Мавзу: Дифференциал тенглама хақида тушунча

Маъруза №4

Мавзу: Биринчи тартибли чизиқли тенгламалар.
Бернулли, Риккати, тенгламалари.

Р е ж а

1. Чизиқли тенглама ва уни ечишнинг ўрнига қўйиш усули.
2. Ихтиёрий ўзгармасини вариациялаш усули.
3. Бернулли тенгламаси.
4. Риккати тенгламаси.
1. Таъриф. Номаълум функция ва унинг ҳосиласига нисбатан чизиқли (биринчи даражали) бўлган тенгламалар биринчи тартибли чизиқли тенгламалар дейилади.
Биринчи тартибли чизиқли тенгламаларнинг умумий кўриниши қуйдагича бўлади:
(1)
бу ерда лар нинг маълум узлуксиз функциялари (ёки ўзгамасидир). Агар (1) тенгламаниг ўнг тамони = 0 бўлса, (1) тенглама чизиқли бир жинсли ( бошқача маънода ), акс ҳолда, яъни бўлса чизиқли бир жинсли бўлмаган тенглама дейилади.
Айтайлик, ( 1 ) тенглама бир жинсли бўлмасин, яъни тенг бўлсин. Бу тенгламани интеграллаш ( ёки ечимини топиш ) нинг 2 усулини келтирамиз. Биринчиси а)ўрнига қўйиш усули ва иккинчиси б)ўзгармасни вариациялаш усули.
Бир жинсли чизиқли тенглама бўлган ҳолни алоҳида қараб чиқиш шарт эмас, чунки бўлганда (1) тенглама айни вақтда ўзгарувчиларни ажратиладиган тенглама бўлади.
а) ўрнига қўйиш усули. (1) тенгламада деб ўзгарувчини алмаштирамиз. Бу билан у ўрнига изланётган янги ўзгарувчи, масалан, ни киритган бўламиз,шу сабабли иккинчи ўзгарувчи ни ёрдамчи ўзгарувчи деб қараб уни ўз ҳохишимизга кўра танлашимиз мумкин. Келгусида шундай қилинади ҳам, яъни ( 1 ) да алмаштириш бажарамиз. ва нинг ва орқали ифодаларини ( 1 ) га қуямиз:


(2)
Ёрдамчи формала ни танлаш мумкинлигидан фойдаланиб, уни ўрта қавс ичидаги ифода 0 га айланадиган қилиб оламиз, яъни
( 3 )
талаб қиламиз. Бу ўзгарувчиларга ажратиладиган тенглама (3) дан
=> => (4)
- ни бу ифодасини (2) тенгламага қўйсак, учун ўзгарувчилари аратиладиган тенгламани ҳосил қиламиз, яъни (3) ўринли бўлса ( 2 ) қуйидагича бўлади.

( 4 ) дан эса


(5)
(6)


бўлгани учун (4) ва (6) дан (1) тенгламанинг умумий ечими узил-кесил қуйидагича кўринишида бўлади:
(7)
( 3 ) тенгламанинг интеграллашдан ҳосил бўлган ўзгармас ни га купайтирганда қисқариб кетгани учун (4) ечимда олдиндан деб олиш ва (3) чи тенгламанинг умумий ечими ўрнига

хусусий ечимни олиш мумкин эди, амалда шундай қилинади. Ўрнига қуйиш усули битта (1) тенгламани ўзгарувчиларга ажраладиган иккита (3) ва (5) тенгламаларнинг ечимларини излашга олиб келади.