Massalar markazining harakati haqidagi teorema

Sistemaning harakat miqdori.

288 shakl.
Sistemaning harakat miqdori deb, sistema nuqtalari harakat miqdorlarining geometrik yig`indisi (bosh vektori)ga teng bo`lgan, -vektorga aytiladi (288 shakl): = (18) Ushbu ifodadan foydalangan holda, -ning qiymatini bir muncha oson yo`l bilan aniqlaydigan formulani keltirib chiqaramiz, va uning mazmunini yoritib beramiz. (1`) tenglikdan, =M _S Bu tenglikning ikkala tomonidan vaqt bo`yicha hosila olsak, m<sub>k</sub> =M yoki = M <sub>S</sub> Bundan, oxirgi natijani olamiz, ya`ni, = M _S (19) ya`ni, sistemaning harakat miqdori, sistemaning butun massasini uning massasi markazining tezlik vektoriga ko`paytmasiga teng ekan. Bu formula, qattiq jismlarning harakat miqdorlarini aniqlashda juda qo`l keladi. (19) formuladan ko`rinib turibdiki, agar jism (yoki sistema)ning harakatida, uning massasini markazi qo`zg`almas bo`lsa, u holda jismning (sistemaning) harakat miqdori nolga teng bo`lar ekan. Masalan, massa markazidan o`tuvchi qo`zg`almas o`q atrofida aylanma harakat qilayotgan jismning harakat miqdori nolga teng bo`lar ekan.
Agar harakat murakkab bo`lsa, sistemaning harakat miqdori , uning aylanma harakatiga bog`liq bo`lmas ekan. Masalan, dumalab ketayotgan g`ildirakning harakat miqdori =M <sub>S</sub> -ga teng bo`lib, g`ildirakning massa markazi S atrofidagi harakatiga (masalan, g`ildirakning sirpanishiga ham, sirpanmay sof dumalayotganligiga ham-tarj) bog`liq bo`lmas ekan.
Shunday qilib, harakat miqdorini sistema (jism)ning faqat ilgarilanma harakatining xarakteristikasi deb qarash lozim ekan. Murakkab harakatda esa, uning massa markazi bilan birgalikdagi ilgarilanma harakatining xarakteristikasidan iborat ekan xolos.
Harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teorema.
N -ta moddiy nuqtalardan tashkil topgan mexanik sistemani olib ko`raylik. Bunday sistemaning harakatini (13) differentsial tenglamalarini tuzaylik va ularni hadma-had qo`shaylik. Natijada: m<sub>k k</sub>= + Ichki kuchlarning xossasiga binoan oxirgi yig`indi nolga teng bo`ladi. Undan tashqari: m<sub>k k</sub>= =
bundan oxirgi natijani olamiz, = (20)
(20) formula, sistema harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teoremaning differentsial formasini ifodalaydi: sistemaning harakat miqdoridan vaqt bo`yicha olingan birinchi hosila, sistemaga ta`sir etuvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig`indisiga teng ekan. Koordinata o`qlaridagi proektsiyalari quyidagicha bo`ladi: = , = , = . (20`)
Teoremaning boshqacha ifodasini aniqlaymiz. Faraz qilaylik, th0 da sistemaning harakat miqdori Q₀ bo`lsin, tht<sub>1</sub> da Q<sub>1</sub> bo`lsin. U holda (20) tenglamaning ikkala tomonini dt-ga ko`paytirib, so`ngra integrallasak: ₁ - ₀= yoki ₁ - ₀= (21) chunki, yuqoridagi tenglamaning o`ng tomonidagi integrallar, tashqi kuchlarning impulslaridan iborat.
(21) vektor tenglama, sistema harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teoremaning integral formasini ifodalaydi: sistemag harakat miqdorining ma`lum vaqt oralig`idagi o`zgarishi, shu vaqt oralig`ida sistemaga ta`sir etgan tashqi kuchlarning impulslarini geometrik yig`iindisiga teng ekan. Koordinata o`qlaridagi proektsiyalari quyidagicha bo`ladi: Q_1x-Q_0x= , Q_1y-Q_0y= , Q_1z-Q_0z= (21`) Ushbu teorema bilan massalar markazining harakati haqidagi teoremaning orasidagi bog`liqlikni ko`rsatib o`tamiz. = M _S bo`lgani uchun, bu qiymatni (20) tenglamaga qo`ysak va d _S/dt= _C -ekanligini e`tiborga olsak, M <sub>C</sub>= bo`ladi, ya`ni (16) formula kelib chiqadi.
Demak, massalar markazining harakati haqidagi teorema va harakat miqdorining o`zgarishi haqidagi teorema, aslida bitta teoremaning turli ko`rinishlarini ifoda etar ekan. Qattiq jismning (yoki jismlar sistemasining) harakatini o`rganish hollarida, ushbu teoremalarning ixtiyoriy ko`rinishlaridan foydalanish mumkin bo`ladi, lekin (16) formuladan foydalanish qulayroq hisoblanadi.
Uzluksiz muhit (suyuqlik, gaz) uchun, amalda harakat miqdorining o`zgarish teoremasidan foydalaniladi. Ushbu teorema, zarba nazariyasiga oid (XXXI Bob) va reaktiv harakatlarga oid (§114 ga qarang)masalalarni echishda muhim ahamiyatga ega.
Teoremaning amaliy muhim ahamiyati shundaki, uning yordamida oldindan noma`lum bo`lgan ichki kuchlarni (masalan, suyuqlik zarrachalarining o`zaro bosim kuchlarini) tenglamalardan chiqarib yuborishga yordam beradi.