Materiallar

1 
_   Adf(jc)
y = f ( x )
(8.1)
(8.2)
8.2.  E gilgan   o ‘qnin g  d ifferen sial  tenglam asi

E g rilik n i  v u ju d g a  k elish id a   k o 'n d a la n g   k u ch lam in g   t a ’siri  kam  
boMganligi  uchun,  ko'ndalang  egilishning  umumiy  holida  ham  yuqoridagi 
formuladan  foydalansa  bo'ladi.
Bu  yerda  r  (x)  -   balkaning  egrilik  radiusi;
M  (x)  -   egriligi  aniqlanayotgan  kesimdagi  eguvchi  moment;
EJ  -   balkaning  bikrligi.
Egilgan  o'q n in g   tenglam asini  tuzish  uchun  egri  chiziq  funksiyasi  va 
uning  egrilik  radiusi  orasidagi  matematik  bog'lanishdan  foydalanamiz:
Egrilikni  yuqoridagi  qiymatini  o 'z   o 'm ig a  qo'ysak,  x,  у,  M  (x)  va  EJ  ni 
o'zaro  bog'laydigan  differensial  tenglama  kelib  chiqadi:
Mazkur  tenglama  egilgan  o 'qning  aniq  differensial  tenglam asi  deb  ata­
ladi.  Bu  tenglama  ikkinchi  tartibli  chiziqsiz  differensial  tenglama  boMganligi 
uchun,  uni  integrallash  ancha  mehnat  talab  qiladi.  Aksariyat  amaliy  masala- 
larda  solqiliklar  kichik  qiymatlarga  ega  boMganligi  sababli,  (8.5)  tenglamani 
kichik  ko'chishlar  uchun  taqribiy  tenglama  bilan  almashtiramiz.
(8.5)  tenglam aning  maxraji  ikki  qo'shiluvchidan  iborat:
Uncha  katta  boMmagan  defonnatsiyalarda  ikkinchi  qo'shiluvchi  birinchi 
qo'shiluvchiga nisbatan ko'p  marotaba kichik bo'ladi.  Mashinasozlik,  samolyot- 
sozlik  va  binokorlik  elementlarida  ruxsat  etilgan  solqilik  miqdori  balka  uzun- 
ligining  1/100  -   1/1000  ulushi  qadar  belgilanadi.  Solqilikning  eng  katta  che­
garasi  1/100  ni  olgan  taqdirimizda ham  q  ning qiymati juda kichik  son  bo'ladi:
d x 2
(8.4)
M { x ) _ ± 
d x 2
E J
(8.5)
y d x )

Uning  kvadrati  esa  yanada  kichikroq  boMadi:  tgJq  =  0,0004.  Bu  raqam 
esa  I  dan  ancha  kichkina.  Shuning  uchun  bu  miqdomi  e ’tibordan  chetda 
qoldirsak  uncha  katta  xato  boMmaydi.  N atijada  balka  egilgan  о ‘q in in g  
taqribiy  differensial  tenglamasiga  ega  boMamiz:
d x2
E J
(8.6)
Bu  tenglamani  ba’zan  elastik  chiziqning  differensial  tenglamasi  deb  ham 
ataladi.  (8.6)  formula  balkaning  istalgan  kesimidagi  ko‘chishlarni  aniqlash 
imkonini  beradi.
Eguvchi  m om entlam ing  ishoralari  koordinata  o ‘qlarining  y o ‘nalishiga 
bogMiq  emas.  Egilgan  o ‘qning  botiqligi  у   o ‘qining  musbat  tom oniga  qara- 
gan  boMsa,  ikkinchi  tartibli  hosilaning  ishorasi  musbat  boMadi;  buning  teska- 
risi  boMsa  -   ishora  manfiy  olinadi  (8.2-rasm).
Y±
d \y
dx2
>0
d x
2
->X
<0
8.2-rasm.
Agar у  o ‘qi yuqoriga yo‘nalsa (8.6) formula (+)  ishora bilan,  pastga yo‘nalsa 
( - )   ishora  bilan  olinadi.  Bundan  buyon  у   o ‘qini  ham m a  vaqt  yuqoriga 
yo‘na!tiramiz  va  differensial  tenglamani  musbat  ishorali  deb  qabul  qilamiz.
Burilish  burchagi  0  (x)  va  solqilik  у  (x)  ni  aniqlash  uchun  (8.6)  ni  ket- 
ma-ket  integrallaymiz.  Bir  marta  integrallasak,  burilish  burchagi  0  (x)  ni 
aniqlaydigan  ifoda  kelib  chiqadi:
d x + C
(8.7)
d x 
J 
E J
Ikkinchi  m arta  integrallasak,  solqilik  у  (x)  ni  aniqlaydigan  ifodaga  ega 
boMamiz:
M { x )
y { x ) = l d x \ ^ - d x  + C x + D .
(8.8)
Tenglam alar  tarkibiga kirgan  ixtiyoriy  o ‘zgarmas  sonlar С  va  D  tayanch- 
larning  xiliga qarab  aniqlanadi.  Bulami  aniqlash  tartibi  quyida  misollar orqali 
tushuntirib  beriladi.

8.3.  E gilgan  o ‘qning  d ifferen sial  tenglam asin i  in tegrallash
Solqilik  va  burilish  burchaklarini  ko‘pincha  shartli  ravishda  balkaning 
deformatsiyasi  deb  atashadi,  aslida  esa,  mohiyatan,  ular  deformatsiya  emas
-   ko'chishlardir.
8.1-misol.  Tekis yoyiq  kuch  bilan yuklangan  ikki  tayanchli  balkaning solqi- 
ligi va burilish  burchagini aniqlash talab  etiladi.  Koordinata  boshini chap tayanch 
shamirida  deb  olamiz  va,  x   o'qini  o'ng tomonga yo'naltiramiz  (8.3-rasm).
У
Й 
x 
I - -   Л 
h
*■
И
8 .3-rasm .
q i
Tayanch  reaksiyalari 
R„  = R b  ~  
,  Ha  =  0.
Koordinata  boshidan  x   m asofada  yotgan  kesim  uchun  momentlar  teng­
lamasini  yozamiz  va  uni  (8.6)  formulaga  qo ‘yib,  ketm a -  ket  integrallaymiz:
q x ( £ - x )
У  =
У  =
q
2 E J
r  Ix - 
л-п
2 E J \
+ C ,
y  =
' i x 3
2 E J
12
+
a. x
+c.
2  .
Ixtiyoriy  o ‘zgarmas  sonlar  (integrallash  doimiylari)  balka  uchlarining 
biriktirilish  shartlariga  (tayanch  xillariga)  qarab  aniqlanadi.  Biz  yechayot- 
gan  balka  uchun  chegaraviy  shartlar  quyidagicha:
Chap  tayanchda,  x  =  0,  у  =  0, 
o ‘ng  tayanchda,  x  =  I ,  у  =  0.

Bu  shartlardan  foydalanib,  quyidagilarga  ega boMamiz C2  =  0,  C,  =  -  - 
bunga  k o ‘ra,
У =
-
 
Я
2 E J
У
2 E J
i x 5 
X' 
6 
12
i x 2
+
q V x  
24 E J
24  ‘
Balka  to ‘rtinchi  tartibli  parabola  bo‘yicha  egiladi.  Eng  katta  solqilik  f, 
balkaning  y ’  =  0  shartidan  aniqlanadigan  kesimida  vujudga  keladi.  Bizning 
holda  bu  kesim  x  =  0,5 I dir.  Shunday  qilib,
f  = y ™   =
5  q i 4
384  E J
8.2-m isol.  Bu  holda  balkani  ikkita  uchastkaga  boMinadi,  chunki  har  bir 
uchastkaning  mom entlar  tenglamasi  turlicha  ifodalanadi  (8.4-rasm).
y  
F
11
-*•*
8.4-rasm . 
b 
£
Tayanch  reaksiyalari  R a = F  = — ,  R h=  ¥ 
p  ;
i  
*
birinchi  uchastkadagi  eguvchi  moment,  0 < х < я   boMganda:
M - F —x
I   ’
ikkinchi  uchastkada,  a < x < £   boMganda:
L
M  = F —x  -  F ( x  -  a)
Shunday  qilib,  ikkita  tenglam aga  ega  boMamiz:
1  uchastka  uchun  0 < x < a

y  
l - E J ’
II  uchastka  uchun  a < x < l
„ _   F b x  
F ( x - a )
y   ~   t - E J ~  
E J  
‘
Har  bir  tenglamani  alohida  integrallaymiz:
, 
F bx- 
„
У  ~  2 C - E J  +  ”
y  = - ^ -  + C lX + Cy-,
U - E J  
1
, 
F b x2 
F ( x  -  a ) 2 
p,
И) 
y '  = ---------------- i-------J-  + Dx,
’ 
2 l - E J  
2 E J
, 
F b x 3 
F ( x - a f  
_ 
n
v' = ------------------------— +  D. x + Д .
6 i - E J  
6 E J
Olingan yechimlarga to ‘rtta  integrallash  doimiylari  kirdi.  Ulami  aniqlash 
uchun  ikkita  tayanch  shartlari  kamlik  qiladi.  Egilgan  balkaning  o ‘qi  uzluk­
siz  va  siniqsiz  egri  chiziqdan  iborat  ekanligi  bizga  qo‘shimcha  shart  vazi- 
fasini  o ‘taydi.  Ikki  uchastka  chegarasida,  ya’ni  x  =  a  boMganda  solqilik 
ham,  burilish  burchagi  ham  o ‘zaro  teng  boMadi:
Уг  =  Ун,  У'/  =У'//
Ushbu  qo‘shimcha  shartlar  F  kuchi  qo'yilgan  kesimda  uzilish  yoki  sinish- 
lar  y o ‘qligini  ifodalaydi.
Shunday  qilib,  to ‘rtta  shartga  ega  boMdik:  ikkitasi  tayanchlarda  va  yana 
ikkitasi  uchastkalar  chegarasida.  Oxirgi  chegaraviy  shartlardan  C,  =  D,  va 
C 2  =  D2  kelib  chiqadi.  Dastlabki  ikki  shartdan  quyidagilar  topiladi:
с - л - * *
1 
1 
6 E J
C , = A = 0 .
f
.
Eng  katta  solqilik  hosil  boMadigan  kesimning  abssissasi  y'  =  0  sharti­
dan  topiladi.  Birinchi  uchastka  uchun  chiqarilgan  y'  tenglamasini  nolga teng- 
lab,  undan  x  ning  qiymatini  aniqlaymiz:

г 
Ғв  I 2 - в 2  \ f - e ~  
Ғв(
f  = Уп~  = 
г., 
, --W— :Г -  +
6 
f.-E J
 
3 
V 
3 
6 
E J
9 S E J
Yuqoridagi  misoldan  k o ‘rinadiki,  agar  k o ‘chishlar  elastik  chiziq  diffe­
rensial  tenglamasini  bevosita  integrallash  y o ‘li  bilan  aniqlanadigan  boMsa, 
k o ‘p  uchastkali  balkalarda  hisob  bir  muncha  qiyinlashadi.  Qiyinchilik  dif­
ferensial  tenglamani  integrallashda  emas,  balki  integrallash  doimiylarini 
aniqlashda  namoyon  boMadi.  Masalan,  balka  qo'yilgan  kuchlarga  qarab  n 
ta  uchastkadan  iborat  boMsa,  differensial  tenglam alam i  integrallash  jarayo­
nida  2n  ta  ixtiyoriy  o'zgarm aslar  paydo  boMadi.  Chegaraviy  shartlarga  ko 'ra 
ushbu  o'zgarm aslarni  aniqlash  uchun  2n  ta  tenglama  tuzish  mumkin.  Ucha- 
stkalar  soni  2  tadan  oshsa,  masalani  yechish  o 'ta   qiyinlashadi.  Hozirgi  paytda 
integrallash  doimiylarini  aniqlash  jarayonidagi  qiyinchiliklarni  yengillashti- 
rishga  qaratilgan  qator  usullar  yaratilgan.  BoshlangMch  param etrlar  usuli 
ana  shunday  usullardan  biridir.
8.4.  BoshlangMch  parametrlar  usuli
Tenglamalami  tuzishda  barcha  kuchlar  yo'nalishini  musbat  eguvchi  mo­
ment  uyg'otadigan  qilib  tanlaymiz.  NomaMum  ixtiyoriy  o'zgarm aslarning 
sonini  keskin  kamaytirish  uchun  balkaning  barcha  uchastkalaridagi  ixtiyoriy 
o'zgarm aslarining  teng  boMishini  ta ’minlash  zarur.  Bunday  tenglikka  erish- 
ish  uchun  eguvchi  moment,  burilish  burchagi  va  solqilikni  aniqlaydigan  teng- 
lamalarda  oldingi  uchastkalarda  qatnashgan  barcha  hadlar  keyingi  uchastka- 
larda  ham  takrorlanishi  zarur.  Bu  shartlarni  amalga  oshirish  uchun  elastik 
chiziqning  differensial  tenglamalarini  tuzishda  va  ularni  integrallashda  qu­
yidagi  qoidalarga  amal  qilish  lozim:
1.  Koordinata  boshini  balkaning  chap  tomondagi  eng  oxirgi  nuqtada 
olish  zarur.
2.  Eguvchi  moment  M  (x)  tenglamasini  tuzishda  kesimdan  chap  tomon­
da  yotgan  kuchlardan  moment  olinadi.
3.  Tenglama  tarkibida  yigMq  tashqi  moment  M  mavjud  bo'lsa,  uni  bir- 
ga  teng  bo'lgan  ko'paytuvchi  (x-o)°ga  ko'paytiriladi.  Bu  yerda  a-  moment 
qo'yilgan  nuqtaning  abssissasi.
4.  Agar  yoyiq  kuch  kesimning  oxirigacha  yetmagan  bo'lsa,  uni  kesim­
ning  oxirigacha  yetkaziladi;  muvozanatni  saqlash  uchun  qo'shim cha  yukka 
qarama-qarshi  yo'nalishda  «muvozanatlovchi»  kuch  qo'yiladi.  Keyingi  kuch­
lar  chizm ada  shtrix  chiziqlar  bilan  ko'rsatiladi.

5. 
B archa  uchastkalardagi  tenglam alam i  integrallashda  qavslar  yopiq 
holda  ishlanadi.
Y uqorida  bayon  etilgan  qoidalarni  quyidagi  misolda  m ujassam   etamiz. 
Uzunligi  E  boMgan  balkaning  bir  qismini  ko‘rib  o'tam iz  (8.5-rasm).
у
0
II
M
hi
F
IV
T f F T
D
8.5-rasm .
Balka  m usbat  yo'nalishdagi  kuchlar  ta ’sirida  m uvozanat  holatida  tura- 
di,  0  nuqtasini  koordinata  boshi  deb  qabul  qilamiz,  a-  o ‘qini  balka  o ‘qi 
bo'ylab  o ‘ngga,  у  o'qini  tik yuqoriga yo'naltiramiz.  Balkaning  biz tekshirayo- 
tgan  qismi  5  uchastkadan  iborat.  Elastik  chiziq  tenglamasi  har  bir  uchastka 
uchun  alohida  tuziladi.
I   uchastka:  Birinchi  OA  uchastkasida  tashqi  kuch  y o ‘q,  binobarin,  elas­
tik  chiziq  tenglamasi  quyidagicha  yoziladi:
ы % = с "
II  uchastka:  AB  Bu  uchastkada  m om ent  M  m avjud  boMgani  uchun 
uchinchi  qoidaga  amal  qilamiz:
E J ^ -  = M ( x - a ) °  
d x ‘
Tenglamani  integrallashda  beshinchi  qoidaga  amal  qilib,  qavslam i  och- 
maymiz:
E J —  =  M ( x  -  a )  + C, 
dx
E Jy = M
+ C 2x  -  D 2 .
I l l   uchastka:  BC.
E j ^ Z  = M { x -  a f   + F ( x  -  в), 
d x

IV
  uchastka: 
CD.
E J ^ -  = M ( x - a ) ° + F ( x - e )  + q 
d x '  
2
E J ^ M ( , - a ) + F
^
 + q ^
 + C „
d x 
l
b
a 5 ,  = M f c ^ ) l + i r f c £ ) l + ? < £ r £ ) l + C j I + D i . 
y  
2 
6 
24 
4 
4
V uchastka:  DE.  Yoyiq  kuch  V-uchastkagacha  yetib  bormagan;  shuning 
uchun,  to‘rtinchi  qoidaga  muvofiq,  integrallash  doimiylari  tengligini  ta’min- 
lash  maqsadida  yoyiq  kuchni  V  uchastkaning  oxirigacha  davom  ettiramiz, 
balkani  ishlash  sharoitini  saqlash  uchun  teskari  yo‘nalishda  yana  o'shancha 
kuch  kiritamiz.  Q o‘shimcha  kuchlar  rasmda  shtrix  chiziq  bilan  ko'rsatilgan.
V  uchastka  tenglamalari  quyidagi  yo‘sinda  yoziladi:
E J ^ —~  = M ( x  -  a )a  + F ( x  -  e) + q 
^ —  q
d x 2 
4 
2 
2
E J ^ -  = M ( x  - a )  + F {- ^ p -  + q { lZ f
—
q {-1 Z f ^  + C5, 
d x 
2 
6 
6
^
 = M ( £
^ + f <
^
+ ? < £ ^ _ 9 ( £ z f 2 1 Cs, + A .
y  
2 
6 
24 
24
Integrallash  doimiylarining o ‘zaro  tengligini  isbotlash  uchun  ikki  q o ‘shni 
uchastkaning  burilish  burchaklari  tenglamalarini,  masalan,  III  va  IV  uchast­
ka  tenglamalarini  o ‘zaro  tenglaymiz  va  л:  ga  chegara  qiymatni,  y a’ni  x   =  с 
ni  beramiz.
M ( c - a )  + F
^ t -  + a = M ( c - a )  + F
^ ^  + q ^ ^ -  + C4, 
2 
2 
6
bundan  C 3  =  C4  kelib  chiqadi.  Qolgan  С  va  D  doimiylarining  o ‘zaro  teng- 
ligi  ham  shu  yo‘I  bilan  isbot  qilinadi.
201

Endi  ikki  ogMz  so‘z  С  va  D  doimiylarining  fizik  m a’nosi  haqida.  Bun- 
ga  javobni  I  uchastka  uchun  tuzilgan  elastik  chiziq  tenglamasidan  axtara- 
miz.  Koordinata  boshidagi  burilish  burchagini  q0,  shu  kesimdagi  solqilikni 
y0  deb  belgilasak,  x   =  0  boMganda  burilish  burchagi  va  solqilik  uchun  I 
uchastka  tenglamasidan
E J 8 0  = С ,  E Jy0  = D
kelib  chiqadi.
Bundan  ko‘rinadiki,  С  doimiysi  koordinata  boshidagi  burilish  burchagini 
balka  bikrligi  EJ  ga,  D  esa  koordinata  boshidagi  solqilikni  o ‘sha  bikrlikka 
ko'paytm asiga  teng  boMgan  miqdor  ekan.
С  va  D  doimiylarining  qiymatini  V  uchastka  uchun  tuzilgan  burilish 
burchaklari  va  solqiliklar  tenglamasiga  q o ‘yamiz;  uchastkaning  tenglama- 
larida  kuchlam ing  barcha  turlari  (juft  kuch,  yigMq  va  yoyiq  kuchlar)  ishti- 
rok  etgan.
Burilish  burchagi  tenglamasi:
E J  —  = E J0 o + M ( x - a )  + F
g)-  + q i X ~ C'r   - q -('T ~
d x  
2 
6 
6
Solqiliklar  tenglamasi:
E J y  = E Jy0 + E J 9 0x  + 
+ F (* ~ g)'  + q ^ ~ c)- - q ^x ' ^ - .
* 
0 
2 
6 
24 
24
Bu  tenglam alar  umumiy  holda  quyidagicha  ifodalanadi:
(8.9) 
(8.10)
Oxirgi  ikki  tenglama  elastik  chiziqning  universal  tenglamalari  deb  ataladi. 
Eslatib  o ‘tamiz,  8.5-rasmda  kuchlar  musbat  yo‘nalishda  boMsa,  (8.9)  va 
(8.10)  tenglamalarda  ishora  teskarisiga  o ‘zgartiriladi.
Solqilik  yo‘nalishi  uning  ishorasiga  qarab  belgilanadi:  ishora  musbat 
boMsa,  solqilik  у  o ‘qining  musbat  o ‘qi  tomon,  y a’ni  yuqoriga,  manfiy  boMsa
-   pastga  y o ‘nalgan  boMadi.
Agar  balkaning  chap  tayanchi  sham irsiz  qistirma  boMsa,  nom a’lum  0„ 
va  y 0  lar  nolga  teng  boMadi,  chunki  bunday  tayanchda  burilish  burchagi 
ham,  solqilik  ham  boMmaydi.

Agar  konsolsiz  yoki  bir  konsolli  balka  ikki  tayanchga  erkin  tayangan 
bo'lsa,  u  holda  faqat  0O  ning  o ‘zi  aniqlanadi,  chunki  koordinata  boshiga 
to ‘g ‘ri  kelgan  chap  tayanchdagi  solqilik  nolga  teng.  Bunda  nom a’lum  q0 
o ‘ng  tayanchdagi  solqilikning  nolga  tengligi  shartidan  topiladi.
Agar  balkaning  ikki  tom onida  konsol  boMib,  koordinata  boshi  konsol 
uchida  boMsa,  u  holda  har  ikkala  nom a’lum  0O va  y0  ni  aniqlashga  to ‘g ‘ri 
keladi.  Bu  nom a’lumlarni  aniqlashda  tayanchlarda  solqilikning  nolga  teng­
ligi  shartidan  foydalaniladi.
Universal  tenglamalami  q o ‘llashga  doir  misollarini  ko‘rib  o ‘tamiz.
8.3-m isol.  8.6-rasm da  ko'rsatilgan  konsol  balkaning  kuch  qo'yilgan 
uchidagi  solqilik  va  burilish  burchagi  aniqlansin.
F
8 . 6 -r a s m .
Berilgan  balka  uchun;  y0  =  0;  0O =  0;  0  =  0,  tenglama  tarkibiga  kesimdan 
chapda joylashgan  tayanch  momenti  M  =  -   F P,  va  reaksiya  kuchi  Ra ,   F  kiradi:
EJy'  =  -
F i x  
Fa -
11
2!
= - F x l - X
-
2
F i x 2 
F x 3 
EJv = 
+
F x 2  '
2! 
3! 
2
Balka  uchidagi  deformatsiyalar  x  = t ,   boMganda  quyidagi  qiymatlarga 
ega  boMadi:
V/.
ғ е
в к = -
F t
3 E J  
' 
2 E J
8.4-misol.  Ik k i  tayanchli  tekis yoyiq  kuch  bilan yu klan ga n  balkaning 
o ‘rtasidagi  solqiligi  aniqlansin  (8.3-rasm).
Bu  holda  y0  =  0,  0O esa  x  =  С  boMganda  у  =  0  shartidan  topiladi. 
Solqilik  tenglamasi

q£  1г 
q t
k o 'rin ish g a   ega.  x  = 
t  
boM ganda  E J -0 = E J 6 0 - 1 + —  ■—-----
1 
о 
14
.  
q t 3
V0 = —
boMadi .   Topilgan  q0  ning  qiymatini  solqiliklar  teglam asiga 
q o ‘yamiz:
" b !  
12 
24
E Jy = E J  +
24 E J
x  +
q i - x 3 
qx 
12 
24
Oxirgi  tenglamada  * = —  deb  olinsa,  balkaning  o ‘rtasidagi  solqilik  ke­
lib  chiqadi:
еъ
Ж +
я
Ё -
я
!- .  y=.J-.s>L.
48 
96 
3 8 4 ’ 
384  E J
8.5-m isol.  8.7-rasmda  tasvirlangan  balkaning  ikki  u ch i  va  o ‘rtasidagi
2 F
solqilik  aniqlansin.  Yoyiq  ku c h n in g   intensivligi  q -  ~ r .
F
A
Ra  q
/  
t
F
/
"   ' ’  ”   1Л Ь
Ж
I
i-----------1; _
l
.
±
 
'
8
. 7-rasm.
Balkaning  tayanch  reaksiyalari  R0=R,.=2F.  Koordinatalar  boshini,  har  gal- 
gidek,  balkaning  chap  uchida  deb  olamiz.  Koordinatalar  boshida  в0  *  0  va 
0 ;   demak  solqiliklami  aniqlashdan  ilgari,  universal  tenglama  (8.10) 
tarkibiga  kiradigan,  EJ90  va  EJy0  lami  topib  olishimiz  kerak  boMadi.  Bu 
noma’lumlami  topish  uchun  tayanchlarda  solqiliklami  nolga  teng  boMishi  shar­
tidan  foydalanib  ikkita  tenglama  tuzamiz.  A  tayanchida  solqilik  nolga  teng:
0   =   E J y 0  +  E J 0 a -   F ^ .
6
В  tayanchdagi  solqilik  nolga  teng:
( 2 ( ) \ 2 F ( 3 
2 F  J *
6  
6
 
£ 
2 4

Bu  ikki  tenglamalar  sistemasini  yechamiz:
E jy 0 + E j e 0e - F -  = o,
6
EJyo  + 2 E J 0 J ~  —  F V   = 0 .
12
(a)
(b)
Ikkinchi  tenglamadan  birinchi  tenglamani  ayirib,  quyidagi  ifodaga  ega 
boMamiz:
E J 6 0Z -  —  F t   = 0 ,  bundan  E J 6 0 = —  F t   kelib  chiqadi. 
Topilgan  qiymatini  (a)  tenglamaga qo‘yib,  ikkinchi  nom a’lumni  topamiz:
E jy  0 = - ғ е ~ —   ғ е = - - ғ е
6 
12 
4
3
Endi  unversal  tenglamadan  balkaning o'rtasidagi,  y a’ni  x  = 
nuqtada­
gi  solqilikni  aniqlaymiz:
EJy0  -   - 4 F e *  +  {2  F f - - - i - F ^ L - L  + 2F^2L
2 
6 
6
\3
e - i
- e - t '
2 F \ 2
P
24
yoki  у  =
19 F t  
192 E J
Xulosa.  Mazkur  bobda  balkalarning  solqiligi  va  burilish  burchagi  tushun- 
chalari  bilan  tanishdik.  Balka  egilgan  o ‘qining  differensial  tenglamasini  tu- 
zish  va  uni  integrallashni  o ‘rgandik.  Bobga  boshlangMch  parametrlar  usuli 
bilan  yakun  yasadik.
Bilim ingni  sinab  k o ‘r
1.  Egilgan  balka  o‘qining  differensial  tenglamasi  qanday  yoziladi?
2.  Differensial  tenglamalarning  ishoralari  qanday  qabul  qilinadi?
3.  Differensial  tenglamani  integrallashdan  hosil  boMgan  ixtiyoriy  o'zgarmaslar 
qanday  topiladi?
4.  Balkalar  uchun  asosan  necha  xil  chegara  sharti  bor?
5.  Universal  tenglama  qanday  yoziladi?
6.  Universal  tenglamaning  boshlangMch  parametrlari  qanday  aniqlanadi?

IX  BOB 
KO‘CHISHLARNI  ANIQLASHNING 
UMUMIY  USULLARI
M avzu  m azm uni.  A w algi  boblarda  oddiy  balkalarning  ko‘chishlarini 
an iqlashg a  doir  b a ’zi  xususiy  h ollarni  k o ‘rib  o ‘tdik.  M azkur  bobda 
ko‘chishlarni  aniqlashning  kengroq,  umumiyroq  usullari  bilan,  shuningdek, 
elastik  sistemalarga  oid  umumiy  teoremalar  bilan  tanishamiz.