Математикалық индукция әдісін қолдану мысалдарын шешу

Математикадағы индукция
«Индукция» (индукция) терминінің латын түбірі бар және сөзбе-сөз аударғанда «бағдар беру» дегенді білдіреді. Мұқият зерттей отырып, сөздің құрылымын ажыратуға болады, атап айтқанда латын префиксі – in- (бағытталған әрекетті ішке немесе ішінде болуды білдіреді) және -дукция – кіріспе. Айта кету керек, екі түрі бар - толық және толық емес индукция. Толық форма белгілі бір сыныптың барлық пәндерін зерттеу нәтижесінде жасалған қорытындылармен сипатталады.

Толық емес – сыныптың барлық пәндеріне қатысты, бірақ тек кейбір бірліктерді зерттеу негізінде жасалған қорытындылар.

Толық математикалық индукция - бұл функционалдық байланыс туралы білімге негізделген сандардың табиғи қатарының қатынастары арқылы функционалдық байланысқан кез келген объектілердің бүкіл класы туралы жалпы қорытындыға негізделген қорытынды. Бұл жағдайда дәлелдеу процесі үш кезеңде өтеді:

• 
  бірінші кезеңде математикалық индукция тұжырымының дұрыстығы дәлелденеді. Мысалы: f = 1, индукция;
  
• 
  келесі кезең позиция барлық натурал сандар үшін жарамды деген болжамға негізделген. Яғни, f=h, бұл индуктивті болжам;
  
• 
  үшінші кезеңде алдыңғы абзацтың орнының дұрыстығына негізделген f=h+1 саны үшін позицияның негізділігі дәлелденеді - бұл индукциялық ауысу немесе математикалық индукция қадамы. Мысал ретінде, егер қатардағы бірінші сүйек құласа (негіз) деп аталады, содан кейін қатардағы барлық сүйектер түседі (өтпелі).
  

Қалжыңдап та, байыпты да
Қабылдауға ыңғайлы болу үшін математикалық индукция әдісімен шешу мысалдары әзіл есептер түрінде айыпталады. Бұл «Сыпайы кезек» тапсырмасы:

• 
  Мінез-құлық ережелері ер адамға әйелдің алдында бұрылыс жасауға тыйым салады (мұндай жағдайда оны алдына жібереді). Осы тұжырымға сүйене отырып, егер кезекте соңғысы ер адам болса, қалғандарының бәрі ер адамдар.
  

Математикалық индукция әдісінің жарқын мысалы «Өлшемсіз ұшу» мәселесі:

• 
  Шағын автобусқа кез келген адам сыятынын дәлелдеу талап етіледі. Бір адам көліктің ішіне еш қиналмай сыйып кететіні рас (негіз). Бірақ микроавтобус қанша толып тұрса да, оған 1 жолаушы сыйып кетеді (индукциялық қадам).
  

таныс шеңберлер
Есептер мен теңдеулерді математикалық индукция арқылы шешу мысалдары өте кең таралған. Бұл тәсілдің мысалы ретінде келесі мәселені қарастыруға болады.
Шарт: жазықтықта h шеңберлері орналастырылған. Фигуралардың кез келген орналасуы үшін олар жасаған картаны екі түспен дұрыс бояуға болатынын дәлелдеу қажет.
Шешім: h=1 үшін тұжырымның ақиқаты анық, сондықтан h+1 шеңберлер санына дәлелдеу құрастырылады.
Кез келген карта үшін мәлімдеме дұрыс және жазықтықта h + 1 шеңберлері берілген деп алайық. Дөңгелектердің біреуін жиынтықтан алып тастау арқылы сіз екі түсті (қара және ақ) дұрыс боялған картаны ала аласыз.
Жойылған шеңберді қалпына келтіру кезінде әрбір аймақтың түсі керісінше өзгереді (бұл жағдайда шеңбердің ішінде). Дәлелдеу қажет болған екі түске дұрыс боялған карта шығады.