Масъул муҳаррир: Файзиев Шохруд Фармонович, ю ф. д., доцент
Download 4.72 Mb. Pdf ko'rish
|
17.Fizika-matematika
|
ANIQ INTEGRAL TADBIQLARI
Najmiddinova Shahnavoz Namangan viloyati Norin tumani20-maktab shahnavoznajmiddinova@gmail.come Telefon: +998999171997 248 17 2)𝑑𝑥 = �− � � � − � � � + 2𝑥�� �� � = � � − �− �� � � = 4,5. Javob: S=4,5 (kv.birlik). ▲ Aylanish jismlarining hajmini hisoblash Egri chiziqli trapetsiyani Ox o‘qi atrofida aylantirish natijasida hosil bo‘ladigan jismning hajmi 𝑉 = 𝜋 � 𝑓 � (𝑥)𝑑𝑥 � � (2) formula bilan hisoblanishini isbotlash mumkin. 3-rasm Bu formuladan f(x) ni tanlash hisobiga kesik konus, konus, silindr, shar, shar segmenti hajmlarini osonlikcha topsa bo‘ladi. Konusning hajmi. Bu holda AB=R, OB=H deb olamiz (4- rasm). OA tog‘ri chiziq tenglamasi 𝑦 = � � 𝑥 ekanligi ravshan. U holda (2) formulaga muvofiq 4-rasm 𝑉 ����� = 𝜋 �( 𝑅 𝐻 𝑥) � 𝑑𝑥 = 𝜋 𝑅 � 3𝐻 � 𝑥 � � � � = 𝜋 𝑅 � 3𝐻 � (𝐻 � − 0) = 1 3 𝜋𝑅 � 𝐻 � � Demak, 𝑉 ����� = � � 𝜋𝑅 � 𝐻. Kesik konusning hajmi. 𝐴𝐵 kesmani 𝑂𝑥 o‘qi atrofida aylantirishdan kesik konus hosil bo‘ladi. 𝐴𝑂 = 𝑟, 𝐵𝐷 = 𝑅, 𝑂𝐷 = 𝐻 deylik (5- rasm). А𝐵 to‘g‘ri chiziqning tenglamasi 𝑦 = ��� � 𝑥 + 𝑟ekani ravshan. Demak, 𝑎 = 0, 𝑏 = 𝐻, 𝑓(𝑥) = ��� � 𝑥 + 𝑟. U holda (2) formulaga muvofiq 5- rasm 𝑉 �.����� = 𝜋 ∙ � � 𝑅 − 𝑟 𝐻 𝑥 + 𝑟� � 𝑑𝑥 � � = 𝜋 3 ∙ 𝐻 𝑅 − 𝑟 ∙ �� 𝑅 − 𝑟 𝐻 𝑥 + 𝑟� � �� � � = 𝜋 3 ∙ 𝐻 𝑅 − 𝑟 ∙ (𝑅 � − 𝑟 � ) = 𝜋 3 ∙ 𝐻 ∙ (𝑅 � + 𝑅𝑟 + 𝑟 � ). Shunday qilib, kesik konusning hajmi: 𝑉 = � � ∙ (𝑅 � + 𝑅𝑟 + 𝑟 � )𝐻. Bundan 𝐴𝑂 = 𝑟 = 0 bo’lsa, konus hajmi formulasini olamiz. 249 17 Sharning hajmi. Radiusi 𝑅, markazi (𝑅; 𝑂) nuqtada bo‘lgan doiraning chorak qismini 𝑂𝑥o‘qi atrofida aylantirishdan(6-rasm) hosil qilinadigan shakl sharning yarmidir. Bizning holda mos aylana tenglamasi �𝑥 – 𝑅� � + 𝑦 � = 𝑅 � bo‘ladi, bundan 𝑦 = √2𝑅𝑥 − 𝑥 � , 𝑥 ∈ [0; 𝑅] 6-rasm (2) formulaga ko’ra � � 𝑉 ���� = 𝜋 ∙ ∫ (2𝑅𝑥 − 𝑥 � )𝑑𝑥 = 𝜋 ∙ �𝑅𝑥 � − � � � �� � � = � � 𝜋𝑅 � � � , demak, 𝑉 ���� = � � 𝜋𝑅 � . Shar segmentining hajmi. 6-rasmda 𝑂𝐴 = 𝑅, 𝑂 � 𝐴 = 𝐻 (segmentning balandligi) bo‘lsin. Doira segmentini uning balandligi atrofida aylanishidan shar segmenti hosil bo‘ladi(7-rasm.) Shar segmentining hajmini hisoblash shar hajmini topish kabi bo‘ladi, bu holda integrallash [0; 𝐻] kesma bo‘yicha bajariladi: 7-rasm 𝑉 ������� = 𝜋 ∙ �(2𝑅𝑥 − 𝑥 � )𝑑𝑥 = 𝜋 ∙ �𝑅𝑥 � − 𝑥 � 3 �� � � = 𝜋 ∙ (𝑅𝐻 � − 1 3 𝐻 � � � Demak, 𝑉 ������� = � � 𝜋 ∙ 𝐻 � ∙ (3𝑅 − 𝐻). Silindrning hajmi . 𝑂𝑥 o‘qqa parallel 𝐴𝐵 kesmani Ox o‘q atrofida aylantirishdan hosil bo‘ladigan shakl silindr bo‘ladi. 𝐴𝐵 = 𝑂𝐶 = 𝐻, 𝑂𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝑅bo‘lsin (8-rasm). 𝐴𝐵 to‘g‘ri chiziq tenglamasi 𝑦 = 𝑅ekani ravshan, 𝑥 ∈ [0; 𝐻]. U holda (2) formulaga ko‘ra, 𝑉 ������� = 𝜋 ∙ ∫ 𝑅 � 𝑑𝑥 = 𝜋𝑅 � 𝑥| � � = 𝜋𝑅 � ∙ (𝐻 − 0) � � = 𝜋𝑅 � 𝐻. Demak, 𝑉 ������� = 𝜋𝑅 � 𝐻 8-rasm Nega aylanish 𝑂𝑥 o‘qi atrofida bo‘lishi kerak? Aylanish 𝑂𝑦 atrofida bo‘lsachi? Bunday savolni qo‘yish tabiiy. Yuqoridan uzluksiz 𝑦 = 𝑓(𝑥) funksiya grafigi, pastdan 𝑂𝑥 o‘qi, chap va o‘ngdan, mos ravishda, 𝑥 = 𝑎 va 𝑥 = 𝑏 vertikal chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning 𝑂𝑦 o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘ladigan jismning hajmi 𝑉 = 2𝜋 ∙ ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 � � ( 3 ) formula bilan hisoblanishini isbotlash mumkin. Kuchning bajargan ishini hisoblash. Vintsimon prujinaning bir uchi mustahkamlangan, ikkinchi uchiga esa 𝐹 = 𝐹(𝑥) kuch ta’sir etib, prujinani siqadi, deylik (9-rasm). Guk qonuniga ko‘ra prujinaning siqilishi unga ta’sir etayotgan 𝐹(𝑥) kuchga proporsionaldir. Prujinani 250 17 𝑙birlikka siqish uchun 𝐹(𝑥) kuchning bajargan ishini toping. 9-rasm ∆Ma’lumki, o‘zgaruvchi 𝐹(𝑥) kuchning [𝑎; 𝑏] oraliqdagi bajargan ishi 𝐴 = � 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 � � (4) formula yordamida hisoblanadi. Agar 𝐹(𝑥) kuch ta’sirida prujinaning siqilish kattaligini 𝑥orqali belgilasak, u holda Guk qonuniga ko‘ra 𝐹(𝑥) = 𝑘 · 𝑥 bo‘ladi, bu yerda k – o‘zgarmas son. (4) formulaga muvofiq bajarilgan ish 𝐴 = ∫ 𝑘𝑥𝑑𝑥 = 𝑘 ∙ � � � � � � = �� � � � � . Xususan, prujinani 0,01 m siqish uchun 10 𝑁 kuch kerak bo‘lsa, 𝐹 = 10𝑁 = 𝑘 ⋅ 𝑥 tenglikdan 𝑘 = � � = 1000.Demak, 𝐹(𝑥) = 𝑘𝑥 = 1000 ⋅ 𝑥. Prujinani 0,09 m siqish uchun ketadigan 𝐹 kuch bajargan ish bu holda 𝐴 = � 1000𝑥𝑑𝑥 = 1000 ∙ 𝑥 � 2 � � �,�� = 500 ∙ 0,0081 = 4,05(𝐽) �,�� � Foydalanilgan adabiyotlar: 1. Н.Я.Виленкин, А.Г.Мордкович. Производная, интеграл.М. <<Просвещение>>, 1976. 2. M. A. Mirzaahmedov, Sh. N. Ismoilov, A. Q. Amanov. Matematika Algebra va analiz asoslari 11-sinf darsligi |
