Мавзу: Дифференциал тенглама хақида тушунча

1) Эквивалентлик леммаси. Агар функция нуқтани ўз ичига олган бирор интервалда аниқланган бўлиб, (1) ва (2) Коши масаласининг ечими бўлса, у ҳолда функция интервалда
(3)
интеграл тенгламанинг ечими бўлади, аксинча агар функция интервалда узлуксиз бўлиб, (3) тенгламанинг ечим бўлса, у ҳолда функция (1) ва (2) Коши масаласининг ҳам ечими бўлади.
Исбот. функция (1) тенгламанинг ечими бўлгани учун уни айниятга айлантиради, яъни:

Бу айниятни дан гача интеграллаймиз.
эканини ҳисобга олиб):

Бундан функция (3) интеграл тенгламанинг ечими экани келиб чиқади. Энди функция (3) тенгламанинг ечими бўлсин. Ундан экани ва

дан функция (1) тенгламанинг ечими эканлиги келиб чиқади. Лемма исбот бўлди.
2) Гроноулл леммаси. Агар функция интервалда , узлуксиз бўлиб, шу интервалда ушбу
(4)
интеграл тенгсизликни қаноатлантирса, шу функция учун қуйидаги


(5)

тенгсизлик ўринли бўлади.

Исбот. Ушбу

белгилашни киритамиз.Лемма шартига кўра , бўлгани учун ва ҳам интервалда узлуксиз бўлади. Шунинг учун функция ўша ёпиқ интервалнинг бирор нуқтасида максимумга эришади. (4) муносабатга функция учун ифодани қўйиб, деймиз:

Бундан келиб чиқади. Демак,

яъни . Лемма исбот бўлди.
Гроноулл леммасидан натижа сифатида бўлганда (5) га кўра келиб чиқади.


Маъруза № 8.
Мавзу: Ҳосилага нисбатан ечилмаган тенгламалар. Параметр киритиш усули.
Режа:

1. 
   Ҳосилага нисбатан ечилмаган биринчи тартибли тенглама.
   
2. 
   -чи даражали биринчи тартибли тенглама.
   
3. 
   - га нисбатан ечилган ва қатнашмаган тенглама.
   
4. 
   - га нисбатан ечилган ва қатнашмаган тенглама.
   
5. 
   ёки га нисбатан ечилмаган тенглама.
   
6. 
   Параметр киритиш усули.
   

1. 
   Шу пайтга қадар ҳосилага нисбатан ечилган, яъни
   

(1)
кўринишдаги дифференциал тенгламаларни текшириш билан чекланиб келдик. Бироқ, олдинги маърузаларда айтиб ўтилганидек, биринчи тартибли тенглама умуман айтганда,
(2)
Кўринишга эга бўлиши мумкин, шу билан бирга (2) кўринишдаги тенгламадан (1) кўринишдаги тенгламага ҳар доим ҳам ўтиш мумкин бўлавермайди. Бундай ҳолда (2) тенглама ҳосилага нисбатан ечилмаган дифференциал тенглама дейилади. (2) дифференциал тенгламани интеграллаш масаласини параметр киритиш усули билан ҳосилага нисбатан ечилган тенгламани интеграллаш масаласига келтириш мумкин.
(2)тенгламанинг айрим хусусий ҳолларини қараб чиқамиз ва уларни интеграллаш йўлларини кўрсатамиз.
2. -даражали биринчи тартибли тенгламанинг чап томони га нисбатан бутун рационал функциядан иборат, яъни қуйидаги кўринишга эга:

бу ерда бутун сон, лар ва нинг функциялари.
Бу тенгламани га нисбатан еча оламиз деб фараз қилайлик. Бунда учун, умуман айтганда та ҳар хил ифода ҳосил бўлади:


(3)

Бу холда (2) тенгламани интеграллаш биринчи тартибли та (1) тенгламани интеграллашга келтирилди. Уларнинг умумий интеграллари мос равишда қуйидагилар бўлсин:

(4)

(4) интегралларнинг чап томонларни ўзаро кўпайтириб, нолга тенглаймиз:

(5)

Агар (5) тенгламани га нсбатан ечадиган бўлсак, (2) тенгламанинг ечимини хосил қиламиз. Хақиқатан хам (5) тенгламанинг хар қандай ечими (4) тенгламаларнинг бирини, бинобарин, (1) тенгламаларнинг биронтасини ва шундай қилиб, (2) тенглама (1) тенгламаларга ёйилгани учун уни хам қаноатлантиради. Умумийликка зиён келтирмасдан, (5) даги барча ўзгармасларни битта билан алмаштириш ва тенгламани

(6)

кўринишда ёзиш мумкин, бу (2) тенгламанинг умумий ечими бўлади. Бунга ишонч хосил қилиш учун (6) тенгламанинг та тенгламага ажралишини кўриш мумкин:

(7)

Бу ерда - исталган қийматларни қабул қилувчи ихтиёрий ўзгармас, шу сабабли (4) тенгламадан хосил қилинадиган барча ечимлар (7) тенгламадан хосил қилинадиган ечимлар орасида бўлади.

Мисол. Ушбу тенгламанинг умумий интегралини топамиз. Тенгламанинг чап томонини кўпайтувчиларга ажратиб, қуйидагини хосил қиламиз.

бу ердан ва . Бу иккала тенглама ўзгарувчилари ажраладиган тенгламадир. Унинг умумий интеграллари:

Шунинг учун берилган тенгламанинг умумий интеграли ушбу кўринишда бўлади: