Margarita Ginovska, Hristina Spasevska Nevenka Andonovska

§

, 
od koja brzinata v
2
 mo`eme da ja presme-
tame so ravenkata: 
3
3
2
2
2
2
1
2
1
2
10
)
1
,
0
16
,
0
(
10
10
4
2
)
(
)
(
2

˜

˜
˜
˜
 


 
S
S
p
p
v
U
 
m/s
 
5
,
115
2
 
v
. 

124 
Koga od ravenkata (7.20) }e ja pres-
metame brzinata v
1 
= 28,9 m/s, mo`eme da 
zaklu~ime deka nejzinata vrednost e po-
mala od onaa na brzinata v
2
, poradi toa 
{to S
1
 > S
2 
.  
Primer 12.  Potkrevna sila kaj avi-
onskite krila 
Koga avion se dvi`i, strujnite li-
nii na vozduhot pominuvaat pokraj nego-
viot trup i krila. Na sl. 7.23 e prika`an 
izgledot na strujnite linii kaj avion-
skoto krilo. Ako pretpostavime deka 
strujnite linii se dvi`at horizontalno 
pokraj kriloto so brzina 
1
v
*
, naklonot na 
kriloto gi skr{nuva strujnite linii i 
tie sledej}i go negoviot oblik, se dvi-
`at nadolu so brzina 
2
v
*
. 
 
Sl. 7.23. Potkrevna sila  
kaj avionskite krila
 
Kriloto dejstvuva so sila na struj-
nite vozdu{ni linii i gi skr{nuva od 
nivniot pravec. Soglasno so Tretiot 
Wutnov zakon, kako reakcija na taa sila 
se javuva sila 
F
&
so koja strujnite linii 
dejstvuvaat na kriloto. Ovie dve sili 
imaat ista golemina i pravec, no spro-
tivni nasoki. Silata 
F
&
mo`eme da ja 
razlo`ime na dve komponenti, horizon-
talna i vertikalna: 
 
v
h
F
F
F
&
&
&

 
. (7. 
21) 
Vertikalnata komponenta 
v
F
&
 se na-
rekuva potkrevna sila ili aerodinami~-
ka potkrevna sila, a horizontalnata 
komponenta 
h
F
&
 se narekuva sila na  ot-
por. Silata na otpor {to se javuva kaj 
avionskoto krilo zavisi od nekolku fa-
ktori: brzinata na avionot, krivinata 
(oblikot) na negovite krila, nivnata po-
vr{ina i agolot pome|u horizontalata i 
kriloto. Dvi`eweto na kriloto nagore 
se dol`i na efektot {to proizleguva od 
Bernulievata ravenka, spored koja so 
zgolemuvawe na brzinata pritisokot na 
fluidot se namaluva. Vo ovoj slu~aj br-
zinata nad kriloto 
1
v
*
 e pogolema od br-
zinata 
2
v
*
pod kriloto, od {to sleduva de-
ka pritisokot nad kriloto }e bide pomal 
od onoj pod nego. Ovaa razlika vo priti-
socite ovozmo`uva kriloto da se kreva 
nagore. Isto taka, pri zgolemuvawe na 
agolot pome|u kriloto i horizontalata 
mo`e da se javi turbulentno dvi`ewe na 
vozduhot i da predizvika namaluvawe na 
potkrevnata sila. 
Za da se otstrani turbulentnoto dvi-
`ewe na vozduhot pri dvi`ewe na avio-
nite, no i na torpedata, brodovite i avto-
mobilite, tie se pravat so aerodinami~-
ka forma. Toa go namaluva otporot i se 
dobiva pogolema brzina so ist potisok 
na propelerite, odnosno motorite. 
Eksperimentiraweto so modeli na 
avioni i avtomobili (vidi sl. 7.16) vo 
vozdu{nite tuneli se vr{i za da se ispi-
ta aerodinami~kiot oblik, t.e. formata 
na vozdu{nite strujni linii koga tie se 
dvi`at. 

125 
Primer 13. Pulverzator 
Postojat golem broj uredi {to rabo-
tat na principot na promena na brzinata 
na istekuvawe na fluid kako rezultat na 
promena vo pritisocite. Najosnoven mo-
del na takov ured e pulverzatorot (sl. 
7.24). 
 
Sl. 7.24. Pulverzator
 
So pomo{ na gumena pumpa pritiso-
kot vo horizontalnata cevka 1 se namalu-
va do vrednost pribli`na na vakuum. 
Spored uslovot {to sleduva od Bernuli-
evata ravenka: namaluvaweto na priti-
sokot vo cevka predizvikuva zgolemuva-
ne na brzinata na fluidot, vo vertikal-
nata cevka 2 }e se zgolemi brzinata na 
dvi`eweto na te~nosta. Poradi toa te~-
nosta od ~a{ata istekuva so golema brzi-
na niz otvorot vo forma na sprej. Na ovoj 
princip rabotat pove}eto pumpi kaj par-
femskite i drugi {i{enca.  
;
Pra{awa i zada~i
 
1. Pri koi uslovi od Bernulievata ravenka 
se dobiva Tori~elievata ravenka? 
2. Koja cevka se narekuva Venturieva? 
3. [to se slu~uva so brzinata pri zgolemuva-
we na pritisokot vo cevkata?  
7.7. VISKOZNOST NA FLUIDITE 
Vo poglavjeto 7.4 koga zboruvavme za 
struewe na fluidite, rekovme deka kaj 
realnite fluidi, t.e. onie {to postojat 
vo prirodata, se javuva viskoznost. Vi-
skoznosta na fluidite ja definiravme 
kako vnatre{no triewe pome|u sloevite 
od fluidot ili kako otpor pome|u dva 
sosedni sloja od fluidot {to se dvi`at 
eden vo odnos na drug. Bidej}i viskoznos-
ta na gasovite e mnogu mala, nie }e se za-
dr`ime na razgleduvaweto na viskozno-
sta na te~nostite. Objasnuvawe na ovie 
fenomeni dal Wutn, spored koj triewe-
to pome|u sloevite od fluidot mo`e 
da se tretira analogno so trieweto na 
tvrdite tela vo mehanikata. Ako po-
me|u dve stakleni plo~i stavime nekoja 
te~nost, pri pridvi`uvawe na gornata 
plo~a sloevite od te~nosta }e imaat raz-
li~ni brzini (sl. 7.25). Najgolema brzina 
}e ima slojot {to se nao|a najblisku do 
gornata povr{ina, a najmala slojot do 
dolnata povr{ina. Toa zna~i deka pome-
|u sekoj sloj od te~nosta se javuva rela-
tivno dvi`ewe na sosednite sloevi, {to 
predizvikuva i nivno me|usebno triewe. 
Rezultatite od eksperimentalnite mere-
wa poka`uvaat deka silata na triewe 
F
&
 
pome|u sloevite e pravoproporcionalna 
so povr{inata S na sloevite i gradien-
tot na brzina 
x
v
'
'
. Gradientot na brzina 
pretstavuva odnos od promenata na brzi-
nata i promenata na rastojanieto na koe 
taa se meri.  

126 
 
Sl. 7.25. Viskozno triewe na sloevi  
od fluid
 
Soglasno so gorenavedenite ekspe-
rimentalni rezultati, Wutnoviot zakon 
za silata na triewe vo fluidite e daden 
so ravenkata: 
 
x
v
S
F
'
'
 
K
,  
(7.22)  
kade {to koeficientot na proporcio-
nalnost 
K
 se narekuva dinami~ka viskoz-
nost, ili samo viskoznost, i zavisi od 
prirodata na fluidot. Odnosot na 
K
 i gu-
stinata 
U
 na fluidot se narekuva kine-
mati~ka viskoznost (
K
 /
U
). 
 
Primer 14. Presmetaj go gradientot 
na brzina od sl. 7.23, ako rastojanieto  
x
3
 – x
2
 = 1  mm,  a brzinite v
2
 = 0,3 m/s i  
v
3
 = 0,5 m/s.  
Re{enie- Gradientot na brzina mo-
`eme da go presmetame od ravenkata: 
 
2
3
2
3
x
x
v
v
x
v


 
'
'
. 
Ako gi zamenime vrednostite na po-
znatite veli~ini, dobivame: 
 
1
s
 
20
m
 
001
,
0
m/s
 
3
0
,
0
m/s
 
05
,
0

 

 
'
'
x
v
. 
Viskoznosta na te~nostite se nama-
luva so zgolemuvawe na nivnata tempera-
tura, za razlika od gasovite, kaj koi vi-
skoznosta se zgolemuva. Toa se slu~uva 
poradi zgolemuvawe na haoti~noto dvi-
`ewe na molekulite od gasot, {to nie }e 
go razgleduvame vo glavata 8. 
Silite na viskozno triewe se mnogu 
pomali od silite na triewe pri lizgawe 
kaj tvrdite tela. Zatoa kaj golem broj ma-
{ini, koga treba da se namali trieweto 
na nivnite delovi, pome|u tie delovi se 
stava sloj od viskozna te~nost. 
Primer 15.  Te~ewe na viskozni te~-
nosti 
Vo poglavjeto 7.4 isto taka spomnav-
me deka dvi`eweto na fluidite mo`e da 
bite laminarno (stacionarno) ili tur-
bulentno (nestacionarno). Preminot od 
eden vo drug tip dvi`ewe, kako {to ve}e 
spomnavme, e povrzan so brzinata na te-
~ewe ili so dimenziite na napre~niot 
presek na cevkata. Angliskiot nau~nik 
Rejnolds (Reynolds) utvrdil kriterium, 
nare~en Rejnoldsov broj Re, spored koj se 
opredeluva karakterot na dvi`eweto na 
fluidite. Rejnoldsoviot broj e daden so 
ravenkata: 
 
K
U
d
v
 
Re
,  
(7. 23) 
kade {to 
U
 e gustina na fluidot, v e ne-
gova brzina, d e dijametar na napre~niot 
presek na cevkata, a 
K
 e dinami~ka vis-
koznost. Rejnoldsoviot broj se opredelu-
va eksperimentalno i negovata grani~na 
vrednost za mazni cevki iznesuva 1160. 
Pri pogolemi vrednosti od grani~nata 
dvi`eweto na fluidot pominuva vo tur-
bulentno. 
Zavisnosta na protokot kaj lami-
narnoto dvi`ewe na viskozni te~nosti 

127 
vo cevki, vo zavisnost od pritisokot {to 
se javuva vo niv, e definirana so zakon 
na Poazej (Jean Poiseuille, 1797–1869). Spo-
red nego protokot Q niz cevkata zavisi 
od razlikata na pritisocite {to po-
stojat vo dvata kraja na cevkata, nejzini-
ot radius r i dol`ina l, kako i od viskoz-
nosta na fluidot 
K
. Ili napi{ano so ra-
venka: 
 
l
p
p
r
Q
K
S
8
)
(
2
1
4

 
. (7.24) 
Priborite {to slu`at za merewe na 
viskoznosta na te~nostite se narekuvaat 
viskozimetri. Viskozimetarot koj ja me-
ri viskoznosta na te~nosta koristej}i go 
Poazejoviot zakon se narekuva Osvaldov 
viskozimetar (sl. 7.26). 
 
 
Sl. 7.26. Osvaldov viskozimetar
 
Merewata se vr{at so sporedba na 
vremeto na istekuvawe t
2
 na opredelen 
volumen te~nost so nepoznata viskoznost 
K
2
 i vremeto na istekuvawe Ft na te~nost 
so poznata viskoznost 
K
1
. Ako se znaat gu-
stinite na te~nostite 
U
2
 i 
U
1
, soodvetno, 
viskoznosta 
K
2
 mo`e da ja opredelime od 
ravenkata: 
 
1
1
2
2
1
2
t
t
U
U
K
K
 
.  
(7.25) 
Primer 16. Dvi`ewe na tvrdi tela 
vo viskozna te~nost 
Pri razgleduvaweto na potkrevnata 
sila kaj avionskite krila vo poglavjeto 
7.6 ka`avme deka otporot na sredinata 
vsu{nost pretstavuva sila na triewe po-
me|u teloto i fluidot. Taa sila se javuva 
ne samo kako rezultat na trieweto pome-
|u povr{inata na teloto i fluidot, tuku 
i poradi toa {to pri dvi`eweto teloto 
povlekuva so sebe sloevi od fluidot. To-
ga{ silata na triewe e rezultat na dvi-
`eweto na teloto i sloevite od fluid 
okolu nego.  
Za ramnomerno dvi`ewe na topka vo 
nekoja viskozna sredina va`i Stoksovi-
ot zakon (George Stokes, 1819–1900), koj se 
pretstavuva so ravenkata: 
 
v
r
F
K
S
6
 
, (7. 
26) 
kade {to F e Stoksova sila, 
K
  e koefi-
cient na viskoznost na fluidot, v e brzi-
na na topkata, a r e nejzin radius. Stokso-
vata sila dejstvuva sekoga{ sprotivno od 
nasokata na dvi`ewe na teloto. So zgo-
lemuvawe na brzinata na dvi`ewe na te-
lata postoi mo`nost za pojava na turbu-
lentno dvi`ewe. 
Pojavata na turbulencija vo golema 
mera zavisi i od formata na teloto. Na 
sl. 7.27 se prika`ani tri tela so razli-
~en oblik. [to mo`eme da zaklu~ime od 
nivnoto dvi`ewe vo fluidot?  

128 
 
Sl. 7.27. Dvi`ewe na tela  
vo viskozen fluid
 
Primer 17. Fizi~ki model na krvni-
ot sistem 
Krvniot sistem kaj ~ovekot se so-
stoi od golem broj krvni sadovi so raz-
li~na dol`ina i debelina. Sekoj krven 
sad, nezavisno od negovite dimenzii, mo-
`e da se sporedi so cevka niz koja te~e 
fluid. Spored toa, fizi~ki model, so koj 
}e mo`eme na ednostaven na~in da go ob-
jasnime dvi`eweto na krvta vo krvnite sa-
dovi, e sistem od ogromen broj svrzani cev-
ki so razli~en napre~en presek.  
Dvi`eweto na krvta vo krvnite sado-
vi, spored Bernulievata ravenka (7.17), se 
dol`i na razlikata vo pritisocite na 
po~etokot i krajot na sekoj krven sad. 
Razlikata na pritisocite vo krvniot 
sistem se javuva kako rezultat na rabo-
tata na srceto.  
Bidej}i krvta pretstavuva viskozna 
te~nost (fluid), za nejzinoto laminarno 
dvi`ewe niz krvnite sadovi }e va`i za-
konot na Poazej (ravenka 7.24), spored 
koj  protokot na krvta Q niz krvnite 
sadovi e proporcionalen so razlikata 
na pritisocite {to postojat vo dva-
ta kraja od krvnite sadovi, nivniot ra-
dius  r, a obratnoproporcionalen so 
nivnata dol`ina l i viskoznosta na kr-
vta 
K
:  
 
l
p
p
r
Q
K
S
8
)
(
2
1
4

 
, 
Od golemo zna~ewe za zdravjeto na 
~ovekot e mereweto na krvniot pritisok. 
Postojat dva tipa metodi za merewe na 
krvniot pritisok: direkten i indirekten. 
Direktniot metod e nehuman i se prime-
nuva samo pri eksperimentirawe so `i-
votni. Poradi toa vo sekojdnevnata medi-
cinska praksa se koristat indirektni 
metodi. Najpopularen na~in e so slu{a-
we na zvu~nite signali vo krvnite sado-
vi (onie {to se nao|aat vo levata nad-
laktnica) so stetoskop.  
Pojavata na zvu~ni signali vo krvni-
ot sad se javuva poradi promenata na dvi-
`eweto na krvta od stacionarno (lami-
narno) vo turbulentno. Kriteriumot spo-
red koj krvta od stacionarno }e premine 
vo turbulentno dvi`ewe e Rejnoldsovi-
ot broj Re, opredelen so ravenkata (7.23): 
 
K
U
d
v
 
Re
, 
kade {to 
U
  e gustina na krvta, v e nejzina 
brzina, d e dijametar na napre~en presek 
na krvniot sad, a 
K
 e dinami~ka viskoz-
nost. Za krvta grani~na vrednost na Rej-
noldsoviot broj Re
G
 iznesuva okolu 2000. 
Toa zna~i deka, ako na nekoj na~in se zgo-
lemi brzinata na dvi`eweto na krvta, }e 
se zgolemi i Re, a nejzinoto dvi`ewe od 
stacionarno }e premine vo turbulentno.  
Voobi~aen na~in za predizvikuvawe 
turbuletno dvi`ewe vo krvta e zatvora-
we na krvniot sad {to se nao|a na levata 

129 
nadlaktnica so pomo{ na vozdu{no perni-
~e okolu rakata. Toga{ vo dolniot del od 
krvniot sad ne protekuva krv, ne se slu{a 
zvu~en signal i pritisokot vo perni~eto 
se izedna~uva so sistolniot pritisok 
(pritisok vo krvnite sadovi pri kontrak-
cija na srceviot muskul). Koga vozdu{no-
to perni~e }e se olabavi, krvta po~nuva 
da se dvi`i niz krvniot sad so golema br-
zina, predizvikuvaj}i turbulencii (Re  > 
Re
G
) koi se prosledeni so zvu~ni impulsi. 
Vrednosta na pritisokot ot~itan so mano-
metar vo momentot na pojavata na ovie sig-
nali go dava sistolniot pritisok. 
Prestanuvaweto na zvu~nite signali 
(Re  < Re
G
) e povrzano so prestanuvaweto 
na dejstvoto na vozdu{noto perni~e i 
vra}aweto na krvniot sad vo normalna 
sostojba. Vo toj moment na manometarot 
se ot~ituva dijastolniot krven pritisok 
(pritisok vo krvnite sadovi pri opu{ta-
we na srceviot muskul). 
;
Pra{awa i zada~i
 
1. Od {to zavisi pojava na turbulencii kaj 
viskozni fluidi? 
2. So koja naprava se meri viskoznosta na 
te~nostite? 
3. Koi sili dejstvuvaat na top~e {to se dvi-
`i vo fluid so postojana brzina vo zavis-
nost od nasokata na dvi`ewe. 
4. Presmetaj go Rejnoldsoviot broj za voda 
{to se dvi`i vo cevka so dijametar 3 mm 
so brzina 0,2 m/s. Viskoznosta na vodata 
iznesuva 0,1˜10
3
 Pa s. [Odgovor: 6000.]  
7.8. POVR[INSKI NAPON 
Iako te~nostite i gasovite poradi 
pove}e sli~ni svojstva so zaedni~ko ime 
gi narekovme fluidi, sepak tie me|useb-
no se razlikuvaat. Edna od razlikite e 
formirweto slobodna povr{ina od stra-
na na te~nostite i pojavata na povr{in-
ski efekti. Ovie svojstva na te~nostite 
se dol`at na nivnata specifi~na mole-
kularna gradba, {to gi pravi razli~ni i 
od gasovite i od tvrdite tela. No sepak, 
objasnuvaweto na ovie svojstva preku mo-
lekularnata gradba na te~nostite pret-
stavuva mnogu slo`en problem. Zatoa na-
{a zada~a }e bide na ednostaven na~in da 
ja razgledame strukturata na te~nostite 
na molekularno nivo. 
Za razlika od gasovite, molekulite 
kaj te~nostite se nao|aat na mali rasto-
janija od red na golemina na dimenziite 
na molekulite. Toa se potvrduva so fak-
tot deka te~nostite mnogu malku go me-
nuvaat svojot volumen pod dejstvo na pri-
tisok. So ova svojstvo te~nostite se pri-
bli`uvaat kon tvrdite tela. Malite ras-
tojanija pome|u molekulite vo te~nosta 
ovozmo`uvaat pojava na me|umolekular-
ni sili so golem intenzitet. Taka sekoj 
molekul od te~nosta okolu sebe formira 
sferna okolina na dejstvo vo koja se 
~uvstvuva negovoto vlijanie. Ovaa oko-
lina se narekuva sfera na me|umoleku-
larno dejstvo. Nejzinata golemina izne-
suva okolu 10

9 
m.  
Objasnuvaweto na povr{inskite efek-
ti kaj te~nostite mo`e da se napravi na 
ednostaven na~in preku razgleduvawe na 
svojstvata na molekulite {to se nao|aat 
na povr{inata od te~nosta (sl. 7.28). Od-
nosno, koja e razlikata pome|u sferite 
na me|umolekularno dejstvo na moleku-
lite {to se no|aat vo vnatre{nosta na 
te~nosta i na povr{inata. 

130 
 
7.28. Povr{inski napon 
Ako pretpostavime deka molekulite 
od te~nosta vo vnatr{nosta se opkru`e-
ni od site strani so drugi molekuli, sle-
duva deka nivnite zaemni dejstva se uram-
note`uvaat. Takov e slu~ajot so moleku-
lot 1. No kaj molekulite {to se na povr-
{inata od te~nosta (molekulite 2 i 3) 
del od nivnite sferi na me|umolekular-
no dejstvo se nad povr{inata na te~nos-
ta. Poradi toa kaj niv nastanuva samo de-
lumno uramnote`uvawe na zaemnite dejs-
tva so drugite molekuli a “ostatokot” se 
manifestira kako potencijalna energija 
na molekulite. Kolkava }e bide nivnata 
potencijalna energija zavisi od toa 
kolkav del od sferata na me|umoleku-
larnoto dejstvo e nad povr{inata na 
te~nosta, t.e. pogolem “ostatok” se ma-
nifestira so pogolema potencijalna 
energija. Potencijalnata energija {to ja 
imaat molekulite od povr{inata na te~-
nosta se narekuva povr{inska energija E. 
Taa e proporcionalna so plo{tinata na 
grani~nata povr{ina na te~nosta: 
 
S
E
D
 
. (7.27) 
kade {to 
D
 pretstavuva koeficient na 
proporcionalnost i se narekuva koefi-
cinet na povr{inski napon. Edinica za 
koeficient na povr{inski napon vo SI-
sistemot sleduva od ravenkata (7.27) i iz-
nesuva 1 J/m
2
, no vo praksa ~esto se kori-
sti i edinicata 1 N/m. 
Koga na te~nosta ne dejstvuvaat 
nadvore{ni sili, taa se stremi da ima 
najmala mo`na energija. Toa mo`e da se 
ostvari ako taa zafati najmala mo`na 
povr{ina, bidej}i toga{ najmalku mole-
kuli od nea }e bidat na povr{inata. Vo 
prirodata opredelen volumen ima najma-
la povr{ina ako e vo forma na sfera. 
Zatoa site te~nosti koga ne se pod vlija-
nie na nadvore{ni sili se stremat kon 
sferna forma (na primer kapki do`d, 
kapki voda vo beste`inska sostojba vo 
kabinite na satelitite i drugo).  
Povr{inskata energija kaj te~no-
sta e mera za rabotata {to ja vr{i 
te~nosta za da zafati najmala mo`na 
povr{ina. Spored toa, rabotata {to ja 
vr{i te~nosta, soglasno so ravenkata 
(7.27), mo`eme da ja dademe so ravenkata: 
 
S
E
A
D
 
 
. (7.28) 
Silata pod ~ie dejstvo se vr{i ovaa 
rabota se narekuva sila na povr{inski 
napon. Nea mo`eme da ja opredelime so 
izedna~uvawe na ravenkata za rabota 
A = F l i ravenkata (7.28), pod pretpostav-
ka deka povr{inata iznesuva S = l x: 
 
S
l
F
D
 
    ili     
x
F
D
 
. (7.29) 
Najednostaven eksperiment so koj 
mo`e da se potvrdi deka te~nostite ja za-
fa}aat najmalata mo`na povr{ina e 
sledniot: na kru`na ramka od tenka `ica 
se vrzuva konec kako na sl. 7.29. 
 
Sl. 7.29. Membrana od sapunica se stremi  
da ima najmala povr{ina 

131 
So potopuvawe na ramkata vo sapu-
nica na nea }e se formira membrana. 
Ako membranata od ednata strana na ko-
necot ja dupneme, ostanatiot del od nea 
}e go postavi konecot vo takva polo`ba 
vo koja taa }e ima najmala povr{ina. 
Supstanciite koi go namaluvaat po-
vr{inskiot napon se narekuvaat povr-
{inski aktivni supstancii. Takva sup-
stancija e sapunot, koj go namaluva koe-
ficientot na povr{inski napon na voda-
ta za desetina pati.  
;