Mavzu: Chiziqli boshqarish sistemalari. Tezkorlik masalalari Reja Kirish Asosiy qism

1-lemma. [2] Agar (1) sistema regulyarlik shartini qanoatlantirsa, Q(t₁)- yopiq, chegaralangan, qavariq to’plam bo’ladi.
Chiziqli boshqarish sistemalarini o’rganishda, ekstremal prinsip deb ataluvchi, quyidagi tasdiqdan keng foydalaniladi.
2-lemma. Faraz qilaylik, (1) sistema regulyarlik shartini qanoatlantirsin. U vaqtda har bir vektor va son uchun Q(t₁) to’plamning shunday chegaraviy nuqtasi mavjul bo’ladiki, unda
(6)
munosabat bajariladi. (6) tenglikning o’rinli bo’lishi uchun, shunday boshqaruv topilib,
(7)
(8)
tengliklarning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isboti. 1-lemmaga ko’ra Q(t₁) to’plam kompakt bo’lganligi uchun, Veyershtrass teoremasidan, uzluksiz funksiyaning Q(t₁) da global maksimum nuqtasi mavjudligi kelib chiqadi, ya’ni (6) tenglik bajariladi. Bu nuqta to’plamning chegaraviy nuqtasi bo’ladi. Haqiqatan ham, agar deb faraz qilsak, yetarli kichik ε>0 uchun bo’ladi va , ya’ni (6) ga zid munosabat bajariladi.
Q(t₁) to’plamning aniqlanishiga ko’ra, nuqta, biror boshqaruv yordamida, (7) formula bo’yicha hosil qilinadi. Endi (6) shartni ko’rinishda yozib va bu yerga nuqtaning (7) ifodasini va nuqtaning, Koshi formulasi orqali,

ifodasini qo’ysak, quyidagi
(9)
munosabatni hosil qilamiz. Bu tengsizlik ixtiyoriy boshqaruv uchun, jumladan,
(10)
ko’rinishdagi boshqaruv uchun ham bajariladi, bu yerda -yetarli kichik . Agar (10) boshqaruvni (20) ga qo’yib, uni ε>0 ga bo’lsak va ε→0 da limitga o’tsak,

tengsizlikni hosil qilamiz. Bu esa, vektorning ixtiyoriyligiga ko’ra,
(11)
tenglikning bajarilishini ko’rsatadi. Shunday qilib, (8) tenglik barcha uchun bajarilishi ko’rsatildi. Agar u(t) boshqaruvning bo’lakli uzluksizligini hisobga olsak, uni t=t₀ nuqtada chapdan uzluksiz deb hisoblashimiz mumkin. Natijada, (11) da da limitga o’tsak, uning nuqtada ham o’rinli ekanligini ko’ramiz. Shunday qilib, (8) tenglikning barcha - uchun to’g’riligi ko’rsatildi. Lemma isbotlandi.
Keltirilgan ekstremal prinsip sodda geometrik ma’noga ega.Ekstremal prinsipga ko’ra, (8) shartni qanoatlantiruvchi boshqaruvlar (ularni ekstremal boshqaruvlar ham deb ataydilar ) va faqat shu boshqaruvlargina chiziqli sistema trayektoriyasinii erishish to’plami chegaraviy nuqtasiga o’tkazadi. (8), (7) formulalar bo’yicha u(t) boshqaruvni va nuqtani hosil qiluvchi c≠0 vektor esa, Q(t₁) to’plamdagi nuqtaga o’tkazilgan tayanch tekislikning normalidan iborat (1-rasm).

Yuqorida ta’kidlanganidek, chiziqli sistema uchun regulyarlik sharti erishish to’plamining yopiqligini ta’minlaydi. Endi erishish to’plamining yopiqligi bilan bir qatorda uning qat’iy qavariqligini ham ta’minlovchi yana bir shartni keltiramiz. U normallik sharti deyiladi.

1. 
   chiziqli sistema uchun normallik sharti, har bir c≠0 va t₁>t₀ da (8) maksimum shartidan u(t) bo’lakli-uzluksiz funksiyaning [t₀,t₁] dagi barcha uzluksizlik nuqtalarida bir qiymatli aniqlanishini ifodalaydi.
   

Normallik sharti, regulyarlik shartidan kuchliroq talabdir, chunki normallik shartiga ko’ra, ixtiyoriy c≠0 va t₁>t₀ uchun funksiya V to’plamning yoqlariga [t₀,t₁] oraliqning faqat alohida olingan nuqtalaridagina ortogonal bo’lishi mumkin, ya’ni [t₀,t₁] ning qism intervallarida ortogonallik qaralmaydi.