Матрицалар ва улар устида амаллар

ва

муносабатлар уринли эканлигини куриш кийин эмас.

Натурал к сони учун, куйидаги тенгликлар оркали

А матрицанинг « к-даражаси» ни аниклаймиз.

Таъриф буйича ва деб кабул килинади.

Агар А -матрицани тартиб ракамларини узгартирмаган холда сатрларини устун, устунларини сатр килиб алмаштирсак хосил булган янги матрица А –матрицанинг транспонирлангани деб номланиб, (ёки А^Т) шаклда белгиланади. Масалан, булса, булади.

Юкоридаги алмаштириш матрицани транспонирлаш деб номланади. Транспонирлаш куйидаги хоссаларга эга:

Бу хоссаларнинг исботини хам укувчига хавола киламиз.


Детерминантлар.

Математика ва унинг тадбикларида, хусусан иктисоддаги тадбикларида чизикли тенгламалар системасини ечишга тугри келади. Бундай системаларни ечишда улар билан боглик булган квадрат матрицаларни характерлаш учун уларга детерминант деб номланувчи сон мос куйилади. Бу сон ёки шаклида ифода этилади. Квадрат, матрица детерминантини унинг тартиби n –буйича индукция оркали таърифлаймиз.
булсин, яъни 1-тартибли матрица булсин, А-матрицанинг детерминанти деб, куйидаги сонни оламиз.
тартибли барча квадрат матрицалар учун уларнинг детерминанти аникланган булсин деб фараз киламиз.
1-таъриф. -тартибли матрицанинг элементининг -минори деб, А- матрицани i –сатри ва j- устунини учиришдан кейин хосил булган тартибли матрицанинг детерминантига айтилади.
2-таъриф. n- тартибли матрицанинг -элементининг алгебраик тулдирувчиси - деб куйидаги сонга айтилади

куйидаги йигиндилар - сатр буйича ёйилма йигиндиси эса , j –устун буйича ёйилма деб аталади.
3-таъриф. n – тартибли квадрат матрицанинг детерминанти деб, куйидагича аникланган сонга айтилади:
(1)
Бу таърифдан фойдаланиб 2- ва 3- тартибли детерминантларни хисоблаш учун куйидаги формулаларни хосил кила оламиз:

Куйидаги теорема уринли булади, биз уни исботсиз келтирамиз.
Лаплас теоремаси. Исталган ва лар учун
(2)

тенглик уринли булади. Яъни n- тартибли А-матрица учун унинг барча ёйилмалари унинг детерминантига ва демак узаро тенг булар экан.

1-хосса. Агар -матрицани бирон-бир сатридаги (устунидаги) барча элементлари нолга тенг булса, у холда унинг детерминанти хам нолга тенг булади. Хакикатдан хам, агар матрицанинг i- сатри элементлари булса, (2) формуладан эканлиги келиб чикади. Агар матрицанинг j- устун элементлари булса, Лаплас теоремасидан, яъни (2) тенгликдан эканлиги келиб чикади.