«Matematika» fanidan oraliq nazorat 19-sonli

0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
p


x
0 1 2

5.1 - rasm.
n ta bog’liqmas tajriba o’tkazilayotgan bo’lib, ularning har birida A hodisa ro’y berishi (muvaffaqiyat)ning ehtimolligi doimiy va p ga teng bo’lsin (demak, ro’y bermaslik (muvaffaqiyatsizlik)-ning ehtimolligi q=1–p ga teng). X diskret tasodifiy miqdor sifatida A hodisaning shu tajribalarda ro’y berishlarining soni-ni ko’rib chiqaylik. X ning mumkin bo’lgan qiymatlari bunday: 0, 1, 2, ..., n. Bu mumkin bo’lgan qiymatlarning ehtimolliklari (4.1) Bernulli formulasi bo’yicha topiladi:

n
bu yerda k= 0, 1, 2, ..., n.
P_n(k) C^k p^kq^nk,

Ehtimolliklarning binomial taqsimoti deb Bernulli formulasi bilan aniqlanadigan ehtimolliklar taqsimotiga ay-tiladi. Bernulli formulasining o’ng tomonini Nьyuton binomi yoyilmasining umumiy hadi sifatida qarash mumkin bo’lgani uchun bu taqsimot qonuni «binomial» deb ataladi:

n

n

n

n
(pq)ⁿ Cⁿpⁿ C^n1p^n1q…C^k p^kq^nk …C⁰q^n.
p + q = 1 bo’lgani uchun tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari ehtimolliklarining yig’indisi 1 ga teng.

SHunday qilib, binomial taqsimot qonuni quyidagi ko’ri-nishga ega

3. 
   – j a d v a l
   

xi	n	n1	. . .	k	. . .	0
pi	pn	npn1q	. . .	Ck pkqnk n	. . .	qn

Binomial taqsimotga misol sifatida 3-misoldagi tasodi-fiy miqdorning taqsimotini keltirish mumkin.

Faraz qilaylik, bog’liqmas tajribalar o’tkazilib, ularning har birida A
hodisaning ro’y berishi (muvaffaqiyat)ning ehtimolli-gi r ga ( 0 p1),
binobarin, uning ro’y bermasligi (muvaffa-qiyatsizlik)ning ehtimolligi q=1–p ga teng bo’lsin. Tajribalar birinchi muvaffaqiyatgacha davom etadi. SHunday qilib, agar A hodisa k-tajribada ro’y bersa, u holda avvalgi k – 1 ta tajribada u ro’y bermaydi.
Agar X orqali birinchi muvaffaqiyatgacha bo’lgan tajribalar soniga teng bo’lgan diskret tasodifiy miqdorni belgilasak, u holda uning mumkin bo’lgan qiymatlari 1, 2, 3, ... natural son-lardan iborat bo’ladi.
Faraz qilaylik, birinchi k – 1 ta tajribada A hodisa ro’y ber-masdan, k- tajribada ro’y berdi. Bu «murakkab hodisaning» ehti-molligi, bog’liqmas hodisalarning ehtimolliklarini ko’paytirish haqidagi 3.3-teoremaga asosan

ga teng.