Margarita Ginovska, Hristina Spasevska Nevenka Andonovska

Sl. 3.11. Eksperiment {to go ilustrira  
zakonot za zapazuvawe na impulsot 
*Primer 9. Dvi`ewe na raketa 
Edna od primenite na zakonot za za-
pazuvawe na impulsot ima pri dvi`ewe-
to na raketa. Imeno, vo raketata oprede-
leno koli~estvo gorivo sogoruva taka 
{to se obrazuva silen i brz mlaz gasovi 
koi{to izleguvaat od zadniot otvor (sl. 
3.12). Tie sozdavaat reakcija {to ja dvi-
`i raketata napred. 
Ako masata na raketata so gorivoto 
e 
1
m , masata na gorivoto e 
2
m ,  a nejzi-
nata brzina e v, toga{ impulsot na rake-
tata iznesuva 
v
m
1
. 
 
Sl. 3.12. Zakon za zapazuvawe na impulsot 
primenet pri dvi`ewe na raketa 
Po sogoruvaweto na gasovite so masa 
m
2
, tie dobivaat brzina v
g
 i ja zgolemuva-
at brzinata na raketata za 
'v, a nejzinata 
masa }e se namali za masata na sogoreno-
to gorivo m
2
. Od zakonot za zapazuvawe 
na impulsot sleduva ravenkata: 
)
(
)
)(
(
2
1
2
1
v
v
m
v
m
v
v
m
m
g


 
'


 
ili  
 
g
v
m
v
m
m
2
2
1
)
(
 
'

.  
 
Ako isfrluvaweto na gasovite se 
vr{i postojano so konstantna brzina v
g
, 
toga{ odnosot na isfrlenata masa gas i 
vremeto (
'm
2
/
't)  e konstanten. Silata F 
so koja raketata se dvi`i napred, spored 
Vtoriot Wutnov zakon mo`e da se opre-
deli od ravenkata: 
      
g
v
m
t
F
2
'
 
'
     ili     
g
v
t
m
F
'
'
 
2
.  
 
Od vtorata ravenka se gleda deka go-
leminata na silata {to }e ja dvi`i rake-
tata zavisi od isfrlenata masa gas vo 
edinica vreme i od brzinata na isfrla-
weto na gasovite. 
Za da se ovozmo`i sogoruvawe na ga-
sovite od raketata, potrebno e da ima 
kislorod. Poradi toa, koga dvi`eweto 
na raketite se odviva vo bezvozdu{en 
prostor, mora raketite da imaat gorivo 
i kislorod. Mlaznite motori na sovre-
menite avioni rabotat na isti princip 
samo {to za sogoruvawe se koristi atmo-
sferskiot vozduh.  
;
Pra{awa i zada~i
 
1. Pri re{avawe na koi problemi go prime-
nuvame zakonot za zapazuvawe na impulsot?  
2. Mom~e so masa 50 kg  skoknuva od ~amec vo 
ezeroto so brzina 20 m/s. Ako ~amecot ima 
masa 100 kg, kolkava brzina }e dobie toj pri 
skokaweto na mom~eto? [Odgovor: 10 m/s.]  

57 
3.7. SILI NA TRIEWE 
Dosega opi{anite eksperimenti i 
re{enite zada~i bea razgleduvani vo 
idealni uslovi koga trieweto, vklu~u-
vaj}i go i otporot na vozduhot, bea zane-
mareni. Bidej}i trieweto postoi, a vo 
nekoi slu~ai ne mo`e da se zanemari, ne-
govoto voveduvawe stanuva neophodnost 
vo re{avaweto na mnogu problemi. 
Koga se koristi sila za pomestuvawe 
na te{ka kutija po pod ili koga avtomo-
bil so defekt se vle~e po prav i ramen 
pat, poradi trieweto {to postoi pome|u 
podlogata i kutijata (avtomobilot), niv-
noto zabrzuvawe ne mo`e da se presmeta 
so ravenkata 
ma
F
 
. 
Koga edno telo se lizga vrz drugo, 
sekoga{ me|u niv se javuvaat sili na tri-
ewe {to mu se sprotivstavuvaat na dvi-
`eweto. Poznato e deka dve povr{ini od 
ist materijal poka`uvaat pogolemo tri-
ewe otkolku povr{ini od razli~ni mate-
rijali. Ova e edna od pri~inite zo{to 
le`i{tata na ma{inite ~esto se pravat 
od eden metal, na primer bronza, dodeka 
nivnite vrtlivi delovi se napraveni od 
drug metal, na primer ~elik. 
Eksperimentite poka`ale deka te-
loto za da po~ne da se lizga, potrebna e 
sila pogolema od onaa {to e potrebna da 
go odr`i vo dvi`ewe. So drugi zborovi, 
stati~koto  triewe, koe se narekuva i 
po~etno triewe, e pogolemo od triweto 
pri dvi`ewe (kineti~ko  triewe). Koga 
teloto }e po~ne da se dvi`i, silata na 
triewe pri lizgawe samo malku se zgole-
muva so zgolemuvawe na brzinata, a potoa 
stanuva konstantna. 
Op{t zaklu~ok e deka sekade kade 
{to ima dvi`ewe postoi triewe. Trie-
weto se javuva kako triewe pri lizgawe 
i  triewe pri trkalawe. Trieweto pri 
lizgawe i trkalawe se javuva pri dvi`e-
we na tvrdi tela.  
Na sl. 3.13 e prika`an eksperiment 
{to }e ni ovozmo`i da ja opredelime go-
leminata na trieweto pri lizgawe.  
 
Sl. 3.13. Trieweto pri lizgawe e proporcio-
nalno na normalnata sila so koja povr{ini-
te zaemno dejstvuvaat edna na druga i ne  
zavisi od nivnata dopirna povr{ina
 
Na sl. 3.13(a) e prika`ano drveno te-
lo so masa 500 g, koe e vle~eno po ramni-
nata so konstantna brzina od te`inata 
G
&
 na tegot so masa 100 g. Koristeweto na 
tolkava vrednost za vle~na sila e utvr-
deno so vr{ewe pove}e probi i prika~u-
vawe na tegovi so razli~ni masi. Teg so 
masa pogolema od 100 g bi go zabrzuvalo 
dvi`eweto na teloto, dodeka pomala ma-
sa od 100 g nema da go pridvi`i. Dvi`ej-
}i se so konstantna brzina, te`inata 
G
&
na tegot e vo ramnote`a so silata na 
triewe pri lizgawe 
t
F
&
 . 

58 
Potoa vrz teloto e dodadeno u{te 
edno isto telo so masa 500 g,  kako na sl. 
3.13(b). Silata potrebna za vle~ewe na 
dvete tela so konstantna brzina se dobi-
va koga masata na zaka~enite tegovi iz-
nesuva 200 g. Ako se dodade treto telo, a 
potoa i ~etvrto, za nivno vle~ewe }e bi-
de potrebna masa na tegovi od 300 g i 400 
g,  soodvetno. Od ovie rezultati mo`e da 
se izvede sledniot zaklu~ok: Silata na 
triewe pri lizgawe 
t
F  e pravopropor-
cionalna na vkupnata sila {to dejstvu-
va na teloto nadolu, t.e. normalnata 
sila 
G
F
n
&
&
  . Taa sekoga{ ima ist pravec 
so pravecot na dvi`ewe, a sprotivna na-
soka (vidi sl. 3.9). 
 
n
t
F
F ~
. (3.17) 
Koga dvete tela od slu~ajot (b) se po-
stavat ednopodrugo, kako na sl. 3.13(v), 
silata na triewe sè u{te e ednakva na te-
`inata naegovite so vkupna masa od 
200 g. 
Potoa,ako vrz ramninata se ostavi 
samo edno telo, no vo druga polo`ba, (sl. 
3.13(g)), te`inata na teg so masa 100 g e 
dovolna za negovo dvi`ewe so konstant-
na brzina. Od ovie eksperimenti mo`e 
da se donese sledniot zaklu~ok: Silata 
na triewe pri lizgawe ne zavisi od gole-
minata na dopirnata povr{ina pome|u 
teloto i podlogata, tuku, samo od 
vkupnata normalna sila {to dejstvuva 
na nego (sl. 3.14). 
Voveduvaj}i konstanta na proporci-
onalnost ravenkata (3.17) za silata na 
triewe }e go dobie oblikot: 
 
n
t
F
F
P
 
,  
(3.18) 
kade {to 
P
 pretstavuva koeficient na 
triewe pri lizgawe. Toj pretstavuva 
bezdimenzionalna veli~ina so vrednosti 
pomali od edinica. 
 
Sl. 3.14. Silata na triewe sekoga{ ima 
sprotivna nasoka od vle~nata sila 
F
&
 
Primer 10. Kolkava sila e potrebna 
za vle~ewe na kutija od 60 kg po mazen da-
bov pod? Koeficientot na triewe pome|u 
kutijata i podot iznesuva 0,55. 
Re{enie: Normalnata sila F
n
  {to 
dejstvuva na podot e te`inata na kutija-
ta, t.e. F
n
 = 60 kg 
˜ 9, 81 m/s
2
 = 588,6 N. 
So zamena vo ravenkata (3.18), za si-
lata na triewe se dobiva vrednosta: 
F
t
 = 588,6 N 
˜ 0,55 = 323,73 N. 
Sporeduvaweto na silata {to e po-
trebna za lizgawe na edna te{ka kutija 
po zemja, so silata {to e potrebna za dvi-
`ewe na istata kutija postavena na mali 
trkala, poka`uva deka trieweto pri liz-
gawe e mnogu pogolemo od trieweto pri 
trkalawe. Zatoa na vozilata se koristat 
trkala, namesto skii, a kaj nekoi ma{ini 
se koristat trkala~ki namesto lizga~ki 
le`i{ta. 
;
Pra{awa i zada~i
 
1. Od {to zavisi silata na triewe i kakov e 
nejziniot pravec i nasoka vo odnos na prave-
cot i nasokata na dvi`eweto na teloto? 
2. Sandak so masa 100 kg se vle~e so sila 
98,1 N po podot na edna planinska ku}i~ka. 
Kolkav e koeficientot na trewe pome|u 
sandakot i podot? [Odgovor: 0,1.] 

59 
3.8. CENTRIFUGALNA SILA 
Vo glavata 2, kade {to zboruvavme za 
dvi`ewe na telo po kru`nica, poka`av-
me deka zabrzuvaweto na teloto mo`e da 
se razlo`i na dve komponenti: 
 
t
r
a
a
a
&
&
&

 
.  
 
Komponentata po pravec na radiusot 
se narekuva radijalno ili centripetalno 
zabrzuvawe 
r
a
&
, a po pravec na tangentata 
na kru`nicata tangencijalno zabrzuvawe 
t
a
&
. Pri kru`no dvi`ewe so konstantna 
brzina ima samo normalno zabrzuvawe, 
dodeka tangencijalnoto e ednakvo na nu-
la. Ovde }e gi razgledame silite koi{to 
se javuvaat pri ramnomerno kru`no dvi-
`ewe. 
Na primer, koga top~e zaka~eno za 
konec se dvi`i po kru`na pateka, kako 
na sl. 3.15, se javuva sila so koja konecot 
dejstvuva na top~eto. Taa sila e naso~ena 
kon centarot na kru`nicata po koja se 
dvi`i top~eto i ima isti pravec i naso-
ka so centripetalnoto zabrzuvawe. Zatoa 
taa sila se narekuva centripetalna si-
la. 
Spored Vtoriot Wutnov zakon 
ma
F
 
, kade {to zabrzuvaweto a odgova-
ra na centripetalnoto zabrzuvawe 
r
v
a
r
2
 
, za centripetalnata sila se dobi-
va ravenkata: 
 
r
v
m
F
r
2
 
.  
(3.19) 
Vo na{iot primer ovaa sila go za-
tegnuva konecot i predizvikuva centri-
petalno zabrzuvawe. Ako drugiot kraj od 
konecot go dr`ime vo raka, toga{ cen-
tripetalnata sila e onaa so koja na{ata 
raka go zategnuva konecot i preku nego 
dejstvuva na top~eto, prinuduvaj}i go da 
se dvi`i po kru`nicata. Me|utoa, i top-
~eto preku konecot dejstvuva na rakata i 
se stremi rakata da ja odvle~e od centa-
rot. Taa sila so koja top~eto dejstvuva na 
rakata se narekuva centrifugalna sila 
c
F (sl. 3.15). Soglasno so Tretiot Wut-
nov zakon, centripetalnata i centrifu-
galnata sila imaat ednakva golemina i 
ist pravec, a se sprotivno naso~eni. 
Centripetalnata sila, kako {to rekov-
me, e naso~ena kon centarot na kru`ni-
cata po koja se dvi`i top~eto, a centri-
fugalnata sila od centarot. Toa zna~i 
deka ravenkata po koja mo`e da se opre-
deli vrednosta na centrifugalnata sila 
e ista so onaa za centripetalna:  
 
r
v
m
F
F
c
r
2
 
 
. (3.20) 
 
Sl. 3.15. Dvi`ewe na top~e po kru`nica 
Iako za Zemjata ~esto se veli deka 
ima forma na topka, vo su{tina taa e 
blago splesnata topka. So precizni me-
rewa e utvrdeno deka Zemjiniot dijame-
tar e za 45 km pogolem na ekvatorot od 
onoj na polovite. Pri~inata za ova 
splesnuvawe e pogolemata vrednost na 
centrifugalnata sila {to dejstvuva na 
ekvatorot od onaa na polovite. Ova mo-

60 
`eme da go ilustrirame so eksperiment 
prika`an na sl. 3.16. Dva metalni obra~i 
se zaka~eni na vertikalna pra~ka ko-
ja{to mo`e da rotira. Obra~ite imaat 
pravilna kru`na forma (a) sè dodeka 
pra~kata ne po~ne da rotira i kaj niv da 
ne se javi deformacija (b). 
 
 
Sl. 3.16. Splesnuvawe na Zemjata se dol`i  
na nejzinata rotacija okolu sopstvenata oska 
Na sl. 3.17 e prika`an sad vo koj 
ima ednakov volumen na `iva i voda. Sa-
dot brzo rotira okolu vertikalna oska. 
Bidej}i toj volumen od `iva ima 13,6 pa-
ti pogolema masa od ist volumen na voda, 
sleduva deka centrifugalnata sila e 13,6 
pati pogolema za `ivata otkolku za vo-
data. Poradi toa `ivata go zafa}a 
nadvore{niot del od sadot, a vodata 
vnatre{niot. Na ovoj princip rabotat 
centrifugite, koi slu`at za odvojuvawe 
materijali so razli~ni gustini. 
 
Sl. 3.17. @ivata i vodata rotiraat vo sad; 
`ivata se nao|a vo nadvore{nosta.  
Centrifugalnata sila e pogolema  
za pogusti supstancii 
Primer 11. Centrifugalna ma{ina 
Centrifugalnite ma{ini, t.e. cen-
trifugite, denes se del od re~isi site 
medicinski i industriski laboratorii i 
se koristat za separirawe (izdvojuvawe) 
na sostavnite ~esti~ki so razli~na masa 
rastvoreni vo te~nosti. Centrifugalna-
ta ma{ina se koristi i za razdvojuvawe 
na smesi od supstancii so razli~na gu-
stina. Isto taka se koristat vo medici-
nata za odvojuvawe na krvnite zrnca od 
plazmata.  
Rabotata na centrifugite e prika-
`ana na sl. 3.18. Materijalot {to se se-
parira se stava vo epruveti i potoa cen-
trifugata se pu{ta da rotira so golema 
brzina. Kako rezulat na pojavata na cen-
trifugalna sila nastanuva raspredelba 
na ~esti~kite po masa, t.e. gustina, i 
onie so pogolema masa pa|aat na dnoto od 
epruvetata.  
 
Sl. 3.18. Centrifugata gi odvojuva crvenite 
krvni zrnca od plazmata  
Vo zavisnost od frekvencijata na 
rotacija, t.e. od brojot na zavrtuvawa vo 
minuta, centrifugite mo`at da bidat 
niskoobrtni i visokoobrtni. Nisko-
obrtnite centrifugi se koristat vo in-
dustrijata za separacija na ~esti~ki vo 
rastvori i vo medicinata (sl. 3.19). Bro-
jot na zavrtuvawa na ovie centrifugi se 
dvi`i pome|u 800 i 6000 zavrtuvawa vo 
minuta.  

61 
 
Sl. 3.19. Fotografija na niskoobrtna  
centrifuga  
Visokoobrtnite centrifugi se na-
rekuvaat i ultracentrifugi i se kori-
stat vo biohemijata za separacija na ras-
tvori od organski supstancii. Brojot na 
zavrtuvawa na ultracentrifugite, vo za-
visnost od nivnata namena, se dvi`i po-
me|u 40 000 i 100 000 zavrtuvawa vo minu-
ta. 
;
Pra{awa i zada~i
 
1. Koja sila e pri~ina za pojava na centrifu-
galnata sila? 
2. Poradi {to se javuva deformacijata na 
sfernata forma na Zemjata? 
3. Avtomobil so masa od 2200 kg vleguva so 
brzina 95 km/h vo krivina so radius 420 m. 
Najdi ja vrednosta na centrifugalnata si-
la {to dejstvuva na avtomobilot vo toj mo-
ment! [Odgovor: 3647,7 N.] 
3.9. WUTNOV ZAKON ZA GRAVITACIJA 
Re~isi sekoj od nas ja ~ul prikaznata 
za toa kako mladiot Isak Wutn, sedej}i 
eden den pod jabolkovo drvo, bil udren 
po glavata od jabolko. Ovaa slu~ka go 
pottiknala Wutn na razmisluvawe za 
dvi`eweto na telata pri slobodno pa|a-
we, za na vozrast od dvaeset i tri godini 
da go postavi zakonot za gravitacija. 
^estopati pogre{no se veli deka 
Wutn ja otkril gravitacijata. Toa {to 
Wutn go otkril bil op{tiot zakon za 
gravitacija, spored koj dve tela me|useb-
no se privlekuvaat so sila {to e pro-
porcionalna na proizvodot od nivnite 
masi i obratnoproporcionalna so kva-
dratot na me|usebnoto rastojanie. Na-
pi{ano algebarski, ovoj zakon glasi: 
 
2
2
1
~
d
m
m
F
.  
(3.21) 
Silite so koi se privlekuvaat dve 
tela so masi m
1
  i  m
2
 na rastojanie  d se 
prika`ani na sl. 3.20.  
 
Sl. 3.20. Gravitaciono privlekuvawe na telo 
so masa m
1
 na drugo telo so masa m
2 

62 
Teloto so masa m
1
 go privlekuva te-
loto so masa m
2
 so sila 
1
F
&
, ednovremeno 
teloto so masa m
2
 go privlekuva teloto 
so masa m
1
 so sila 
2
F
&
. Ovie dve sili se 
ednakvi po golemina, no sprotivni po na-
soka, t.e. F
1
 = F
2
 = F. 
Za da se dobie ravenka, vo zakonot 
za gravitacija se voveduva konstanta na 
proporcionalnost, koja{to ne zavisi od 
prirodata na telata i ima univerzalno 
zna~ewe. Taa se narekuva gravitaciona 
konstanta 
J
. Toga{ zakonot za gravita-
cija mo`e da se napi{e so ravenkata: 
 
2
2
1
d
m
m
F
J
 
.  
(3.22). 
Ako silata F vo Wutnoviot zakon za 
gravitacija se meri vo wutni, masite na 
telata m
1
 i m
2
 vo kilogrami i rastojanie-
to  d vo metri, eksperimentalno presme-
tanata vrednost na gravitacionata kon-
stanta 
J
 iznesuva:  
 
2
3
11
s
kg
m
10
673231
,
6

˜
 
J
.  
(3.23) 
Poradi malata vrednost na gravita-
cionata konstanta 
J
, goleminata na sili-
te na privlekuvawe pome|u telata vo 
prirodata zavisi od goleminata na niv-
nata masa. Imeno, samo kaj nebesnite te-
la, koi{to imaat golemi masi, mo`e da 
se zabele`i vlijanieto na gravitacio-
noto privlekuvawe. 
Vo prirodata site zaemni dejstva po-
me|u telata se ostvaruvaat vo prostorot 
preku  fizi~ki poliwa. Gravitacionoto 
privlekuvawe pome|u telata se ostvaru-
va vo gravitaciono pole, {to sekoe telo 
go sozdava vo prostorot okolu sebe. Spo-
red Wutnoviot zakon za gravitacija go-
leminata na gravitacionoto zaemno 
dejstvo pome|u telata {to se privle-
kuvaat zavisi od goleminata na nivni-
te masi. 
Vo uslovi koga edno telo so te`ina 
mg  se nao|a na povr{inata na Zemjata, 
gravitacionoto zaemno dejstvo pome|u 
nego i Zemjata mo`e da se pretstavi so 
ravenkata: 
 
2
R
mM
mg
J
 
, (3.24) 
kade {to M e masata na Zemjata, a R e nej-
ziniot radius. Od ravenkata (3.24) mo`e-
me da go opredelime Zemjinoto zabrzuva-
we: 
  
2
R
M
g
J
 
. (3.25) 
Ova ravenka uka`uva na faktot deka 
Zemjinoto zabrzuvawe ne zavisi od masa-
ta na teloto.  
Primer 12. Presmetaj ja gravitacio-
nata sila pome|u dve tela so masi od po 
1 kg, koi se nao|aat vo race na ~ovek na 
rastojanie od 10 cm.  
Re{enie: Dadeni se vrednostite za ma-
site na telata m
1
 = m
2
 = 1 kg, rastojanieto 
d = 10 cm pome|u niv i 
J
 = 6,67·10
–11 
2
3
s
kg
m
. 
Tie treba da se zamenat vo ravenkata (3. 
22) za zakonot za gravitacija, pri {to 
dobivame: 

2
11
m
1
,
0
1kg
1kg
s
kg
m
10
67
,
6
2
3
˜
˜
˜
 

F
 
N
10
67
,
6
s
m
 
kg
10
67
,
6
9
2
9


˜
 
˜
 
F
. 
Ovaa sila e premnogu mala za da bide 
po~uvstvuvana od muskulite na racete. 

63 
*Primer 13. Presmetaj ja gravitaci-
onata sila pome|u: a) Zemjata i Mese~i-
nata i b) Sonceto i Zemjata. Masite na 
ovie nebesni tela i rastojanijata me|u 
niv se dadeni na sl. 3.21. 
a) Gravitacionata sila pome|u Zem-
jata i Mese~inata }e ja presmetame od ra-
venkata (3.14) na sli~en na~in kako vo 
prethodnata zada~a: 

2
8
24
22
2
3
11
m
10
84
,
3
kg
10
5,97
kg
10
7,32
s
kg
m
10
67
,
6
˜
˜
˜
˜
˜
˜
 

F
 
19
10
77
,
19
˜
 
F
N.  
b) Gravitacionata sila pome|u Zem-
jata i Sonceto iznesuva: 

2
11
30
24
2
3
11
m
10
3
,
1
kg
10
1,98
kg
10
5,97
s
kg
m
10
67
,
6
˜
˜
˜
˜
˜
˜
 

F
 
N
10
84
,
78
31
˜
 
F
. 
;
Pra{awa i zada~i
 
1. Na koj na~in se ostvaruvaat zaemnite dejs-
tva vo prirodata? 
2. Od {to zavisi goleminata na gravitacio-
noto zaemno dejstvo? 
3. Dve identi~no golemi ~eli~ni topki so 
masi 2˜10
5
 kg se oddale~eni na rastojanie 2 
m. Najdi ja gravitacionata sila na privle-
kuvawe pome|u niv. [Odgovor: 0,667 N.] 
 
Sl. 3.21. Gravitacionata sila ja zadr`uva Mese~inata vo nejzinata orbita okolu Zemjata  
i Zemjata vo nejzinata orbita okolu Sonceto 
3.10. DVI@EWE NA VE[TA^KITE SATELITI  
I KOSMI^KI BRZINI
Koga nekoe vselensko letalo poletu-
va vo orbitata na Zemjata kako satelit, 
po~etniot pravec na poletuvawe e verti-
kalno nagore. Kako {to raketata se odda-
le~uva od Zemjata, mlaznite motori vo 
to~kata  P ja naso~uvaat na traektorija 
{to vo toj moment ima horizontalen vek-
tor na brzina (sl. 3.22). 
]e zamislime deka to~kata P (to~ka 
vo koja raketata dobiva horizontalen 
vektor na brzina) e vrvot na edna kula 
visoka pove}e stotici kilometri od koj 

64 
se lansiraat proektili vo horizontalen 
pravec.