Матрицалар ва улар устида амаллар

Тескари матрица. Матрица ранги.


1-таъриф. квадрат матрицага тескари матрица деб, шундай матрицага айтиладики, унинг учун куйидаги тенглик уринли булади.
2-таъриф. Агар матрица учун булса, бундай матрица хос булмаган матрица, акс холда булганда хос матрица дейилади.
1-Теорема. квадратик матрицага тескари матрица мавжуд ва ягона булишлиги учун, уни хос булмаган матрица булишлиги зарур ва етарлидир.
Зарурлиги. Агар матрица учун, унга тескари мавжуд булса, у холда тенглик уринли булади. Бу ердан 10-хоссани эътиборга олиб, куйидагини хосил киламиз.
(5)
демак булар экан.
Етарлилиги. -матрица хос булмаган матрица булсин, яъни булсин. У холда (4) тенгликдан, матрицаларни узаро купайтириш ва матрицани сонга купайтириш коидасига кура,
(6)
эканлиги келиб чикади.
Энди тескари матрицани ягона эканлигини курсатамиз. Агар матрица матрица учун тескари матрица булса, эканлигини курсатамиз. Хакикатдан хам

Демак, экан.
(5) – тенгликдан эканлиги келиб чикишини таъкидлаб утамиз.
Энди матрица ранги тушунчасини киритамиз. Улчами булган - матрица берилган булсин. деб олсак, -матрицада кандайдир сатр ёки устунларни учириш натижасида, тартиби - дан ошмайдиган квадрат матрицаларни хосил киламиз. Мана шу квадрат матрицаларнинг детерминантлари берилган -матрицанинг минорлари деб айтилади.
3-таъриф. - матрицанинг ранги деб, унинг нолдан фаркли минорларининг энг юкори тартибига айтилиб оркали белгиланади.
Бу таърифдан, агар ва улчами булиб, булса, у холда булар экан.
4-таъриф. Матрица устидаги элементар алмаштиришлар деб куйидаги алмаштиришларга айтилади:
1.Барча элементлари нолдан иборат сатрни (устунни) ташлаб юбориш.
2. Сатрнинг (устуннинг) барча элементларини нолдан фаркли сонга купайтириш.
3. Сатр (устун) уринларини алмаштириш.
4. Берилган сатр (устун) элементларига бошка бир сатр (устун) элементларини бирон сонга купайтириб кушиш.
5. Матрицани транспонирлаш.