Mavzu: Algebralar gomomorfizmi. Mundarija kirish

3§ Algebralar va ularga misollar.

Universal algebra.

G berilgan bo’lsin. G ga n-ar algebraik amal ω aniqlangan deyiladi, agar G toplamning ixtiyoriy tartiblangan a₁, a₂…. a_n elementlar sistemasiga shu toplamning elementi bir qiymatli mos kelsa, bu hol a₁, a₂…. a_n ω ko rinishda yoziladi. Ba`zi hollarda bu akslantirish xususiy hol bolib qoladi. Bir qiymatlilik sharti doimo saqlanadi. n-ar hol (n+1)-ar tomondan n=1 da unar amal boladi. Demak bu amal ɄaєG ga aω ni mos qoyadi va u bir qiymatli aniqlanadi. Ya`ni G ni oziga bir qiymatli akslantiradi. n=0 da nular amal bo`ladi. Bu degani G ga aniq bir element fiksirlanadi. U G ga biror element yoki siztemani tanlanishiga bog`liq emas. Gruppada 1 ni olib unga nular amalni qo`llash mumkin. Xalqada nulni olish mumkin. Agar mavjud bo`lsa 1 ni ham.
Ta`rif: G toplam universal algebra deyiladi, agar unda shunday Ω sistema (n-ar algebraik amallar) aniqlangan bo`lsaki va turli ωєΩ amallar uchun, n turlicha boladi va ustma-ust tushadi. Bu amallar sistemasi cheksiz bo`lishi mumkin. Bunga misol qilib cheksiz maydon ustida vektor fazoni olish mumkin. Bunda bitta binar amal (qo`shish). Cheksiz unar operatsiya (songa kopaytirish, darajaga ko`tarish, ildiz chiqarish, train ko`rinishi, qo`shmasi, teskarisi, qarama-qarshi,..), bitta nular amal (nolni fiksirlovchi).
Yana bu algebra(universal)ga gruppoidlar, gruppa, kvizi gruppa, xalqa va hakazolarni misol keltirish mumkin. Gruppani ikki usul bilan universal algebra sifatida qarash mumkin. Bular uchta binary amal kopaytirish, chap va o`ng bolish: amal aniqlangan toplam va unar amal-teskari element, nular amal-birni tanlash. Aniqlangan toplam sifatida qarash mumkin.
Jismni universal algebra deyish mumkin agar und aba`zi algebraik amallar: o`ng va chap bo`lish qaralsa, teskarisining topilgan amali mavjud bolsa. G universal algebra berilgan bo`lsin (Ω sistema bilan) AєG to`plam osti algebra osti deyiladi. (G universal algebraning) agar ixtiyoriy ωєΩ amal uchun a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>…. a<sub>n</sub> єA ekanidan a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>…. a<sub>n</sub> ω єA ekani kelib chiqsa. Bunda ω amali n-ar ligi saqlanadi. Bu tushunchaning xususiy holi sifatida gruppoidning groidastasi tushubiladi. Halqaning halqaostisi va hakazo.
Agar R halqa bir elementga ega bo`lsa va universal algebra sifatida qaralsa, amal sifatida nular amal ham qaralsa birlik elementi mavjud bo`lsa, algebra osti sifatida R da shunday halqa osti qaraladikai, u R ning birlik elementini o`zizda saqlasa o`zini birlik elementi mavjud bo`lgan halqa osti esa algebra osti (universal algebraning) bo`lmaydi.
G universal algebraning algebra ostilari kesishmasining ixtiyoriy sistemasi shu algebraning algebra osti bo`ladi. Yuqorida aytilganlarda quyidagi hulosaga kelish mumkin. Agar G universal algebradan ixtiyoriy bo`sh bo`lmagan M to`plam olinsa, shunday bir qiymatli aniqlangan {M} algebra osti mavjud bo`ladiki, M ni o`zida saqlovchi algebra ostilari ichida eng kichigi bo`ladi. Bulardan biri G ni o`zi bo`ladi. Ωva Ω<sup>`</sup> sistemalarni o`zida saqlovchi G va G` universal algebralar bir tipli deyiladi, agar ωєΩ va ω`єΩ amallar o`rtasida n-arlikda n lar bir xil bo`lib, Ωva Ω` lar orasida bir qiymatli moslik o`rnatish mumkin bo`lsa. Agar bir tipli G va G` universal algebralarda bir xil Ω amallar sistemasi qaralsa, ular o`zaro izomorf deyiladi. Agar shunday o`zaro bir qiymatli akslantirish ϕ mavjud bo`lsaki, (G ni G` ga akslantiruvchi) ixtiyoriy n-ar amal ωєΩ uchun va a₁, a₂…. a_n єϬ elementlar uchun (a₁, a₂…. a_n ω) ϕ=( a₁ ϕ,) ( a₂ ϕ) …. (a_n ϕ) ω (1) shart bajarilsa. Universal algebrada izomorfizm tushunchasi gruppa, halqa yoki qisman tartiblanagan to`plamlarda qanday rol oynasa, shunday rol o`ynaydi. Navbatda izomorflikni bitta umumlashmasi gomomorfizm tushinchasi kiritiladi. Bunda o`zaro bir qiymatlilik emas, bir qiymatlilik (1) shart bajarilishi kerak, G universal algebra unga bir tipli bo`lgan G` universal algebraga akslantiradi. Yuqoridagi ta`rifdan gomomorfizmlar ko`paytmasi yana gomomorfizm bo`ladi. (1) dan kelib chiqadiki, agar Gϕ G ning obrazi bo`lib, ϕ gogomorf akslantirishda Gϕ, G algebraning algebra osti bo`ladi. Gruppoidlarga gomomorfizm tushunchasini qo`llaymiz. Tushunarliki (1) tenglik binar ko`paytmada (ab) ϕ=a ϕ ·b ϕ (2) ga aylanadi. Bunda universal algebra gruppoid bilan bir tipli bo`ladi. Izomorfizmdagi singari gomomorfizmda (G-gruppoidni G` gruppoidga akslantiruvchi) G ga aniqlangan amallar xossalari: komutativlik, assisotivlik saqlanadi.
ϕ -G ni G` ga akslantiruvchi gomomorf akslantirish bo`lsin. Agar G ni birlik elementi R bo`lsa, eϕ-bir bo`ladi. G` ga agar bєG element, aєG element uchun teskari element bo`lsa, u xolda b ϕ , a ϕ uchun teskari element bo`ladi. Haqiqatdan aєG uchun ae=ae=a (2) dan a ϕ ·e ϕ= e ϕ ·a ϕ= a ϕ bo`ladi.