Matematik analiz” fani bo’yicha “chiziqli funksionallar va ularga bog’liq misollar yechish

1.3 Evklid fazolari
Endi biz normalangan fazoning xususiy holi bo‘lgan va funksional analizda keng qo‘llaniladigan Evklid fazosini ko‘rib chiqamiz.
Ta’rif. Haqiqiy E chiziqli fazoning ixtiyoriy ikki 𝑥 va 𝑦 elementlari uchun aniqlangan, (𝑥, 𝑦) ko‘rinishida belgilanuvchi va quyidagi
1. (𝑥, 𝑦) = (𝑦, 𝑥);
2. ( + ,) = ( , 𝑦) + ( , 𝑦), , ∈ 𝐸;
3. (𝜆𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦), 𝜆 ∈ 𝑅;
4. (𝑥, 𝑥) ≥ 0; (𝑥, 𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝜃
to‘rt shartni (aksiomalarini) qanoatlantiruvchi funksiya skalyar ko‘paytma deyiladi. Skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo Evklid fazosi deyiladi.
Misollar. 1) fazoda skalyar ko‘paytmani (𝑥, 𝑦)= kabi aniqlash mumkin.
2) fazoda skalyar ko‘paytma (𝑥, 𝑦)= kabi aniqlanadi.
Normaning birinchi sharti skalyar ko‘paytmaning to‘rtinchi aksiomasidan bevosita kelib chiqadi. Normaning ikkinchi sharti skalyar ko‘paytmaning uchinchi aksiomasi natijasidir. Haqiqatan,

Evklid fazosining ayrim xossalarini keltiramiz.
1-xossa. Agar → 𝑥, → 𝑦 norma ma’nosida yaqinlashsa, u holda
( , ) → (𝑥, 𝑦) bo‘ladi (skalyar ko‘paytmaning uzluksizligi).
Isbot. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga asosan
|(𝑥, 𝑦) − ( , )| ≤ |(𝑥, 𝑦 − ) + (𝑥 − , )| ≤ |(𝑥, 𝑦 − )| + |(𝑥 − , )| ≤ ‖𝑥‖‖𝑦 − ‖ + ‖𝑥 − ‖‖ ‖
Yaqinlashuvchi { } ketma-ketlikning normasi chegaralangan bo‘lgani uchun oxirgi ifoda nolga intiladi.
2-xossa. Evklid fazosining ixtiyoriy 𝑥, 𝑦 elementlari uchun
‖𝑥 + 𝑦‖²+ ‖𝑥 − 𝑦‖²= 2(‖𝑥‖² + ‖𝑦‖²) tenglik o‘rinli (parallelogramm formulasi).
Isbot. Haqiqatan, ‖𝑥 + 𝑦‖²+ ‖𝑥 − 𝑦‖²= (𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦) + (𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦) = (𝑥, 𝑥) + (𝑥, 𝑦) + (𝑦, 𝑥) + (𝑦, 𝑦) + (𝑥, 𝑥) − (𝑥, 𝑦) − (𝑦, 𝑥) + (𝑦, 𝑦) = 2((𝑥, 𝑥) + (𝑦, 𝑦)) = 2(‖𝑥‖²+ ‖𝑦‖²). 3-xossa. a) 𝑥⊥ va 𝑥⊥ munosabatlaridan 𝑥⊥(𝜆 +𝜇 ) munosabat kelib chiqadi (𝜆, 𝜇 -haqiqiy sonlar).
b) 𝑥⊥ (n=1,2,...) bo‘lib, { } ketma-ketlik y elementga yaqinlashsa, u holda 𝑥 ⊥ 𝑦 bo‘ladi.
4-xossa. Agar 𝑥 ⊥ 𝐴 bo‘lsa, u holda 𝑥⊥ bo‘ladi. E Evklid fazosining A to‘plamning har bir elementiga ortogonal bo‘lgan barcha elementlar to‘plamini bilan belgilaymiz.
5-xossa. Agar 𝐴 ⊂ 𝐸 bo‘lsa, u holda to‘plam E ning qism fazosi bo‘ladi.