Мавзу: Дифференциал тенглама хақида тушунча

4.Риккати тенгламаси.
Баъзи тенгламалар ўзгарувчини алмаштириш ёрдамида Бернулли тенгламасига келтирилади. Масалан, Риккати тенгламаси унинг битта хусусий ечими маълум бўлганда Бернулли тенгламасига келтирилади. Ушбу
(12)

кўринишдага тенглама Риккати тенгламаси дейилади.

функция (12) тенгламанинг хусусий ечими бўлсин. Агар алмаштиришни бажарсак

келиб чиқади.

эканилигини эътиборга олсак, ушбу

Бернулли тенгламаси ҳосил қиламиз.

Маъруза 5

5. Мавзу: Тўлиқ дифференциалли тенглама. Интегралловчи кўпайтувчи.

Режа:

1. 
   Тўлиқ дифференциалли тенглама .
   
2. 
   Функция тўлиқ дифференциалли бўлишининг зарурий ва етарли шарти.
   
3. 
   Интегралловчи кўпайтувчи.
   

1. 
   Агар
   

(1)

тенгламанинг чап томони бирорта функциянинг тўлиқ дифференциали, яъни

бўлса, (1) тенглама тўлиқ дифференциалли тенглама дейилади. Бу ҳолда уни қуйидагича ёзиш мумкин:

Буни интеграллаш билан қуйидаги умумий интегрални (ечимни) ҳосил қиламиз:

+уйидаги саволнинг юзага келиши табиий: қандай шартларда (1) тенглама тўлиқ дифференциалли тенглама бўлади ва функция қандай топилади? +уйидаги теорема бу саволга жавоб беради.

2. 
   Теорема. Ушбу
   

(2)
дифференциал ифода (бу ерда ва функциялар текисликнинг соҳасида аниқланган ва узлуксиз бўлиб, узлуксиз
ва хусусий ҳосилаларга эга) бирорта функциянинг тўлиқ дифференциалли бўлиши учун соҳанинг барча нуқталарида
(3)
шарт бажарилиши зарур ва етарлидир.
Исбот. Дастлаб бу шартнинг зарурлигини исбот қиламиз. Бунинг учун шундай V(x,y) функция мавжудки, унинг учун бўлади деб фараз қиламиз ва (3) тенгликни исбот қиламиз. функциянинг тўлиқ дифференциалли

ифода бўлади. У (2) га тенг бўлгани сабабли исталган ва учун ўринли бўлган

айниятга эга бўламиз. ва олдидаги кўпайтувчиларни таққослаб топамиз:

1-тенгликнинг икала томонини у бўйича, 2-тенгликни бўйича дифференциаллаймиз, натижада:



бўлгани учун бўлади.
Теорема шартига кўра аралаш ҳосилалар тенг бўлади, яъни

Буларни чап томони мавжуд бўлгани учун (хусусий ҳосилалар узлуксизлигидан)
бу ҳосилалар мавжудки, яъни бўлади,  аралаш ҳосила тенг бўлади. Бундан келиб чиқади.
Энди етарлилигини исбтлаймиз. Бунинг учун (3) шарт бажарилган деб, фараз қиламиз. (2) ифода бирорта V(x,y) функциянинг тўлиқ дифференциали бўлишини, яъни
(4)
тенглик ўринли эканлигини исбот қиламиз.
Бу билан масала хусусий ҳосилалаи иккита дифференциал тенгламадан иборат (4) системани қаноатлантирувчи V(x,y) функцияни топишга келтирилади:
(4) тенгламаларнинг биринчисини оламиз:
буни оралиқ бўйича интеграллаб қуйидаги ечимни топамиз:
(5)
бу ерда соҳанинг бирорта нуқтасининг абциссаси эса унинг ўзгармаснинг ўрнини босувчи бирорта функция, чунки бўйича дифференциалласак, яна олдинги тенглама ҳосил бўлади ( ). ни шундай аниқлаймизки, (4) тенгламаларнинг иккинчиси ҳам қаноатлантирилсин. (5) ни иккала қисмини у бўйича дифференциаллаймиз, у ҳолда

бироқ бўлгани учун ва аниқ интегрални параметр бўйича дифференциаллаш теоремасига кўра



Бўлгани учун

Шартга ((3) шарт) га кўра

Кейинги интеграл



га тенг, шу сабабли
ни гача интеграллаймиз ( бўйича) бу ердан

бу ерда соҳадаги нуқтанинг ординатаси , -ўзгармас.
ни топилган қийматини (5) тенгликка қўйиб, қуйидагини ҳосил қиламиз:
(6)
Шундай қилиб функциянинг мавжуд эканлигини исботланибгина қолмасдан, ҳатто бу функцияни топиш учун формула ҳам келтириб чиқарилди.
Аслини олганда тегишли масалалар ечганда тайёр (6) формуладан фойдаланмасдан, умумий ҳолдаги каби йўл тутиш мумкин (ёки аниқ интегралларни аниқмасс интеграллар билан алмаштириш керак)
Мисол кўрилади.
1-мисол.
3. Агар шарт бажарилмаган бўлса, у ҳолда (1) тенглама тўлиқ дифференциалли тенглама бўлмайди. Бироқ бу тенламани (x,y) функцияга кўпайтириш билан уни тўлиқ дифференциалли тенгламага келтириш мумкин. Бундай функция берилган дифференциал тенглама учун интегралловчи кўпайтувчи дейилади. Ҳар қандай дифференциал тенглама учун интегралловчи кўпайтувчи мавжуд, Бироқ уни топиш осон эмас. (1) тенгламанинг интегралловчи кўпайтувчисини қандай изланишини кўрсатамиз.
Ушбу

тенглама тўлиқ диффренциалли тенглама бўлиши учун

ёки

(7)
шарт бажарилиши керак.
(7) тенглик биринчи тенгламанинг интегралловчи кўпайтувчиларининг дифференциал тенгламасидир, чунки унинг ҳар бир ечими (1) тенгламанинг иккала томонига кўпайтирилгандан сўнг уни тўлиқ дифференциаллардаги тенгламага келтирилади. (x,y) ни топиш учун хусусий ҳосилали (7) дифференциал тенгламани интеграллаш керак. Умумий ҳолда бу масалани ечиш қийин. Агар фақат биргина ёки ўзгарувчига бо\лиқ бўлса, масала анча соддалашади. Биз шу икки ҳолни қараймиз.
1-ҳол. бўлсин. У ҳолда (7) тенглама ушбу кўринишини эгаллайди.

ёки

бу ердан



яъни
(8)
( ўзгармас нолга тенг деб олинган, чунки қандайдир битта интегралловчи кўпайтувчига эга бўлсак, кифоя).
Бу ҳолда ифода га бо\лиқ бўлмаслиги равшан.
2-ҳол. бўлсин. У ҳолда (7) тенглама ушбу кўринишда бўлади:

ёки

бу ердан
(9)

бу ерда деб олинган.

Бу ҳолда ифода -га бо\лиқ эмас.
(1) тенгламани тўлиқ диференциалли тенглама кўринишига келтириш учун қаралаётган хусусий ҳолларда одатда қуйидагича йўл тутилади. ифода тузилади ва унинг га нисбати олинади. Агар бу ифода га бо\лиқ бўлмаса, интегралловчи кўпайтувчини топиш учун (8) формуладан фойдаланиш керак; акс ҳолда ифоданинг га нисбати олинади, агар бу нисбат га бо\лиқ бўлмаса, у ҳолда га бо\лиқ бўлмаган кўпайтувчи мавжуд ва уни (9) формула бўйича топиш мумкин.


-кўринишидаги интегралловчи кўпайтувчи. - берилган функция


(1)


(7)















бо\лиқ бўлса (1) тенглама учун интегралловчи кўпайтувчи
1) мавжуд

2) (10) да

бо\лиқ бўлса мавжуд
3) (10)



бо\лиқ бўлса мавжуд
4) (10) да , ,
бо\лиқ бўлса  мавжуд
5)



мавжуд .


кўринишида интегралловчи кўпайтувчини қидирамиз:

(7) га қўямиз.






бу ерда






Мисол.
Бу тенглама тўлиқ дифференциалли эмас.



ва

Берилган тенглама кўринишида интегралловчи кўпайтмага эга, чунки




Демак,




тенглама тўлиқ диффенренциал тенглама.