Matritsalar algebrasi

82. Ixtiyoriy kvadrat matritsani simmetrik va kososimmetrik matritsalar yig’indisi ko’rinishida ifodalash mumkinligini isbotlang. Bunday yoyilma yagona bo’ladimi?
83. Berilgan matritsalarni simmetrik va kososimmetrik matritsalar yig’indisiga yoying:
a) ; b) ; c) .
84. Faraz qilaylik, S – xosmas matriya bo’lsin va bo’lsin. isbot qiling simmetriklik va kososimmetrik xossalarning har biri A va B matritsalar uchun bir vaqtda bajariladi (ya’ni biror xossa A matritsa uchun bajarilsa, B matritsa uchun ham bajariladi va aksincha).
85. Har qanday haqiqiy ermit matritsasi simmetrik matritsa ekanligini isbotlang.
86. A va B matritsalar ermit matritsalari bo’lsin. Isbot qilingki:
a) A+B matritsa ermit matritsasidir;
b) AB matritsa ermit matritsasi bo’lishi uchun A va B matritsalar o’rinalmashinuvchi bo’lishi zarur va yetarlidir.
87. A – ermit matritsasi va A+B=iC bo’lsin, bunda B va C matritsalar haqiqiydir. Isbot qilingki, B – simmetrik matritsa, C – kososimmetrik matritsadir.
88. Har qanday kvadrat matritsani ermit va kosoermit matritsalar yig’indisiga yoyish mumkinligini isbotlang. Bunday yoyilma yagonami?
89. Haqiqiy unitar matritsa ortogonal matritsa ekanligini isbotlang.
90. Agar A va B matritsalar ortogonal bo’lsa, AB ortogonal ekanligini isbotlang.
91. Agar A va B matritsalar unitar bo’lsa, AB unitar ekanligini isbotlang.
92. Agar A – ortogonal matritsa bo’lsa, uning ixtiyoriy satr elementlari kvadratlarining yig’indisi 1 ga teng, ikkita har xil satrlarining mos elementlari ko’paytmalarining yig’indisi 0 ga teng ekanligini isbotlang. Bu xossalar aniqlovchi bo’ladimi?
93. Ortogonal matritsaning ustunlari uchun 92 masalaga o’xshash xossalarini ifodalang va uni isbot qiling.
94. Unitar matritsa uchun 92 va 93 masalalar xossalariga o’xshash xossalarni ifodalang va ularni isbot qiling.
95*. O’rinalmashtirish matritsasi ortogonal ekanligini isbotlang.
96. A va B – o’rinalmashtirishlar matritsasi bo’lsa, AB ham o’rinalmashtirish matritsasi ekanligini isbotlang.
97. A matritsa dioganal va ortogonaldir. uning dioganal elementlari _i haqida nima atish mumkin?
98. Berilgan matritslar davriy, nilpotent yoki stoxastik ekanligini tekshiring, ularning davri, nilpotentlik ko’rsatkichini toping:
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) ;

g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; l) .

98–106 masalalarda ifodalangan kvadrat matritsalarning xossalarini tekshiring.

99. Nilpotent matritsa doimo xos matritsadir, davriy matritsa xosmasdir.
100*. Agar A – ikkinchi tartibli nilpotent matritsa bo’lsa, bo’ladi.
101. Uchburchakli matritsa nilpotent bo’lishi uchun uning hamma dioganal elementlari nolga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.
102*. Agar A va B matritsalar nilpotent va o’rinalmashuvchi bo’lsa, A+B va AB matritsalar nilpotentdir.
103. Agar A va B matritsalar davriy va o’rinalmashtiruvchi bo’lsa, AB – davriy matritsadir. uning birorta davrini A va B matritsalarning davrlari orqali ifodalang.
104*. bo’lsin. A – matritsa davriy ekanligini isbotlang.
105. A matritsa bir vaqtda unitar va ermit matritsasi bo’lsin. A matritsa davriy ekanligini isbotlang.
106. S – xosmas matritsa va bo’lsin. U holda A va B matritsalar uchun davriylik va nilpotentlik xossalarning har biri bir vaqtda bajariladi (ya’ni agar bu xossalar A matritsa uchun bajarilsa, B matritsa uchun ham bajariladi va aksincha).