Mavzu: Chiziqli boshqarish sistemalari. Tezkorlik masalalari Reja Kirish Asosiy qism

Kurs ishining obekti va predmeti: Chiziqli boshqarish sistemasi, yechimlarning fundamental matrisasi, Koshi formulasi, erishish to’plami, ekstremal prinsip, regulyar chiziqli sistema,normal chiziqli sistema, optimallikning zaruriy shartlari, optimallikning yetarli shartlari, maksimum sharti, maksimum prinsipi, chiziqli statsionar tezkorlikmasalasi, optimal boshqaruv sintezi.
Chiziqli boshqarish nazariyasi XX asrning 50-yillari o’rtalarida fan va yangi texnika rivojlanishining masalalariga javob sifatida paydo bo’ldi. Unda asosiy natijalar sifatida Pontryaginning maksimum prinsipi va Bellmanning dinamik programmalashtirish usuli tan olingan.
Bugungi kunda mamlakatimizda olib borilayotgan iqtisodiy islohotlar iqtisodiy jarayonlarni optimallashtirishni talab qiladi. Shu nuqtai-nazardan qaraganda bunda paydo bo’ladigan masalalarning matematik modellarini o’rganish muhim ahamiyatga ega. Bunday modellar orasida dinamik va diskret optimal boshqarish masalalari alohida o’rin egallaydi. Shu sababli ularni Pontryaginning maksimum prinsipi yordamida tadqiq qilish dolzarb masala bo’lib hisoblanadi.
Tadqiqotning ilmiy yangiligi: Ishda maksimum prinsipining iqtisodiy modellarni o’rganishga tadbiqiga doir yangi natijalar keltirilgan hamda maksimum prinsipini qullash algoritmining dasturi ishlab chiqilgan.
Kurs ishi tarkibining qisqacha tavsifi: Kurs ishi ishi kirish qismi, 1 ta bob, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati va ilovadan iborat.

1. 
   Chiziqli boshqarish sistemasi. Ekstremal prinsip.
   

Boshqarilayotgan obyektining harakati (jarayon),
(1)
vektorli chiziqli differensial tenglama bilan berilgan bo’lsin, bu yerda holat vektori , boshqaruv vektori, boshqaruvlar to’plami, t-vaqt, t₀-boshlang’ich vaqt momenti.
(1) tenglamada o’lchovli A(t) matrisa va o’lchovli B(t) matrisa elementlarini nuqtalarda uzluksiz deb faraz qilamiz. V boshqaruvlar to’plamini R^m ning bo’sh bo’lmagan qavariq kompakt to’plami deb hisoblaymiz.
Odatdagidek, (1) boshqarish sistemasi uchun joyiz boshqaruvlar sifatida, V boshqaruvlar to’plamidan qiymatlar qabul qiluvchi bo’lakli-uzluksiz - vektor-funksiyalarni qaraymiz va bunday boshqaruvlar to’plamini U deb belgilaymiz.
Differensial tenglamalar kursidan yaxshi ma’lumki, har bir - joyiz boshqaruvga va
(2)
boshlang’ich shartga (1) tenglamaning - oraliqda bo’lakli-silliq - yechimi mos keladi hamda bu yechim
(3)
Koshi formulasi [2] orqali ifodalanadi, bu yerda tenglamaga mos
(4)
bir jinsli tenglama yechimlarining fundamental matrisasidan iborat, ya’ni - o’lchovli matrisa bo’lib, uning i- ustuni (4) tenglamaning (eⁱ-E birlik matrisaning i-ustuni) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimidan iborat.
(3) formulaga ko’ra , trayektoriyaning t=t₁ vaqt momentiga mos nuqtasi,
(5)
ko’rinishda bo’ladi. Barcha boshqaruvlarga mos (5) ko’rinishdagi nuqtalarni qaraymiz. Ular Rⁿ da qandaydir Q(t₁) to’plamni hosil qiladi. Shu to’plamni (1),(2) boshqarish sistemasining t₁ vaqt momentidagi erishish to’plami deb ataymiz. Demak, ta’rifga ko’ra,
.
Q(t₁) to’plam elementlarinig (5) ko’rinishda ifodalanishidan va V boshqaruvlar to’plamining qavariq kompaktligidan, Q(t₁) to’plamning ham chegaralangan qavariq to’plam ekanligi kelib chiqadi.
Endi Q(t₁) to’plamning yopiqligini ta’minlovchi shartni keltiramiz. Bu shart (1) sistemaning regulyarlik xossalari orqali ifodalanadi.
Avvalo V boshqaruvlar to’plamining k-o’lchamli yoqi tushunchasini keltiramiz.
Agar SV qism to’plam V to’plamga o’tkazilgan, normallari chiziqli bog’lanmagan m-k ta tayanch tekisliklar kesishmasiga tegishli bo’lsa, S to’plam,
V ning k-o’lchovli yoqi deyiladi. V to’plamning o’zini esa, m-o’lchovli yoqdan iborat deb hisoblaymiz.
Agar ixtiyoriy vektor va ixtiyoriy kesma uchun funksiya V to’plamning har bir k- o’lchamli yoqiga oraliqning chekli sondan ko’p bo’lmagan nuqtalari yoki kesmalarida ortogonal bo’lsa, (1) sistema regulyarlik shartini qanoatlantiradi, deyiladi.
Quyidagi tasdiq o’rinli: