Margarita Ginovska, Hristina Spasevska Nevenka Andonovska

Sl. 3.22. Isfrluvaweto vo horizontalen  
pravec od to~kata P so soodvetna brzina  
vselensko letalo (prva kosmi~ka brzina)  
mo`e da go natera da se dvi`i okolu Zemjata 
kako nejzin ve{ta~ki satelit 
Ako brzinata na lansiraweto e ma-
la, proektilot }e ima pribli`no para-
boli~na pateka i }e padne vo to~kata A 
na Zemjata. So ne{to pogolema brziina 
na lansirawe proektilot }e padne vo 
to~kata B. 
Pri u{te pogolema brzina lansira-
niot proektil }e se dvi`i po kru`na pa-
teka so radius r okolu Zemjata (ovaa tra-
ektorija pominuva niz to~kata C), t.e. 
stanuva nejzin ve{ta~ki satelit. Taa 
brzina na lansirawe pri koja vselensko-
to letalo stanuva ve{ta~ki satelit na 
Zemjata se narekuva prva kosmi~ka brzi-
na. Pri u{te pogolemi brzini na lansi-
rawe vselenskoto letalo mo`e da se dvi-
`i po elipti~na traektorija okolu Zem-
jata ili da ja sovlada gravitacionata si-
la na Zemjata i da stane ve{ta~ki satelit 
na Sonceto. Brzinata na lansirawe pri 
koja vselenskoto letalo stanuva ve{ta~-
ki satelit na Sonceto se narekuva vtora 
kosmi~ka brzina.  
Uslov {to treba da bide zadovolen 
za vselensko letalo da kru`i okolu Zem-
jata e centrifugalnata sila {to dejstvu-
va vrz nego, dadena so ravenkata (3.19), da 
bide ednakva so gravitacionata sila na 
Zemjata (vidi ravenka (3.22)). Ako ve-
{ta~kiot satelit se dvi`i vo blizina na 
povr{inata na Zemjata, toga{ radiusot 
na orbitata r mo`eme da go smetame za 
pribli`no ednakov na Zemjiniot radius 
R, dodeka centrifugalnata sila e edna-
kva na te`inata na teloto (satelit), 
G = mg. Ako ve{ta~kiot satelit ima ma-
sa  m, a masata na Zemjata ja ozna~ime so 
M, od uslovot za ednakvost na centrifu-
galnata i gravitacionata sila se dobiva 
ravenkata: 
 
2
2
R
mM
R
mv
J
 
,  
(3.26) 
kade {to v e prvata kosmi~ka brzinata. 
Taa mo`e da se izrazi so ravenkata: 
 
2
R
MR
v
J
 
. (3.27) 
Ako vo ravenkata (3.27) se zameni 
izrazot (3.25) za Zemjinoto zabrzuvawe 
dobivame: 
 
gR
v
 
. (3.28) 
Primer 14. Presmetaj ja prvata kos-
mi~ka brzina ako se znae deka radiusot 
na Zemjata iznesuva R = 6370 km! 
Re{enie: Prvata kosmi~ka brzina ja 
presmetuvame so direktna zamena vo ra-
venkata(3.28): 

65 
m/s
 
7905
m
 
10
6370
s
m
81
,
9
3
2
 
˜
˜
 
v
. 
Vrednosta na prvata kosmi~ka br-
zina mo`eme pribli`no da ja smetame 
kako  v = 8 km/s. 
;
Pra{awa
 
1. Koga lansira{ proektil, stanuva ve{ta~-
ki satelit na Zemjata. 
2. Kako se definira prvata, a kako vtorata 
kosmi~ka brzina? 
REZIME 
Prviot Wutnov zakon glasi:  Sekoe 
telo nastojuva da ostane vo sostojba na 
miruvawe ili ramnomerno pravolinisko 
dvi`ewe sè dodeka nekoja nadvore{na si-
la ne ja promeni taa sostojba. 
Inercijata e svojstvo na telata da 
se sprotivstavat na promena na nivna-
ta sostojba na miruvawe ili ramnomer-
no pravolinisko dvi`ewe. 
Vtoriot Wutnov zakon glasi:  Koga 
edno telo e pod dejstvo na konstantna 
sila, negovoto rezultantno zabrzuvawe 
e proporcionalno so silata, a obratno-
proporcionalno so negovata masa:  
 
m
F
a
 
. 
Proizvodot od masata na teloto i 
negovata brzina se narekuva impuls na 
teloto i mo`e da se opredeli so raven-
kata: 
 
v
m
p
&
&
 
.
 
 
Impuls na sila pretstavuva pro-
izvod od silata i vremeto za koe taa 
dejstvuva. 
mv
Ft
 
. 
Dejstvoto na zemjinata te`a vrz te-
lata se registrira so sila na pritisok 
na telata vrz podlogata, {to se narekuva 
te`ina na telata.  
Te`inata i masata na telata nume-
ri~ki se razlikuvaat edna od druga za fak-
tor ednakov na Zemjinoto zabrzuvawe.  
Tretiot Wutnov zakon glasi:  Reak-
cijata sekoga{ e ednakva i sprotivna na 
akcijata.  Ili, so drugi zborovi, silite 
so koi dve tela zaemno si dejstvuvaat 
sekoga{ se ednakvi po golemina, imaat 
ist pravec, a sprotivni nasoki. 
Zbirot na impulsite na telata 
pred sudirot e ednakov na zbirot na im-
pulsite na telata po sudirot, ili, zbi-
rot na impulsite na telata pred i po 
sudirot ostanuva nepromenet.  
Silata na trieweto pri lizgawe 
t
F
 e pravoproporcionalna na vkupnata 
sila {to dejstvuva na teloto nadolu, 
t.e. normalnata sila F
n
 = 
G. Taa sekoga{ 
ima ist pravec so pravecot na dvi`ewe, 
a sprotivna nasoka. 
 
n
t
F
F
P
 
. 
Centrifugalnata sila e naso~ena od 
centarot kon kru`nicata po koja se dvi-
`i teloto: 
 
r
v
m
F
c
2
 
. 
Wutnoviot zakon za gravitacija gla-
si:  Dve tela me|usebno se privlekuvaat 
so sila {to e proporcionalna na proiz-

66 
vodot od nivnite masi i obratnopro-
porcionalna so kvadratot na me|useb-
noto rastojanie.  
 
2
2
1
d
m
m
F
J
 
. 
‡ Brzinata na lansirawe pri koja 
vselenskoto letalo stanuva ve{ta~ki sa-
telit na Zemjata se narekuva prva kos-
mi~ka brzina: 
 
km/s
 
8
 
 
  gR
v
.  
Brzinata na lansirawe pri koja vse-
lenskoto letalo stanuva ve{ta~ki sate-
lit na Sonceto se narekuva vtora kos-
mi~ka brzina.  
 
 
Da nau~ime pove}e:  
http://physicsweb.org/resources/Education/Interactive_experiments/Classical_mechanics/ 
 

 
 
 
4. RABOTA I ENERGIJA 

 
68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1. Mehani~ka rabota .............................................................................................  
69 
4.2. Mo}nost ...............................................................................................................  
72 
4.3. Energija ...............................................................................................................  
73 
4.4. Zakon za zapazuvawe na energijata ................................................................  
75 
Rezime .........................................................................................................................  77 
  

 
69 
4.1. MEHANI^KA RABOTA 
Vo prirodata postojat pove}e vido-
vi energija: mehani~ka, toplinska, zvu~-
na, nuklearna, hemiska, atomska, elek-
tri~na i drugi. Sekoj vid energija ima 
va`na uloga vo na{iot sekojdneven `i-
vot. Vo ovaa glava }e se zadr`ime na pro-
u~uvaweto na mehani~kata energija, {to 
se javuva kako rezultat na dvi`eweto i 
zaemnoto dejstvo na makroskopskite te-
la. Energijata pretstavuva osnoven, zaed-
ni~ki element na site oblici na materi-
jata vo prirodata.  
Fizi~ka veli~ina tesno povrzana so 
energijata e rabotata, koja{to vo sekoj-
dnevniot `ivot se koristi za da se opi-
{e tro{eweto na akumuliranata energi-
ja. Spored toa energijata pretstavuva 
sposobnost na teloto da vr{i rabota.  
Bidej}i energijata najlesno se defi-
nira preku potro{enata rabota, prvo }e 
ja definirame rabotata, pokonkretno me-
hani~kata rabota, kako mera za potro-
{enata energija na telata. 
Mehani~kata rabota A se definira 
kako proizvod od silata F i rastojanie-
to s na koe taa sila dejstvuva: 
 
Fs
A
 
. (4.1) 
Da razgledame eden op{t slu~aj za 
presmetuvawe na rabota izvr{ena pri 
podigawe telo so masa m na viso~ina h 
nad zemja (sl. 4.1). 
Spored Vtoriot Wutnov zakon 
 
(F = m a), silata potrebna za podigawe na 
telo na visina h e ednakva na negovata 
te`ina G = mg. Ako vo ravenkata (4.1) si-
lata  F ja zamenime so proizvodot mg, za 
rabotata ja dobivame ravenkata:  
 
mgh
A
 
. (4.2)
 
 
Sl. 4.1. Rabotata se definira  
kako sila po rastojanie 
Primer 1. Da se presmeta rabotata 
izvr{ena za podigawe na telo so masa 
5 kg na viso~ina od 3 m. 
Re{enie: Dadeni se vrednostite na 
fizi~kite veli~ini: m = 5 kg, h  = 2 m i 
g = 9,81 m/s
2
. So direktna zamena na vred-
nostite na ovie fizi~ki veli~ini vo ra-
venkata (4.2) dobivame: 
 
m
 
2
m/s
 
9,81
kg
 
5
2
˜
˜
 
  mgh
A
 
 
2
2
s
m
 
kg
 
1
,
98
 
A
. 
So edinicata 
2
m/s
 
kg
 vo SI-sistemot 
na merni edinici se izrazuva edinicata 

 
70 
za sila wutn, pa re{enieto mo`e da se 
napi{e i kako: 
 
m.
N
 
1
,
98
 
A
 
Vo SI-sistemot edinicata  Nm
 
1
 se na-
rekuva  xul  (oznaka J), vo ~est na angli-
skiot fizi~ar Xejms Xul (James Joule, 
1818‡1889). Eden xul e rabota {to ja 
izvr{uva sila od eden wutn (1 N) na ras-
tojanie od 1 metar (1 J = 1 Nm). 
Pri lizgawe na telo so masa 5 kg po 
horizontalna ramnina so konstantna 
brzina na rastojanie od 2 m (vidi sl. 4.2) 
izvr{enata rabota nema da bide tolku 
golema kako onaa potrebna da se podigne 
istoto telo na viso~ina od  2 m. 
 
 
Sl. 4.2. Pri lizgawe na telo se vr{i rabota 
za sovladuvawe na trieweto pome|u teloto  
i podlogata 
Na primer, da pretpostavime deka 
koeficientot na triewe pri lizgawe za 
teloto od sl. 4.2 iznesuva 
P
 = 0,25. Silata 
na triewe e ednakva so te`inata na telo-
to  G {to ovde se javuva kako normalna 
sila i mo`e da se presmeta so ravenkata: 
 
2
m/s
 
9,81
kg
 
5
25
,
0
˜
˜
 
  G
F
t
P
 
 
N
 
,25
12
 
t
F
. 
Bidej}i teloto }e se lizga pod dejst-
vo na sila od 12,25 N, rabotata {to }e ja 
izvr{i taa sila na rastojanie od 2 m mo-
`e da se presmeta so ravenkata: 
 
J
 
24,5
 
m
 
2
N
 
25
,
12
 
˜
 
  s
F
A
t
. 
Koga sila F dejstvuva na telo pod ne-
koj agol vo odnos na pravecot na dvi`e-
we, samo komponentata na silata {to 
dejstvuva po pravecot na dvi`ewe }e vr-
{i rabota. Na sl. 4.3 e prika`ano telo 
so masa 20 kg, {to se dvi`i pod dejstvo na 
sila od 100 N postavena pod agol 30
o
.  
 
Sl. 4.3. Pri presmetuvawe na rabotata 
 silata se proektira vrz pravecot  
na dvi`ewe 
Patot {to go pominalo teloto izne-
suva 5 m. Silata F mo`e da se razlo`i na 
dve komponenti, horizontalna F
x
 (po pra-
vecot na dvi`ewe na teloto) i vertikal-
na F
y
 (po pravec normalen na pravecot na 
dvi`ewe na teloto). Ovie komponenti na 
silata  F mo`at da se presmetat so sled-
nite ravenki: 
N
 
86,6
0,866
N
 
100
30
cos
o
 
˜
 
  F
F
x
 
N
 
0
,
50
0,500
N
 
100
30
sin
o
 
˜
 
  F
F
y
. 
Vertikalnata komponenta F
y
 od si-
lata ne vr{i rabota, zatoa {to teloto 

 
71 
ne se pomestuva vertikalno. Vo ovoj slu-
~aj rabotata }e ja vr{i samo horizontal-
nata sila F
x
:  
 
J
 
433
 
 
m
 
5
N
 
6
,
86
 
˜
 
 
s
F
A
x
. 
Iako vertikalnata sila ne vleguva 
direktno vo presmetkite na rabotata, taa 
sepak pomaga so podigawe na teloto, a so 
toa go namaluva trieweto pri lizgawe.  
*Primer 2. Kov~eg so masa 100 kg
 se 
vle~e po pod na rastojanie 20 m so ra~ka 
koja{to formira agol 
T
 od 35
o
 so hori-
zontalata (vidi sl. 4.4). Ako koeficien-
tot na triewe pri lizgawe iznesuva 0,25, 
da se opredelat: a) silata so koja se vle~e 
kov~egot i b) izvr{enata rabota. 
 
Sl. 4.4. Pri lizgawe na kov~eg po pod  
se vr{i rabota 
Re{enie: Silata F se razlo`uva na 
dve komponenti, po pravecot na dvi`ewe 
i normalno na nego: 
 
F
F
F
x
819
,
0
35
cos
o
 
 
 (4.3) 
 
F
F
F
y
0,574
35
sin
o
 
 
 (4.4) 
Za da se najde silata na triewe 
(
n
t
F
F
P
 
), treba da ja opredelime nor-
malnata sila 
n
F . Taa pretstavuva rezul-
tanta od dve sili koi{to dejstvuvaat na 
kov~egot: negovata te`ina mg i F
y
 koja-
{to dejstvuva vertikalno nagore: 
 
y
n
F
mg
F

 
 ,  
pa silata na triewe }e iznesuva: 
 
)
(
25
,
0
y
n
t
F
mg
F
F

 
 
P
. 
Za da se sovlada trieweto i kov~e-
got da se lizga, komponentata F
x
 mora da 
bide pogolema ili barem ednakva na si-
lata na triewe F
t
: 
 
)
(
25
,
0
y
x
F
mg
F

 
. (4.5) 
So zamena na komponentite F
y
 
i F
x
 od 
realciite (4.3) i (4.4) vo (4.5) se dobiva: 
 
F
mg
F
574
,
0
25
,
0
25
,
0
819
,
0
˜

 
. 
^lenovite koi{to ja sodr`at silata 
F  se sobiraat, a potoa se zamenuvaat 
vrednostite za m i g: 
 
2
m/s
 
9,81
kg
 
100
25
,
0
819
,
0
˜
˜
 
F
. 
Sleduva deka silata {to }e vr{i ra-
bota pri vle~eweto na kov~egot od uslo-
vot pod a) iznesuva: 
 
N
 
4
,
254
 
F
. 
Re{enieto pod b) za izvr{enata ra-
bota 
s
F
A
x
 
 iznesuva: 
 
J
 
4167
 
m
 
20
N
 
254,4
0,819
 
˜
˜
 
A
. 
*Primer 3. Eden avtomobil so masa 
m = 1 t se nao|a na rid so 50% strmnina 
(sl. 4.5). Takva strmnina se dobiva
 
koga na 
horizontalno rastojanie h = 100 m ima ver-
tikalen porast 
m
50
 
h
. Da se presmeta 
rabotata {to }e ja izvr{i avtomobilot 
koga }e se dvi`i od po~etokot do krajot 
na ridot.  

 
72 
 
Sl. 4.5. Avtomobil se spu{ta po ridot  
so konstantno zabrzuvawe 
Re{enie:  Agolot 
T
na naklonot e 
daden so ravenkata: 
 
x
h
 
T
tg
,  
i za strmnina od 50% ima vrednost: 
 
5
,
0
m
100
m
50
tg
 
 
T
,  
 
{to odgovara na agol 
T
= 26,56
o
. 
Patot  l {to }e go pomine avtomobi-
lot, dvi`ej}i se po ridot mo`e da se pre-
smeta spored Pitagorinata teorema: 
 
m
8
,
111
2
2
 

 
x
h
l
.  
Za da ja najdeme silata so koja 
avtomobilot se zabrzuva, go razlo`uvame 
vektorot na te`inata na avtomobilot 
g
m
G
&
&
 
 
na dve komponenti,  F
&
 i  T
&
, edna 
paralelna i edna normalna na strmnina-
ta. Zabele`uvame deka dvata pravoagol-
ni triagolnici {to gi formiraat sili-
te imaat ist agol 
T
a komponentite na 
silata se dadeni so ravenkite: 
 
T
sin
G
F
 
,  
 
T
cos
G
T
 
.  
Komponentata  F
&
 e silata koja mu go 
dava zabrzuvaweto na avtomobilot, a 
komponentata  T
&
 go pritiska avtomobi-
lot na naklonetata ramnina, so {to po-
ve}e go ote`nuva negovoto dvi`ewe 
otkolku {to pomaga vo dvi`eweto nado-
lu. Toga{ rabotata (A = F l) {to }e ja 
izvr{i avtomobilot pod dejstvo na 
silata  F na patot l mo`e da se presmeta 
od ravenkata: 
 
T
T
sin
sin
l
g
m
l
G
A
 
 
. 
Ako veli~inite od ravenkata se zamenat 
so numeri~kite vrednosti. izvr{enata 
rabota iznesuva: 
kW
490
447
,
0
m
8
,
111
s
m
81
,
9
kg
1000
2
|
 
A
. 
;
Pra{awa i zada~i
 
1. Koja e SI-edinicata za rabota? 
2. Avtomobil se tovari na paluba od brod za 
prekumorski transport. Ako masata na av-
tomobilot e 2200 kg i ako se podiga verti-
kalno na viso~ina od 15 m, kolkava rabota 
}e se izvr{i? [Odgovor: 323,73 kJ.]  
4.2. MO]NOST
Mo}nost e fizi~ka veli~ina {to se 
definira kako odnos pome|u izvr{enata 
rabota  A  i vremeto t za koe taa rabota e 
izvr{ena: 
 
t
A
P
   (4.6) 
Kolku pobrgu e izvr{eno odredeno 
koli~estvo rabota tolku pogolema e mo}-
nosta. So drugi zborovi, kolku e pomalo 
vremeto t vo ravenkata (4.6) tolku e pogo-
lem odnosot A/t i mo}nosta P.  

 
73 
Edinicata za mo}nost se izrazuva 
kako xul vo sekunda. Vo ~est na {kotski-
ot in`ener i pronao|a~ Xejms Vat (James 
Watt, 1736‡1819) taa se narekuva vat: 
 
 W
1
s
J
 
1
 
. (4.7) 
Eden vat e sila (mo}nost) so koja 
telo }e izvr{uva rabota od eden xul za 
vreme od edna sekunda. 
Primer 4. Kolkava mo}nost e po-
trebna za lift so masa od 350 kg da se po-
digne na rastojanie od 180 m za vreme od 
40 s? 
Re{enie: Poznati se vrednostite za 
masata  m = 350 kg, visinata  h = 180 m, 
vremeto t = 40 s i g = 9,81 m/s
2
. Bidej}i ra-
botata izvr{ena za podigawe na telo na-
gore e dadena so ravenkata A = mgh, mo}-
nosta mo`eme da ja opredelime od raven-
kata (4.6): 
 
s
 
40
m
 
180
9,81m/s
kg
 
50
3
2
˜
˜
 
 
t
mgh
P
 
 kW
 
15,44
 
 W 
15440
 
 
P
. 
;
Pra{awa i zada~i
 
1. Koja e SI-edinica za mo}nost i kako se de-
finira taa? 
2. Izvedi ja edinicata za mo}nost preku edi-
nicite na osnovnite fizi~ki veli~ini! 
[Odgovor: (kg·m
2
)/s
3
.] 
3. Presmetaj ja rabotata {to ja vr{i avtomo-
bil {to se dvi`i za vreme od 10 s, ako mo}-
nosta na motorot iznesuva 20 kW.  [Odgo-
vor: 200 kJ.] 
4.3. ENERGIJA
Postojat dva vida mehani~ka energi-
ja,  potencijalna energija 
)
(
p
E
  i kine-
ti~ka energija (E
k
).  Sekoe telo mo`e da 
ima mehani~ka energija kako rezultat na 
negovoto dvi`ewe. Toa se narekuva kine-
ti~ka energija ili poradi negovata po-
lo`ba vo poleto na nekoja potencijalna 
sila (gravitaciona), potencijalna ener-
gija.  
Potencijalna energija.  Za edno te-
lo se veli deka ima potencijalna energi-
ja ako poradi vlijanieto na svojata po-
lo`ba ili sostojba e sposobno da vr{i ra-
bota.  
Avtomobil {to se nao|a na vrvot od 
nekoj rid ili naviena pru`ina na ~asov-
nikot se primeri za tela {to imaat po-
tencijalna energija. Pru`inata mo`e da 
ovozmo`i ~asovnikot da raboti izvesen 
vremenski period, kako {to i avtomobi-
lot mo`e da izmine pat so spu{tawe na-
dolu po ridot.