Matematik tahlil

b − a = α_n − β_n → 0

−
ni olamiz. Demak, b a = 0, ya'ni b = a ekan.
Ammo uzoqlashuvchi ketma-ketliklarda qismiy limitlar ko'p bo'lishi mumkin. Qismiy limitga aniq ta'rif berish uchun qismiy ketma-ketlik tushunchasini kiritamiz.
Ixtiyoriy qat'iy o'suvchi {k_n} natural sonlar ketma-ketligini tanlaymiz, ya'ni

k₁ < k₂ < ... < k_n < ...

{ } { } { }
Ta'rif. Agar x_n ketma-ketlik berilgan bo'lsa, x_kn ^∞_n=1 ketma-ketlik x_n ketma- ketlikning qismiy ketma-ketligi deyiladi.

{ } { } { }
Masalan, x_2n−1 va x_2n ketma-ketliklar berilgan x_n ketma-ketlikning har xil, ya'ni biri toq nomerdagi va ikkinchisi juft nomerdagi, elementlaridan tashkil topgan ikki qismiy ketma-ketliklaridir.
Ta'rif. Agar {x_n} ketma-ketlikning a soniga yaqinlashuvchi {x_kn } qismiy ketma- ketligi mavjud bo'lsa, a son {x_n} ketma-ketlikning qismiy limiti deyiladi.
2.4.1 - Misol. x_n = (−1)ⁿ bo'lsin. U holda juft nomerli
x_2n = (−1)²ⁿ = 1
qismiy ketma-ketlik 1 soniga yaqinlashadi, toq nomerli
x_2n−1 = (−1)²ⁿ⁻¹ = − 1
qismiy ketma-ketlik esa −1 soniga yaqinlashadi. Shuning uchun 1 va −1 sonlar
{x_n} ketma-ketlikning qismiy limitlari bo'ladi.

2. 
   Endi ketma-ketlik uchun limit nuqta tushunchasini kiritamiz. Dastlab, yozuvni soddalashtirish maqsadida, quyidagi atamalashga kelishib olaylik.
   

{ }

{ }
Faraz qilaylik, E - sonlar o'qining ixtiyoriy qismiy to'plami va {x_n} - biror ketma-ketlik bo'lsin. Agar shunday cheksiz ko'p turli nomerlar topilsaki, x_n ketma-ketlikning bu nomerlarga mos kelgan elementlari E to'plamga tegishli bo'lsa, biz E to'plamda x_n ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlari yotadi deymiz.

{ − }
Bu kiritgan ta'rifimiz to'plamlar nazariyasida qabul qilingan an'anaviy atamadan farq qiladi. Misol uchun, agar E to'plam faqat bitta x = 1 nuqtadan iborat bo'lsa, to'plamlar nazariyasi nuqtai nazaridan, u cheksiz ko'p nuqtaga ega bo'la olmaydi. Ammo, yuqoridagi kelishuvga ko'ra, E to'plamda ( 1)ⁿ ketma-ketlikning cheksiz ko'p, ya'ni barcha juft nomerli elementlari yotadi.

−
Sonlar o'qidagi a nuqtaning atrofi deb shu nuqtani o'z ichiga oluvchi ixtiyoriy intervalga aytilishini eslatamiz. Biz a nuqtaning ε-atrofi deganda (a ε, a + ε) intervalni tushunamiz va bunda doim ε > 0 deb hisoblaymiz.

{ }
Ta'rif. Agar a nuqtaning ixtiyoriy ε-atrofida x_n ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementi joylashsa, a nuqta berilgan ketma-ketlikning limit nuqtasi deyiladi.

− { − }
Masalan, 1 va 1 nuqtalar ( 1)ⁿ ketma-ketlikning limit nuqtalaridir. Bu
ketma-ketlik uchun limit nuqtalar to'plami qismiy limitlar to'plami bilan ustma-ust tushishi tasodifiy emas. Chunonchi, quyidagi ikki tasdiq o'rinli.

1. 
   - Tasdiq. Har qanday ketma-ketlikning qismiy limiti shu ketma-ketlikning limit nuqtasi bo'ladi.
   

{ }
Isbot. Faraz qilaylik, a nuqta {x_n} ketma-ketlikning qismiy limiti bo'lsin, ya'ni, a ga yaqinlashuvchi {x_kn } qismiy ketma-ketlik mavjud bo'lsin. Shunday ekan, istalgan ε > 0 uchun {x_kn } ketma-ketlikning biror nomerdan boshlab barcha elementlari a nuqtaning ε- atrofida yotadi. Demak, shu ε atrofda x_n ketma- ketlikning cheksiz ko'p elementlari yotadi, ya'ni a - ketma-ketlikning limit nuqtasi ekan.