinite na dvete tela: 
kg
 
50
1
 
m
, 
m/s
 
,5
1
1
 
v
, 
kg
 
5
1
2
 
m
 i 
m/s
 
5
2
 
v
. Impulsot 
1
p  na prvoto telo 
iznesuva: 
 m/s
 
kg
 
75
m/s
 
1,5
kg
 
50
1
1
1
 
˜
 
  v
m
p
, 
a na vtoroto telo toj ima ista vrednost: 
m/s
 
kg
 
75
m/s
 
5
kg
 
5
1
2
2
2
 
˜
 
  v
p
p
. 
Vtoriot Wutnov zakon isto taka mo-
`e da se definira i preku impuls na te-
loto: Promenata na impulsot  p
'  na te-
loto e proporcionalna so silata F 
{to dejstvuva na nego vo opredelen vre-
menski interval 
t
'  i ima ista nasoka 
so dejstvoto na silata: 
 
t
F
p
'
 
'
. (3.6) 
Za da se dobie ravenkata (3.6), po-
trebno e desnata strana od ravenkata 
(3.5) da ja pomno`ime i podelime so zabr-
zuvaweto {to }e go dobie teloto pod 
dejstvo na silata F: 
 
t
F
a
v
a
m
p
 
 
 , 
 
t
F
p
'
 
'
. 
Dejstvoto na sila F vrz telo so masa 
m predizvikuva zabrzuvawe, t.e. promena 
na negovata brzina vo daden vremenski 
interval. Soglasno so Vtoriot Wutnov 
zakon sleduva deka silata mo`e da se 
pretstavi so ravenkata:  
 
t
v
v
m
ma
F
1
2

 
 
. (3.7) 
Ovaa ravenka se koristi za re{ava-
we na zada~i vo koi se dadeni po~etnata 
1
v  i krajnata vrednost 
2
v  na brzinata na 
teloto.