Margarita Ginovska, Hristina Spasevska Nevenka Andonovska

 
6. STATIKA 

94 
 
 
 
 
 
 
 
6.1. Centar na masa ...................................................................................................  
95 
6.2. Uslovi za ramnote`a........................................................................................  
96 
6.3. Lost.......................................................................................................................  99 
6.4. Statika na lokomotorniot sistem................................................................   101 
Rezime .........................................................................................................................  106 

 95 
6.1. CENTAR NA MASA
Centar na masa na edno telo ili si-
stem od tela e to~ka vo odnos na koja 
momentot na sila {to go sozdava vkup-
nata te`ina na teloto e ednakov so mo-
mentot {to go sozdavaat oddelnite 
delovi od teloto ili sistemot. 
Da razgledame dve topki so masi m
1
 i 
m
2
, kako {to e prika`ano na sl. 6.1. Cen-
tarot na masa P le`i na linija {to gi 
povrzuva centrite na dvete tela i se nao-
|a vo takva polo`ba {to va`i uslovot: 
 
2
2
1
1
gr
m
gr
m
 
. (6.1) 
 
Sl. 6.1. Centar na masa na dve tela 
Momentot na sila na edno telo vo 
odnos na koja bilo izbrana to~ka R {to 
le`i vo dadena ramnina se opredeluva so 
silata koja dejstvuva na teloto, vo ovoj 
slu~aj silata na te`inata na teloto, 
pomno`ena so normalnoto rastojanie od 
teloto do ramninata. 
Primer 1. Najdi go centarot na masa 
na dve tela so masi m
1
 = 2 kg i m
2
 = 5 kg 
oddale~eni 14 m. 
Re{enie: Dadeno e rastojanieto me-
|u dvete tela, 
m.
14
2
1
 
 r
r
 Ottuka  mo`e 
da se izrazi rastojanieto r
2
: 
 
1
2
14
r
r

 
. 
Ja zamenuvame vrednosta za 
2
r  vo ra-
venkata (6.1): 
 
2
2
1
1
gr
m
gr
m
 
 
 
)
14
(
5
2
1
1
r
g
gr

 
 
 
1
1
5
70
2
r
r

 
 
 m.
10
1
 
r
 
Centarot na masa za sistem od tri 
tela se dobiva so pro{iruvawe na pret-
hodnata postapka (vidi sl. 6.2).  
 
Sl. 6.2. Metod za nao|awe na centarot na masa 
na sistem od tri tela 
Se izbiraat proizvolno dve od tela-
ta, na primer A i V, i se nao|a nivniot 
centar na masa spored ravenkata (6.1). 
Potoa ovie dve tela se tretiraat kako 
edno telo postaveno vo to~kata R, so ma-
sa m
1 
+ m
2
, a drugoto telo so masa m
3
 e po-
staveno vo to~kata S. So primena na ra-
venkata (6.1) mo`e da se najde rezultant-
niot centar na masa  .
P
c  Ako sistemot se 

96 
sostoi od pogolem broj tela, pove}e od 
tri, gornata postapka se prodol`uva sè 
dodeka ne se vklu~at site masi. 
Centarot na masa za site tela so 
pravilna forma, kako {to se kvadar, 
kocka, topka, kru`en prsten i drugi, se 
nao|a vo nivniot geometriski centar. 
Ramnina {to minuva niz centarot na koe 
bilo od ovie geometriski tela, go deli 
teloto na dva ednakvi dela.  
Da zememe za primer eden tenok pr-
sten so masa M kako onoj prika`an na sl. 
6.3a. So povlekuvawe pravi linii niz ge-
ometriskiot centar vkupnata masa }e se 
podeli na delovi so mali, no ednakvi ma-
si. So ogled na toa {to masite m na sekoj 
par se ednakvo oddale~eni od centarot, 
centarot na masa na prstenot se nao|a vo 
nivnata sredna to~ka R, koja e zaedni~ka 
za site parovi. 
Sli~na postapka mo`e da se primeni 
na dolga tenka pra~ka so ednakov napre-
~en presek. So podelba na pra~kata na 
ednakov broj delovi, kako {to e prika-
`ano na sl. 6.3b, se formiraat parovi od 
ednakvi delovi na ednakvi rastojanija od 
centarot.  
 
Sl. 6.3. Centarot na masa e vo geometriskiot 
centar: a) homogen prsten, b) homogena  
pra~ka 
Bidej}i geometriskiot centar naed-
no e centar na masa za sekoj par, toj isto 
taka e i centar na celata pra~ka. Sega e 
jasno zo{to rastojanijata na sl. 6.1 treba 
da se merat od centrite na topkite; niv-
nite centri se i nivni centri na masa. 
;
Pra{awa i zada~i
 
1. Kade se nao|a centarot na masa kaj telata 
so pravilna geometriska forma? 
2. Dve tela so masi 24 kg i 36 kg se oddale~eni 
8 m. Najdi go nivniot centar na masa! [Od-
govor: 4,8 m; 3,2 m.] 
6.2. USLOVI ZA RAMNOTE@A 
Ako na edno telo dejstvuva vrtliv 
moment koj ne e vo ramnote`a so drug, te-
loto po~nuva da se dvi`i. Toa se javuva 
vo slu~aj koga na telo {to miruva dejst-
vuvaat edna ili pove}e sili, a nivnata 
rezultantna suma e razli~na od nula, ta-
ka {to teloto }e po~ne da se dvi`i. Pod 
vakvi uslovi postoi dejstvo na neuramno-
te`ena (nebalansirana) sila, koja mu da-
va zabrzuvawe na teloto. 
 Me|utoa, ako vektorskata suma na 
site sili koi dejstvuvaat na teloto e nu-
la, teloto se nao|a vo ramnote`a i }e 
ostane da miruva ili da se dvi`i so kon-
stantna brzina.  
Zapomni! Sekoe telo ostanuva vo so-
stojba na miruvawe ili ramnomerno dvi-
`ewe koga rezultantata na site sili 
{to dejstvuvaat na nego e ednakva na 
nula. Toga{ velime deka teloto se nao|a 
vo ramnote`a. 

 97 
Ako na telo koe se nao|a vo ramnote-
`a dejstvuvaat samo dve sili, o~igledno e 
deka mora tie da se ednakvi po golemina, 
a sprotivni po nasoka. Svetilka {to vi-
si od tavanot e dobar primer na dve sili 
vo ramnote`a (sl. 6.4). 
 
Sl. 6.4. Svetilka {to visi na tavanot  
e vo ramnote`a 
Na svetilkata dejstvuvaat dve sili: 
privle~nata sila na Zemjata 
,
G
&
 naso~ena 
nadolu, i silata  ,
T  naso~ena nagore, koja 
se javuva poradi zategnuvawe vo `icata. 
Bidej}i svetilkata e vo ramnote`a, si-
lite se ednakvi po golemina, a sprotivni 
po nasoka. 
Treba da se napomni deka telo {to 
se dvi`i so konstantna brzina se nao|a 
vo ramnote`a i sè dodeka nema zabrzuva-
we ne postoi neuramnote`ena sila. 
Vo igrata „vle~ewe ja`e“, koga dva 
sprotivstaveni tima se vle~at so ednak-
vi no sprotivni sili za kraevite od ja-
`eto, postoi uslov za ramnote`a. Kako 
{to e prika`ano na sl. 6.5, silata F
&
 od 
5.000  N {to dejstvuva na ja`eto nadesno 
od jazolot K e ednakva po golemina no 
sprotivno naso~ena na silata  F
&

od 
5.000 N {to vle~e nalevo. Ako dvete sili 
ne se ednakvi po golemina, nema da po-
stoi ramnote`a i toga{ jazolot K }e se 
pomesti vo nasoka na pogolemata sila.  
 
Sl. 6.5. Silata vo ja`eto e 5.000 N 
Treba da se zabele`i deka vo ramno-
te`en slu~aj zategnuvaweto na ja`eto e 
5.000 N, a ne 10.000 N. Ovoj o~igleden pa-
radoks mo`e da se objasni ako se pretpo-
stavi deka edniot tim go vrzuva svojot 
kraj od ja`eto za kolec. Drugiot tim, sè 
u{te vle~ej}i so negovite 5.000 N, i po-
natamu gi zapazuva istite uslovi na ram-
note`a, pravej}i da se zadr`i istoto za-
tegnuvawe od 5.000 N. Edniot tim mo`e 
da se razgleda kako tim {to go dr`i ja-
`eto, a drugiot kako tim {to go vle~e. 
Ako telo se nao|a vo ramnote`a ka-
ko rezultat na dejstvo na tri sili, rezul-
tantata na site tri mora da bide nula. So 
drugi zborovi, za da bide vo ramnote`a, 
vektorskata suma na trite sili mora da 
bide nula: 
 
¦   0
F
&
. (6.1) 
Ova zna~i deka, ako gi nacrtame vek-
torite vo razmer i gi dademe nivnite so-
odvetni nasoki, }e dobieme zatvoren 
mnoguagolnik. Vo slu~aj na tri sili mno-
guagolnikot e triagolnik.  
Zapomni!  Osnovnite zakoni za stati~-
ka ramnote`a glasat: Edno telo vrz koe 
dejstvuvaat proizvolen broj sili se nao-
|a vo ramnote`a ako vektorskiot zbir 
na site sili e ednakov na nula. 
Ako sekoja od ovie sili se razlo`i 
na komponenti po oskite h i u i se pri-
menat uslovite za ramnote`a, zbirot 

98 
na site komponenti h mora da bide nula 
i zbirot na site komponenti u mora da 
bide nula. Izrazeno so simboli: 
 
¦
  0
x
F
&
,     
¦
  0
y
F
&
. (6.2) 
Ako site sili koi dejstvuvaat na ed-
no telo le`at vo ista ramnina, ispolnu-
vaweto na ovie dva uslova e dovolno za da 
se obezbedi stati~ka ramnote`a. Ovie 
ravenki voobi~aeno se vikaat prv uslov 
za stati~ka ramnote`a
.  
Ako na tvrdo telo dejstvuvaat eden 
ili pove}e vrtlivi momenti, nastojuvaj-
}i da go zavrtat teloto vo edna ili druga 
nasoka, rezultantnata rotacija }e zavisi 
od zbirot na site vrtlivi momenti. Ako 
teloto se nao|a vo ramnote`a, sumata na 
site momenti mora da bide nula: 
 
¦
  0
M
&
. (6.3) 
Ravenkata (6.3) e poznata kako vtor 
uslov za stati~ka ramnote`a.
 
Primer 2. Edna greda so dol`ina 3 m
 
i zanemarliva masa e postavena na krae-
vite na skali (sl. 6.6). Telo so te`ina 
G
&
 = 60 N e postaveno na gredata na rasto-
janie 2,5 m od leviot kraj i 0,5 m od des-
niot kraj. Kolkavi se silite na reakcija 
vo potpornite to~ki? 
Re{enie: Za da se re{i eden stati~-
ki problem, prvo treba da se nacrta dija-
gram na slobodno telo, {to pretstavuva 
dijagram na site sili koi dejstvuvaat na 
teloto, razgleduvaj}i go kako izoliran 
sistem. Od prviot uslov za stati~ka ram-
note`a sleduva: 
.
0
 
6F
&
 
Bidej}i nema sili koi dejstvuvaat po 
oskata  h, t.e. nema vlijanie na tie sili, 
go zapi{uvame uslovot (6.2) vo oblik: 
¦
  0
y
F
&
, 
0
 


G
F
F
D
L
. 
 
Sl. 6.6. 
Vtoriot uslov za ramnote`a (raven-
ka 6.3) se odnesuva na momentite na sila: 
¦
  0
M
&
. 
Oskata vo odnos na koja se presmetu-
vaat momentite mo`e da se izbere proiz-
volno. Vo ovoj slu~aj neka bide vo to~ka-
ta vo koja e postaveno teloto, t.e. vo koja 
dejstvuva te`inata  G
&
, pa zatoa momentot 
{to go sozdava silata na te`inata vo taa 
to~ka }e bide nula. 
0
5
,
2
5
,
0
 

L
D
F
F
 
L
D
F
F
5
 
. 
Ako go zamenime ova vo uslovot za 
silite, dobivame: 
0
5
 


G
F
F
L
L
, 
G
F
L
 
6
, 
N
60
6
 
L
F
, 
N
10
 
L
F
;      
N
50
 
D
F
. 

 99 
Zabele{ka: Istata zada~a mo`e da se re-
{i poednostavno, ako se zeme oskata, vo 
odnos na koja gi presmetuvame momenti-
te, da bide edna od napadnite to~ki na si-
lite 
L
F  i 
D
F . 
Ako zememe, na primer, oskata da bi-
de vo leviot kraj na gredata, ravenkata za 
momentite }e dobie oblik: 
0
m
5
,
2
m
3
 
˜

˜
G
F
D
, 
m
5
,
2
60
m
3
˜
˜
 
˜
N
F
D
, 
m
3
N
150
 
D
F
, 
N.
50
 
D
F
 
;
Pra{awa i zada~i
 
1. Koi se uslovite za stati~ka ramnote`a na 
telata? 
2. Prosta greda so dol`ina 5 m e optovarena 
so telo so te`ina G = 200 N (sl. 6.6). Sila-
ta na reakcija vo potpornata to~ka F
L
 = 40 N. 
Kade treba da bide postaven tegot G za da 
bide sistemot vo stati~ka ramnote`a? 
[Odgovor:  x = 4 m]. Kolkava e silata F
D
 vo 
drugata potporna to~ka? [Odgovor: 160 N.] 
3. Da se opredeli centarot na masa za siste-
mot od dve tela prika`an na sl. 6.1, ako se 
dadeni veli~inite m
1
 = 6 kg, m
2
 = 4 kg, 
AB
 = 
10 m. [Odgovor: r
1
 = 10 m.] 
  
6.3. LOST
Lostot pretstavuva mehani~ki si-
stem na tela vo koj se primenuvaat gore-
navedenite uslovi za stati~ka ramnote-
`a na telata. Lost mo`e da pretstavu-
va sekoe tvrdo telo na koe{to dejstvu-
vaat najmalku dva momenta na sila vo 
odnos na daden centar na rotacija, koj 
le`i na oska. Zna~i, toj pretstavuva eden 
uramnote`en mehani~ki sistem, kade 
vkupnata nadvore{na sila {to dejstvuva 
na sistemot e ednakva na nula. Toa e eden, 
no ne i edinstven uslov za ramnote`a na 
lostot. Vo poseben slu~aj, koga centarot 
na masa se nao|a direktno na potpornata 
to~ka, toga{ treba da bide zadovolen i 
vtoriot uslov na stati~ka ramnote`a, 
odnosno sumata na nadvore{nite momen-
ti na sila {to dejstvuvaat na sistemot 
treba da bide ednakva na nula. 
Principot na rabota na lostot naj-
ednostavno mo`e da se razbere so prime-
rot na edna klackalka. Taa se sostoi od 
edna greda so dol`ina l i masa M, koja gi 
potpira tatkoto i }erkata so masi m
1
 i 
m
2
, soodvetno (sl. 6.7). 
 
Sl. 6.7. Lost kako sistem na ramnote`a 
Potpornata to~ka se nao|a pod cen-
tarot na masa na sistemot, tatkoto se na-
|a na rastojanie d  od centarot na masa, a 
}erkata na rastojanie l od centarot. 

100 
Za da se opredeli kolkava e reakci-
skata sila vo potpornata to~ka, t.e. sila-
ta 
,
N
&
 treba da se navedat site sili koi 
dejstvuvaat na ovoj sistem od tela: toa se 
te`inite na tatkoto i }erkata, 
1
1
g
m
&
 i 
2
2
g
m
&
, koi dejstvuvaat nadolu na gredata, 
i te`inata na samata greda 
g
M
&
. Gledame 
deka centarot na masa na gredata e vo nej-
ziniot geometriski centar, zatoa {to 
gredata e homogena. Bidej}i sistemot se 
nao|a vo stati~ka ramnote`a, sumata na 
site sili koi dejstvuvaat na gredata tre-
ba da bide ednakva na nula. Toa zna~i de-
ka reakciskata sila vo potpornata to~ka 
N
&
 e uramnote`ena so silite {to dejs-
tvuvaat nadolu. Matemati~ki toa se za-
pi{uva vaka: 
 
¦
  0
y
F
&
 (6.4) 
 
0
2
1
 



Mg
g
m
g
m
N
 
 
Mg
g
m
g
m
N


 
2
1
 
Za da najdeme kade treba da sedi tat-
koto za sistemot da bide vo ramnote`a, 
treba da se primeni vtoriot uslov za sta-
ti~ka ramnote`a, t.e. uslovot za momen-
tite. Pritoa mo`e da se vidi deka silata 
g
M
&
 ne sozdava vrtliv moment zatoa {to 
dejstvuva vo samata oska na vrtewe: 
 
¦
  0
M
&
 (6.5) 
 
0
)
(
)
(
2
1
 

l
g
m
d
g
m
 
 
l
m
m
d
1
2
 
. 
Po~nuvaj}i od rabotata na lokomo-
torniot sistem kaj ~ovekot, t.e. dvi`e-
weto na koskite i muskulite, principot 
na koj e zasnovan lostot nao|a golema 
primena vo sekojdnevniot `ivot. Vrz toj 
princip se zasnovani tereziite, prosti-
te ma{ini koi se koristat vo grade`-
ni{tvoto i vo zemjodelstvoto i drugo.  
Primenata na lostovite kaj pro-
stite ma{ini. Lostot naj~esto se kori-
sti za dobivawe mehani~ka rabota od ne-
koj vid raspolo`liva energija, na pri-
mer kaj ma{inite za obrabotka na pred-
meti, mlinovi, tekstilni ma{ini i dru-
gi. Vo osnova tie spa|aat vo grupata pro-
sti ma{ini, koi generalno se zasnovaat 
na slednite fizi~ki principi na rabo-
ta: princip na lost, trkalo, nakloneta 
ramnina, klin, zavrtka itn. Me|utoa, si-
te navedeni prosti ma{ini spored prin-
cipot na rabota mo`at da se svedat na 
lost i nakloneta ramnina. 
Da go razgledame lostot koj slu`i za 
podigawe na tovar, prika`an na sl. 6.8. 
Neka po~etnata polo`ba na metalnata 
pra~ka bide vo AV, pricvrstena vo pot-
pornata to~ka O. Te`inata na pra~kata 
mo`e da se zanemari. 
B
F
&
 e silata protiv 
koja treba da se izvr{i rabota. Toa mo`e 
da bide nekoj tovar koj treba da se podig-
ne ili koja bilo druga sila. Na drugiot 
kraj na {ipkata dejstvuvame so sila 
A
F
&
 
vo to~kata A. Ako se zanemari trieweto, 
mo`e da se zapi{e uslovot za ramnote`a:  
 
OB
AO
B
A
F
F
 
, (6.6) 
od kade {to mo`e da se opredeli odnosot 
na silite, nare~en mehani~ka prednost: 
 
OB
AO
 
A
B
F
F
. (6.7) 
Ova ja dava idealnata mehani~ka 
prednost, zatoa {to realnata sekoga{ e 
pomala poradi triewe vo potpornata 
to~ka ili na drugi mesta. 

 101 
 
Sl. 6.8. Lost kako prosta ma{ina  
za podigawe tovar 
Stepenot na korisno dejstvo 
K
 na 
prostata ma{ina }e go opredelime kako 
odnos na izvr{enata rabota  
B
B
s
F
A
'
 
2
 
vo odnos na vlo`enata rabota 
A
A
s
F
A
'
 
1
, 
 
A
A
B
B
s
F
s
F
A
A
'
˜
'
˜
 
 
1
2
K
. (6.8) 
Od sl. 6.8 mo`e da se vidi deka tri-
agolnicite 
A
OA
c i 
B
OB
c se sli~ni. La-
kovite 
A
A
c  i  B
B
c  mo`at da se razgledu-
vaat pribli`no kako otse~ki, t.e. kako 
dol`ina na patot 
A
s
'  i 
.
B
s
'
Za sli~ni 
triagolnici va`i praviloto deka odnosot 
na stranite od edniot i drugiot triagol-
nik e konstanta: 
OB
AO
s
s
B
A
 
'
'
. 
 
1
1
2
 
˜
 
 
AO
OB
OB
AO
A
A
K
. (6.9) 
Od ravenkata (6.11) sleduva deka:  
 
1
2
A
A
 
. 
Vo vakov idealen slu~aj stepenot na 
korisno dejstvo e 1, {to pretstavuva ne-
gova maksimalna vrednost. Vo realnost 
ne e vozmo`no toa da se postigne, zatoa 
{to vo sistemot na prostata ma{ina se-
koga{ se javuva triewe, taka {to stepe-
not na korisno dejstvo sekoga{ e pomal 
od edinica [
1

K
]. 
;
Pra{awa i zada~i
 
1. [to e lost? Kade se primenuva principot 
na lostot? 
2. Dve deca se ni{aat na klackalka so dol`i-
na na kracite d = 0,9 m i  l = 1,5 m. Ako te-
`inata na ednoto dete e G
1
 = 400 N, kolka-
va treba da bide masata na drugoto dete za 
lostot da bide vo ramnote`a? [Odgovor: 
m
2 
= 30 kg.] 
6.4. STATIKA NA LOKOMOTOREN SISTEM
Mehanika na stapaloto. Kako prak-
ti~en primer za ispolnuvawe na prviot i 
vtoriot uslov za stati~ka ramnote`a }e 
ja razgledame anatomskata gradba na ~o-
vekovoto stapalo (sl. 6.9).  
Pri svivaweto i ispravaweto na ce-
loto stapalo zglobot ja ima ulogata na 
oska na rotacija vo vertikalnata ramni-
na. Vrvot na zglobot (astragalus) e kako 
topka koja vleguva i mo`e slobodno da se 
vrti vo le`i{teto {to go obrazuvaat 

102 
kraevite na koskite na nogata (fibula i ti-
bia). Koga ~ovekot nastojuva da se podigne 
na prsti, silnite muskuli (gastrocnemius 
soleus) {to go formiraat listot na noga-
ta dejstvuvaat kako glavni pridvi`uva-
~i. Zategnuvaweto na ovie muskuli ja po-
dignuva peticata, a stapaloto se svitku-
va vo to~kata S, kade {to koskite (pha-
lanx) na prstite se spojuvaat so koskite 
na stapaloto (metatarsal). 
 
Sl. 6.9. Skelet na potkolenicata i stapaloto. 
Prika`ani se muskulite i tetivata  
{to se aktivni pri dvi`ewe 
Na sl. 6.9 e prika`ano podigaweto 
na prsti kako najednostaven vid na dejs-
tvo na vrtliv moment vo odnos na nepod-
vi`en centar na rotacija S. Horizontal-
niot del AS, {to go pretstavuva skeletot 
na stapaloto od A do S, {ematski e prika-
`an na sl. 6.10. Vertikalniot del BD go 
pretstavuva skeletot na nogata {to go 
potpira teloto. Za da se presmeta silata 
na zategnuvawe {to e potrebna za musku-
lite da go podignat tovarot, delot od 
stapaloto od A do S se crta kako tvrdo 
telo i se prika`uvaat site sili {to 
dejstvuvaat na nego.