Matematik analiz” fani bo’yicha “chiziqli funksionallar va ularga bog’liq misollar yechish

1.4 Gilbert fazolari.
Evklid fazosini normalangan fazo sifatida qarasak, u to‘la bo‘lishi yoki bo‘lmasligi mumkin. Agar E Evklid fazosi to‘la bo‘lmasa, u holda uning to‘ldiruvchisi bo‘lgan Banax fazosini bilan belgilaymiz.
1-teorema. Evklid fazosining to‘ldiruvchisi ham Evklid fazosi bo‘ladi.
Isbot. Bu teorema metrik fazolarning to‘ldiruvchisi haqidagi teorema isbotiga o‘xshab isbotlanadi. To‘ldiruvchi fazo ning 𝑥 va 𝑦 elementlarini olamiz. Aytaylik { } va { } E fazoning elementlaridan tuzilgan va mos ravishda 𝑥 va 𝑦 ga yaqinlashuvchi ketma-ketliklar bo‘lsin. Agar ( , ) sonli ketma-ketlikni qarasak, ushbu
|( , )−( , )| ≤ |( , − )|+|( − , )| ≤ ‖ ‖‖ − ‖ + ‖ − ‖‖ ‖ tengsizlikdan {( , )} ketma-ketlikning fundamental ketmaketlik ekanligi kelib chiqadi. Demak, mavjud.
Bu limit { },{ } ketma-ketliklarga emas, balki faqat 𝑥 va 𝑦 elementlarigagina bog‘liqligi bevosita tekshiriladi.
Endi da skalyar ko‘paytmani aniqlaymiz: (𝑥, 𝑦)= . Bu ifodaning skalyar ko‘paytma ekanligi E dagi skalyar ko‘paytma ta’rifining 1-4 shartlarida limitga o‘tish natijasida kelib chiqadi.
Masalan, 1- shart (𝑥, 𝑦)= = = (𝑦, 𝑥).
Shunga o‘xshash, ‖𝑥‖ = =
Demak, Evklid fazosi ekan.
Ta’rif. To‘la Evklid fazosi Gilbert fazosi deyiladi.
2-teorema. Banax fazosi Gilbert fazosi bo‘lishi uchun undagi norma, ixtiyoriy 𝑥, 𝑦 uchun
‖𝑥 + 𝑦‖²+ ‖𝑥 − 𝑦‖²= 2(‖𝑥‖²+ ‖𝑦‖²) shartni qanoatlantirishi zarur va yetarli.

Ⅱ bob. Chiziqli funksionallar

2.1 Chiziqli funksionallar uzluksizligi.Normalangan fazolardagi chiziqli funksionallar
Aytaylik X haqiqiy chiziqli fazo bo‘lsin. Xuddi metrik fazolardagi kabi X ning har bir elementiga haqiqiy sonni mos qo‘yuvchi 𝑓: 𝑋 → 𝑅 akslantirishni funksional deb ataymiz.
1–ta’rif. Agar f funksional ixtiyoriy 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 elementlar va  son uchun
1. (𝑥 + 𝑦) = (𝑥) + (𝑦);
2. (𝑥) = (𝑥)
shartlarni qanoatlantirsa, u holda f chiziqli funksional deyiladi.
Bu ikki shartni birlashtirib, ixtiyoriy 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 elementlar va ,  sonlar uchun
𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) shart bajarilsa, u holda f ni chiziqli funksional deyiladi. Izoh. Yuqoridagi birinchi tenglik funktsionalning additivlik xossasi, ikkinchi tenglik esa bir jinslilik xossasi deyiladi.
Chiziqli funksionalning uzluksizligi, xuddi metrik fazolardagi kabi aniqlanadi. Shu sababli, chiziqli funksional berilgan chiziqli fazoda yaqinlashish tushunchasi kiritilgan bo‘lishi lozim.
Aytaylik E normalangan fazo va f undagi chiziqli funksional bo‘lsin.
2–ta’rif. Agar E ning nuqtasiga yaqinlashuvchi ixtiyoriy { } ketma-ketlik uchun 𝑓( ) → 𝑓( ) munosabat bajarilsa, u holda f chiziqli funksional nuqtada uzluksiz deyiladi.
Bu ta’rifni normalangan fazo tushunchalari yordamida, quyidagicha aytish mumkin: 3-ta’rif. Agar ixtiyoriy kichik  > 0 son uchun, shunday  > 0 kichik son topilib, ‖𝑥‖ < 𝛿 ekanligidan |(𝑥)| <  munosabat kelib chiqsa, u holda f chiziqli funksional nol nuqtada uzluksiz deyiladi.
1-teorema. Agar f chiziqli funksional nol nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda f funksional E ning ixtiyoriy nuqtasida uzluksiz bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik f chiziqli funksional nol nuqtada uzluksiz bo‘lsin. E ning biror 𝑥 nuqtasini olamiz. Agar { } ketma-ketlik 𝑥 ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik bo‘lsa, u holda { 𝑥} ketma-ketlik nolga yaqinlashuvchi bo‘ladi. Demak, 𝑓( 𝑥) → 0 va f chiziqli bo‘lgani uchun, bundan 𝑓( )𝑓(𝑥) → 0, 𝑓( ) → 𝑓(𝑥) kelib chiqadi. Bu esa, f ning 𝑥 nuqtada uzluksizligini bildiradi. Teorema isbot bo‘ldi.
2-teorema. Normalangan fazodagi chiziqli funksionalning uzluksiz bo‘lishi uchun, uning birlik shardagi qiymatlari chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.
Misollar. 1) Agar  biror haqiqiy son va 𝑥 ∈ 𝑅 uchun (𝑥) = 𝑥 deb olsak, u holda f akslantirish 𝑅 da chiziqli funksional bo‘ladi. Masalan, (𝑥) = 2𝑥.
2) 𝑅ⁿ fazoda chiziqli funksional. Koordinatalari haqiqiy sonlardan tuzilgan biror (𝑎₁, 𝑎₂, . . . , 𝑎_n) vektor olamiz. Endi, 𝑅ⁿ ning ixtiyoriy 𝑥 = (𝑥₁, 𝑥₂, . . . , 𝑥_n) elementi uchun f funksionalning qiymatini 𝑓(𝑥) = formula orqali aniqlaymiz. Buning chiziqli funksional bo‘lishini tekshirish qiyin emas. Masalan, R² fazoda ixtiyoriy (𝑥₁, 𝑥₂) uchun 𝑓(𝑥) = 2𝑥₁ + 3𝑥₂.
3) [𝑎, 𝑏] fazoda chiziqli funksional.
Ixtiyoriy (𝑡) ∈ [𝑎, 𝑏] uchun (𝑥)= formula chiziqli funksionalni aniqlaydi.
Shuningdek, biror 𝑦₀(𝑡) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] funksiyani tayinlab, 𝑥(𝑡) ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] uchun
𝑓(𝑥)= formula orqali 𝐶[𝑎, 𝑏] fazoda chiziqli funksionalni aniqlash mumkin.
4) Gilbert fazosidagi chiziqli funksional.
Aytaylik H Gilbert fazosi, ( , ) undagi skalyar ko‘patma bo‘lsin. Agar biror 𝑦₀ elementni tayinlab qo‘ysak, ixtiyoriy 𝑥 ∈ 𝐻 uchun
𝑓(𝑥) = (𝑥, 𝑦₀)
uzluksiz chiziqli funksional bo‘ladi. Umuman olganda quyidagi teorema o‘rinli.
3-teorema. Gilbert fazosidagi ixtiyoriy f chiziqli funksional uchun shunday yagona 𝑦₀ element topiladiki, (𝑥) = (𝑥, 𝑦₀) munosabat o‘rinli bo‘ladi.