Математикалық индукция әдісін қолдану мысалдарын шешу

Философия тұрғысынан индукция және дедукция
Тарихи ретроспективаға қарасақ, «индукция» терминін алғаш рет Сократ айтқан. Аристотель философиядағы индукция мысалдарын анағұрлым жуық терминологиялық сөздікте сипаттады, бірақ толық емес индукция мәселесі ашық күйінде қалып отыр. Аристотельдік силлогизмді қудалаудан кейін индуктивті әдіс жаратылыстану ғылымында жемісті және жалғыз мүмкін деп таныла бастады. Бэкон дербес арнайы әдіс ретінде индукцияның атасы болып саналады, бірақ ол замандастары талап еткендей индукцияны дедуктивті әдістен ажырата алмады.
Индукцияның одан әрі дамуын Дж.Милл жүзеге асырды, ол индукция теориясын төрт негізгі әдіс: келісім, айырмашылық, қалдық және сәйкес өзгерістер позициясынан қарастырды. Бүгінгі күні аталған әдістер егжей-тегжейлі қарастырылған кезде дедуктивті болуы таңқаларлық емес.
Бэкон мен Милль теорияларының сәйкессіздігін білу ғалымдарды индукцияның ықтималдық негізін зерттеуге әкелді. Дегенмен, бұл жерде де кейбір шектен шығулар болды: ықтималдық теориясына индукцияны барлық кейінгі салдарлармен азайтуға әрекет жасалды.
Индукция белгілі бір пәндік салаларда практикалық қолдануда және индуктивті негіздің метрикалық дәлдігінің арқасында сенім дауысын алады. Философиядағы индукция мен дедукцияның мысалын бүкіләлемдік тартылыс заңы деп санауға болады. Заң ашылған күні Ньютон оны 4 пайыздық дәлдікпен тексере алды. Ал екі жүз жылдан астам уақыт өткеннен кейін тексеру кезінде дәлдік 0,0001 пайыз дәлдікпен расталды, дегенмен тексеру бірдей индуктивті жалпылаулар арқылы жүргізілді.
Қазіргі заманғы философия тәжірибеге, интуицияға жүгінбей, «таза» пайымдауларды пайдалана отырып, бұрыннан белгілі нәрседен жаңа білімді (немесе шындықты) алуға логикалық ұмтылыспен белгіленетін дедукцияға көбірек көңіл бөледі. Дедуктивті әдісте шынайы алғышарттарға сілтеме жасағанда, барлық жағдайда нәтиже ақиқат мәлімдеме болып табылады.
Бұл өте маңызды сипаттама индуктивті әдістің мәніне көлеңке түсірмеуі керек. Өйткені тәжірибе жетістіктеріне негізделген индукция оны өңдеу құралына да айналады (соның ішінде жалпылау мен жүйелеу).