Матрицалар ва улар устида амаллар

2-Теорема. Матрица ранги унинг устида элементар алмаштиришларни бажариш натижасида узгармайди.
Бу теорема исботи юкорида келтирилган детерминантлар хоссаларида тугридан-тугри келиб чикади. Худди шунингдек матрица ранги учун куйидаги хоссалар уринли эканлигини курсатиш мумкин.

, агар ва
лар квадрат матрица булиб, булса.
булсин, унинг сатрларидан куйидаги сатр- векторларни хосил киламиз.

Берилган сатрлар чизикли боглик дейилади, агарда шундай сонлар мавжуд булсаки, улардан биронтаси нолдан фаркли булиб тенглик уринли булса, акс холда улар чизикли эркли сатрлар дейилади. Демак, агар берилган сатрлар чизикли боглик булса, у холда бирон-бир сатр колганларининг чизикли комбинациясидан иборат булади. Айтайлик булса, у холда - сатр колганларнинг чизикли комбинацияси, яъни булар экан. Агарда сатрлар чизикли эркли булса, у холда тенгликдан эканлиги келиб чикар экан. Худди шунингдек устун-векторлар учун юкоридагиларни айтиш мумкин.
Матрицалар учун куйидаги теорема уринли булади.
3-Теорема. Матрица учун унинг чизикли эркли максимал сатрлар сони, чизикли эркли максимал устунлар сонига тенг булади.
4-Теорема. Матрица ранги унинг чизикли эркли максимал сатрлар (устунлар) сонига тенг булади.
Матрица рангини топиш учун матрица устида элементар алмаштиришлар бажариш натижасида, бу матрица учбурчак ёки трапеция куринишга олиб келиш мумкин, яъни
- учбурчак куриниш,
трапеция куриниш