Matematika va miqdoriy usullar

Isbot. Haqiqatdan ham, n(A 
∪ V) soni A va V to‘plam elementlari jami sonini bildiradi, 
ammo bunda A ∩ V to‘plam elementlari ikki marta qatnashganlini hisobga olib, uni n(A) + n(V) 
dan ayirib qo‘ydik.

---

15 
(1) formuladan ixtiyoriy sondagi to‘plamlar yig‘indisi elementlari sonini aniqlashda 
foydalanish mumkin. Masalan, 
n(A
∪V∪S)= n(A)+n(V)+n(S) – n(A∩V) – n(V∩S) – n(A∩C) + n(A∩V∩S). (2) 
(1) va (2) fomulalar qo‘shish va chiqarish formulalari deyiladi.
 
1-misol. 100 ta talabadan 42 tasi ingliz, 30 tasi nemis, 28 tasi fransuz, 5 tasi ingliz va nemis,
10 tasi ingliz va fransuz, 8 tasi nemis va fransuz, 3 tasi ingliz, nemis va fransuz tillarini biladi. 
Nechta talaba birorta ham tilni bilmaydi?
Yechish. A – ingliz tilini biladigan talabalar to‘plami; N – nemis tilini biladigan talabalar 
to‘plami; F – fransuz tilini biladigan talabalar to‘plami bo‘lsin. U holda
n(A) = 42, n(N) = 30, n(F) = 28, n(A ∩ N) = 5, 
n(A ∩ F) = 10, n(N ∩ F) = 8, n(A ∩ N ∩ F) = 3. 
Yuqoridagi (2) formuladan foydalanib, yuqoridagi tillarning hech bo‘lmaganda bittasini 
dbiladigan talabalar sonini topaylik:
n(A 
∪ N ∪ F) = n(A) + n(N) + n(F) – 
– n(A ∩ N) – n(A ∩ F) – n(N ∩ F) + n(A ∩ N ∩ F) = 
= 42 + 30 + 28 – 5 – 10 – 8 + 3 = 80. 
Demak, yuqoridagi tillardan birortasini ham bilmaydigan talabalar soni: 100 – 80 = 20 ga 
teng. 
2 - misol. Ikki xonali sonlardan 2, 3,5, 11 sonlarining birortasiga ham bo‘linmaydiganlari 
qancha?
Yechish. A – 2 ga bo‘linuvchi ikki xonali sonlar to‘plami; V - 3 ga bo‘linuvchi ikki xonali 
sonlar to‘plami; S - 5 ga bo‘linuvchi ikki xonali sonlar to‘plami; D - 11 ga bo‘linuvchi ikki xonali 
sonlar to‘plami bo‘lsin. U holda n(A ∪ B ∪ C ∪ D) – hech bo‘lmaganda 2; 3; 5; 11 sonlardan 
birortasiga bo‘linuvchi sonlar to‘plamini bildiradi. Demak, yuqoridagi formulaga asosan (4 ta 
to‘plamlar yig‘indisi uchun):
n(A 
∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) – 
– n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(A ∩ D) – n(B ∩ C) – 
– n(B ∩ D) – n(C ∩ D) + n(A ∩ B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ D) + 
+ n(A ∩ C ∩ D) + n(B ∩ C ∩ D) – n(A ∩ B ∩ C ∩ D). 
n(A) = 45, n(B) = 30, n(C) = 18, n(D) = 9, 
n(A ∩ B) = 15, n(A ∩ C) = 9, n(A ∩ D) = 4, n(B ∩ C) = 6, 
n(B ∩ D) = 3, n(C ∩ D) = 1, n(A ∩ B ∩ C) = 3, 
n(A ∩ B ∩ D) = 1, n(A ∩ C ∩ D) = n(B ∩ C ∩ D) = n(A ∩ B ∩ C ∩ D) = 0. 
Demak,
n(A 
∪ B ∪ C ∪ D) = 45+ 30 +18 + 9 –15 – 9 –4 –6 –3 – 1 + 3 + 1 = 102 – 34 = 68.
Bundan: 90 – 68 = 22.