Mavzu: Chiziqli boshqarish sistemalari. Tezkorlik masalalari Reja Kirish Asosiy qism

3-teorema (maksimum prinsipi). Faraz qilaylik, (1) sistema uchun regulyarlik sharti bajarilsin. Agar (12) masalaning yechimi bo’lsa, shunday trivial (aynan nol) bo’lmagan ψ^*(t) vektor funksiya topiladiki, (22)-(25) shartlar bajariladi.
4. Chiziqli statsionar tezkorlikmasalasi. Quyidagi
(26)
tezkorlikmasalasini qaraymiz, bu yerda A-nn- matrisa va B-nm- matrisalar o’zgarmas, qavariq kompakt ko’pyoqlidan iborat.
4-lemma. [2]. Agar V ko’pyoqlining istalgan qirrasiga parallel bo’lgan w vektor uchun
(27)
bo’lsa, (26) sistema uchun normallik sharti bajariladi.
Yuqorida keltirilgan natijalar (26) statsionar tezkorlikmasalasi uchun quyidagi teoremada aniqlashtiriladi.
4-teorema. Faraz qilaylik, (26) sistema uchun (27) shart bajarilsin.
U vaqtda:
a) chiziqli statsionar tezkorlikmasalasining yechimi uchun shunday ψ^*(t) funksiya mavjud bo’ladiki,
(28)
(29)
shartlar bajariladi va u^*(t) boshqarish da bo’lakli o’zgarmas bo’lib, uning qiymatlari V ko’pyoqlining uchlaridan iborat (bu yerda ).
b) agar V ko’pyoqlining u¹ ichki nuqtasi uchun shart bajarilsa va funksiyalar (28),(29) shartlarni va tenglikni qanoatlantirsa, u^*(t)- optimal boshqaruv, x^*(t)- optimal trayektoriya. - optimal vaqt momenti bo’ladi.
v) optimal boshqaruv yagonadir.
Isboti. Teoremaning a) tasdig’i 3-teoremaning natijasidir. b) tasdiq esa, 4-lemmani hisobga olgan holda, normallik shartidan va (29) maksimum shartidan kelib chiqadi. b) tasdiqni (26) masalaning xususiy holi bo’lgan,
(30)
masala uchun isbotlaymiz, bu yerda A-nn matrisa, ,u- skalyar boshqaruv parametri.
(30) sistema uchun (27) shart,
(31)
ko’rinishda bo’ladi.
Asosiy va qo’shma sistemalardan iborat,

sistemani qanoatlantiruvchi ixtiyoriy funksiyalar uchun u(t) ning uzluksizlik nuqtalarida quyidagi

tenglik bajariladi. Bu tenglikni [,] oraliqda integrallab,
(32)
tenglikni hosil qilamiz.
Faraz qilaylik, u^*(t)- boshqaruv va unga mos funksiyalar oraliqda (28),(29) hamda shartlarni qanoatlantirsin, ammo u^*(t) optimal bo’lmasin. U holda, shunday u⁰(t),t[0,t⁰] boshqaruv mavjudki, unga mos x⁰(t) trayektoriya shartlarni qanoatlantiradi va tengsizlik bajariladi. (32) munosabatdan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz:
(33)
Teoremaning shartiga ko’ra, u⁰(t),t[0,t⁰], boshqaruv maksimum prinsipini qanoatlantiradi, ya’ni

tengsizlik bajariladi. Shuning uchun, (33) dan, tengsizlik kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan, maksimum shartiga ko’ra,

bo’lgani uchun, ko’rinishda bo’ladi. (31) shartdan , bo’lishi kelib chiqadi. Shunday qilib, ekanligini hisobga olsak, (32) ga asosan,

munosabat bajariladi. Olingan qarama-qarshilik, boshqaruvning optimalligini ko’rsatadi. Teorema isbotlandi.
Optimal boshqaruvlarni qurishda quyidagi natija ham muhim ahamiyatga ega [2,3].