Mavzu: Chiziqli boshqarish sistemalari. Tezkorlik masalalari Reja Kirish Asosiy qism

6. Ekstremal boshqaruvlar. Agar , , , funksiyalar oraliqda asosiy va qo’shma sistemani hamda maksimum shartini qanoatlantirsa, ya’ni
(38)
(39)

(40)

munosabatlar bajarilsa, joyiz boshqaruvga ekstremal boshqaruv deyiladi.
Maksimum prinsipi optimallikning zaruriy shartidan iborat, ya’ni ekstremal boshqaruvlar orasida optimal bo’lmaganlari ham topiladi.
1-misol.
(41)

Bu masala (4) ko’rinishdagi terminal boshqarish masalasidir: , .

Gamilton-Pontryagin funksiyasini tuzamiz:

.

Qo’shma sistemani tuzamiz:

Bu sistemaning

shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi,

bo’ladi. Qaralayotgan masala uchun (4) maksimum sharti,

ko’rinishga keladi. Demak, har bir
(42)
joyiz boshqaruv – ekstremal boshqaruv bo’ladi.
(43)
ko’rinishdagi boshqaruv ham ekstremal boshqaruv bo’ladi, chunki unga mos keluvchi trayektoriyaning birinchi komponentasi

bo’lib,

,
ya’ni (42) shart bajariladi. (43) boshqaruv ekstremal boshqaruv bo’lsa-da, optimal boshqaruv emas. Haqiqatan ham, joyiz boshqaruv uchun (43) uchun esa, ya’ni .
Ekstremal boshqaruvlarning muhim xossalarini quyidagi teoremada keltiramiz.
2-teorema. – ekstremal boshqaruv bo’lsin. U vaqtda:
1) funksiya oraliqda uzluksiz;
2) ning har bir uzluksizlik nuqtasida
(44)
tenglik bajariladi.
Isboti. Teoremaning birinchi tasdig’i isbotini keltiramiz. (40) munosabatga ko’ra, t va vaqt momentlari uchun,

tengsizliklar bajariladi. Bu yerdan,
(45)

Olingan (45) tengsizlikning chap va o’ng tomonlari da nolga intiladi. Demak, , . Bu esa, H(t) funksiyaning ixtiyoriy nuqtada uzluksizligini ko’rsatadi.

Teoremaning ikkinchi tasdig’i isbotini adabiyotlardan ([6] dan) qarash mumkin.


Xulosa
Chiziqli boshqarish sistemasi, yechimlarning fundamental matrisasi, Koshi formulasi, erishish to’plami, ekstremal prinsip, regulyar chiziqli sistema,normal chiziqli sistema, optimallikning zaruriy shartlari, optimallikning yetarli shartlari, maksimum sharti, maksimum prinsipi, chiziqli statsionar tezkorlikmasalasi, optimal boshqaruv sintezi.
Chiziqli boshqarish nazariyasi XX asrning 50-yillari o’rtalarida fan va yangi texnika rivojlanishining masalalariga javob sifatida paydo bo’ldi. Unda asosiy natijalar sifatida Pontryaginning maksimum prinsipi va Bellmanning dinamik programmalashtirish usuli tan olingan.
Bugungi kunda mamlakatimizda olib borilayotgan iqtisodiy islohotlar iqtisodiy jarayonlarni optimallashtirishni talab qiladi. Shu nuqtai-nazardan qaraganda bunda paydo bo’ladigan masalalarning matematik modellarini o’rganish muhim ahamiyatga ega. Bunday modellar orasida dinamik va diskret optimal boshqarish masalalari alohida o’rin egallaydi. Shu sababli ularni Pontryaginning maksimum prinsipi yordamida tadqiq qilish dolzarb masala bo’lib hisoblanadi.