Matematika

1.2.2-misol. ko’rinishida yozilgan formulani tahlil qilaylik. Bu formuladagi amallarni bajarish imtiyozlari va qavslar haqidagi kelishuvga ko’ra berilgan formulani ko’rinishda ifodalash mumkin.

Tabiiyki, ixtiyoriy formula uchun chinlik jadvali tuzish mumkin. Berilgan formulalarg mos chinlik jadvalini tuzishda shu formula tarkibidagi amallarga e’tibor bergan holda asosiy chinlik jadvallaridan ketma-ket foydalanish mumkin.

1.2.3-misol. formulaning chinlik jadvali 1.2.1-jadval bo’ladi.

1.2.1-jadval

x	y
0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	0	1
1	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	0	0

1.2.2-t a ‘ r i f. Agar berilgan ikkita formula tarkibida ishtirok etuvchi elementar mulohazalarning har bir qiymatlar satri uchun bu formulalarning qiymatlari bir xil bo’lsa, u holda ular teng kuchli formulalar deb ataladi.

1.2.3-t a ‘ r i f. Agar berilgan ikkita formula tarkibida ishtirok etuvchi elementar mulohazalarning har bir qiymatlar satri uchun bu formulalarning qiymatlari har xil bo’lsa, u holda ular teng kuchlimas formulalar deb ataladi.

Teg kuchli va teng kuchlimas iboralar na faqat formulalarga nisbatan, balki ixtiyoriy mantiqiy mulohazalarga nisbatan ham qo’llanilishi mumkin. Ba’zan teng kuchli va teng kuchlimas iboralar o’rnida, mos ravishda, ekvivalent va ekvivalentmas iboralari ishlatiladi ekvivalentlik tushunchasi ekvivalensiya tushunchasiga ohangdosh bo’lgani uchun, ularni bir-biridan farq qilish maqsadida ko’proq teng kuchlilik iborasidan foydalanamiz.

Berilgan formulalarning teng kuchliligini ifodalashda belgidan, teng kuchlimasligini ifodalashda esa belgidan foydalaniladi. Masalan, agar berilga A va B formulalar teng kuchli formulalar bo’lsa, u holda deb. A va B formulalar teng kuchlimas formulalar bo’lganda esa, deb yoziladi. Ba’zan, formulalarning teng kuchliligini ifodalashda “=” belgidan, teng kuchlimasligini ifodalashda esa belgidan foydalaniladi.

Berilgan formulalarning teng kuchli yoki teng kuchlimas bo’lishini aniqlashda, odatda, ular uchun tuzilgan chinlik jadvallaridan foydalaniladi.

x
0	0
1	1

1.2.4-m i s o l. va formulalar teng kuchli formulalardir. 1.2.2-jadval

Haqiqatan ham, berilgan formulalardan faqat bitta elementar mulohaza ishtirok etgani uchun ikkita qiymatlar satriga ega chinlik jadvalini tuzamiz. (1.2.2-jadvalga qarang). 1.2.2-ta’rifga asosan .

x	y
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	0	1	1

1.2.5- misol. Berilgan va formulalarni mos ravishda

1.2.3-jadval

A va B bilan belgilaymiz: , . 1.2.3-chinlik jadvalidan ko’rinib turibdiki, A va B formulalar tarkibidagi x va y elementar mulohazalarning to’rtala qiymatlar satrlari uchun bu formulalarning mos qiymatlari bir xil. Demak, 1.2.2-ta’rifga asosan ya’ni, .

1.2.6-misol. va formulalar berilgan bo’lsin 4-chinlik jadvalini tuzamiz. A va B formulalar tarkibida ishtirok etuvchi x va y elementar mulohazalarning to’rtala qiymatlar satrlari uchun bu formulalarning mos qiymatlari bir xil.

Demak, berilgan A va B formulalar ekvivalent formulalardir, ya’ni . 1.2.4-jadval

x	B=y
0	0	1	1	0
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0
1	1	0	1	1

1.2.7-misol. formulalar teng kuchlimas formulalardir. Haqiqatan ham, 5-chinlik jadvalidan ko’rinib turibdiki, berilgan A va B formulalar tarkibida ishtirok etuvchi x va y elementar mulohazalarning to’rtta qiymatlar satrlaridan ikkitasi (2-va 3- satrlari) uchun bu formulalarning mos qiymatlri har xil. Demak, 3-ta’rifga asosan, berilgan va x formulalar ekvivalentmas formulalardir ya’ni, .

1.2.5-jadval

	y
0	0	1	1	0
0	1	1	1	1
1	0	0	1	0
1	1	0	1	1

Odatda, mulohazalar algebrasida ekvivalensiya bilan teng kuchlilik orasidagi farqni anglash maqsadida, ular oddiy algebradagi mos ravishda tenglama va ayniyat bilan qiyoslanadi. Tenglamada (masalan, x va y o’zgaruvchilarga nisbatan 2x+y=10 tenglamada) o’zgaruvchilarning ayrim (masalan,x=4,y=2) qiymatlar uchun tenglik o’rinli bo’lib, boshqa (masalan, x=1,y=2) qiymatlar uchun bu tenglik o’rinli bo’lmasligi mumkin. Shunga o’xshash, ekvivalensiyada ishtirok etuvchi (masalan,

Ekvivalensiyadagi ) o’zgaruvchilarining o’rinlariga qandaydir (masalan ) qiymatlar qo’yganda ekvivalensiya ch qiymat qabul qilib, boshqa (masalan, ) qiymatlar uchun yo qiymatga erishishi mumkin.

Oddiy algebrada ayniyat deb shunday tenglik tushuniladiki (masalan, tenglik),bu tenglik, unda qatnashgan barcha o’zgaruvchilarning mumkin bo’lgan barcha qiymatlar uchun o’rinlidir. Shunga o’xshash, matematik mantiqdagi teng kuchlilik shunday mulohazaki (masalan, mulohaza) bu mulohaza, unda qatnashgan barcha o’zgruvchilarning mumkin bo’lgan barcha qiymatlari uchun to’g’ridir.

Matematik mantiqda formula tushunchasi bilan bir qatorda mantqiy ifoda tushunchasi ham qo’llaniladi. Mantiqiy ifoda shunday murakkab mulohazaki, uning tarkibida berilgan elementar mulohazalarda inkor, diz’yunksiya, kon’yunksiya, implikatsiya, ekvivalensiya mantiqiy amallari ham chekli kombinatsiyasi va zarur bo’lganda, mulohazalar ustida mantiqiy amallari bilan bir qatorda mulohazalar algebrasidagi boshqa amallarning ham chekli kombinatsiyasi va, zarur bo’lganda, mulohazalar ustida mantiqiy amallarning bajarilish tartibini ko’rsatuvchi qavslar qatnashishi mumkin. Mantiqiy ifoda tushunchasiga ham formula tushunchasiga matematik induksiya usuliga tayangan holda berilgan ta’rifga o’xshash qat’iy ta’rif berilishi mumkin. Mantiqiy ifodalarning teng kuchliligi tushunchasini ham formulalar teng kuchliligi tushunchasiga o’xshash aniqlash mumkin.

Oddiy algebrada aynan teng qiymatga qiymatga ega ifodalarni bir-biri bilanalmashtirish mumkin bo’lganidek, mulohazalar algebrasida ham mantiqiy ifoda tarkibidagi qismiy mantiqiy ifodalarni (formulalarni, mulohazalarni) ularga teg kuchli bo’lgan ifodalar (formulalar, mulohazalar) bilan almashtirish ya’ni o’rniga qo’yish usulidan foydalanish mumkin. Bu esa murakkab ifodalarni (formulalarni, mulohazalarni) sddalashtirish imkonini beradi.

Yuqorida tenglama bilan ekvivalensiya va ayniyat bilan teng kuchilik orasida o’xshashlik borligini ko’rdik. Endi tenglik bilan ekvivallensiya orasida farq ham borligini ko’rsatamiz. Ma’lumki, oddiy algebrada hech qanday almashtirish yordamida tenglik arifmetik amallar (qo’shish, ayirish, ko’paytirish, bo’lish) vositasida ifodalab bo’lmaydi. Mulohazalar algebrasida esa ekvivalensiyani boshqa mantiqiy amallar vositasida ifodalash mumkin. Masalan ekvivalensiyani implikatsiya va kon’yunksiya amallari vositasida ifodalash mumkin: berilgan x va y elementar mulohazalar uchun teng kuchlilik o’rinliligi 6-chinlik jadvalidan ham ko’rinib turibdi.

1.2.6-jadval

x	y
0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	0
1	1	1	1	1	1

Mulohazalar algebrasini oddiy algebra bilan qiyoslashda davom etib, oddiy algebrada tenglik uchun quyidagi xossalar (aksiomalar) o’rinliligini eslatamiz:

1. 
   Ixtiyoriy uchun a=a (refleksiv);
   
2. 
   Ixtiyoriy ikkita va sonlar uchun agar a=b bo’la, u hold b=a bo’ladi (simmetriklik);
   
3. 
   Ixtiyoriy uchta , va sonlar uchun agar a=b va b=c bo’lsa, u holda a=c bo’ladi (tranzitivlik);
   

Shunga o’xshash mulohazalar algebrasidagi teng kuchlilik (ekvivalentlik) ham refleksivlik, simmetriklik va tranzitivlik xossalariga ega:

1. 
   Ixtiyoriy x mulohaza uchun ;
   
2. 
   Ixtiyoriy ikkita x va y mulohazalar uchun, agar bo’lsa, u holda bo’ladi;
   
3. 
   Ixtiyoriy uchta x,y va z mulohazalar uchun va bo’lsa, u holda bo’ladi.