Мавзу: электрон рақамли имзо алгоритмлари

ГОСТ Р 34.10-2001 imzo algoritmining to‘g‘riligi. Isbot qilishimiz kerakki, keltirilgan algoritm asosida qo‘yilgan ixtiyoriy imzo shu algoritm bilan tekshirilganda har doim haqiqiy.
Imzoni shakllantirish jarayoniga muvofiq r va s parametrlar n butun songa bo‘lishdagi qoldiq sifatida olinganligi sababli n-1 qiymatdan oshib ketmaydi. Imzoni generatsiya qilish algoritmidagi 3 va 6-qadamlarga ko‘ra r, s 0 shart ham har doim bajariladi. Shunga ko‘ra, imzoni generatsiya qilish algoritmidan olingan r va s parametrlar imzoni tekshirish algoritmining 1-qadamidagi shartni qanoatlantiradi.
Imzoni generatsiya qilishning 5-qadamiga ko‘ra, s = ke+dr (mod n) tenglik bajariladi. Bundan (dr+ke –s)/n =t yoki k=(nt+s-dr)e^-1 ekanligi kelib chiqadi. Oxirgi keltirilgan uchta tenglik ixtiyoriy butun manfiy bo‘lmagan t lar uchun ekvivalent va shu bilan birga t=d da ham bajariladi. Agar t=d bo‘lsa, oxirgi tenglik k=s e^-1 + (n-r)de^-1 ko‘rinishga keladi. Xesh-funksiya qiymati 0<eoraliqda yotadi va n ning tubligidan ЭКУБ(e,n)=1 ekani kelib chiqadi. U holda Eylera – Ferma teoremasiga ko‘ra, e^-1 bo‘ladi. Ushbu taqqoslamadan foydalanib, k parametrni quyidagicha ifodalash mumkin k=s e^-1 + (n-r)de^-1 = s e^n-2 mod n + (n-r)e^n-2 mod n d . Bu yerdan e^n-2 mod n=w shartga ko‘ra k=s w + (n-r)wd ni olish mumkin.
G nuqta n tartibga ega, ya’ni [n] G=E va ixtiyoriy klarda [k] G E bo‘ladi. Ikkinchi tomondan esa:
[k] G=[ s w + (n-r)wd] G=[sw] G+ [(n-r)w] [d] G= [sw] G+ [(n-r)w]Q =
=[u₁]G+[u₂]Q = X.
Demak, imzoni generatsiya qilishdagi 6-qadamdan olingan X nuqta imzoni generatsiya qilish algoritmidan olingan [k] G nuqtaga mos keladi. Imzoni generatsiya qilish algoritmining 3-qadamiga ko‘ra, X nuqtaning birinchi koordinatasi x₁ bo‘lib, uning mod n bo‘yicha qoldig‘i r ga teng, ya’ni x₁ mod n= r. Natijada algoritm korrektligi kelib chiqadi.
Misol: maydonda tenglamaga nisbatan parametrlar tanlansin. p = 8443 ga teng bo‘lsin. Boshlang‘ich nuqta sifatida P(141; 65) nuqtani olamiz. Shularga asosan ushbu elliptik egri chiziqning shu nuqtadagi tartibi n=8297 teng va u tubdir. Umuman olganda ГОСТ Р 34.10-2001 raqamli imzo algoritmida EC DSA -2000 raqamli imzo algoritmidan farqli o‘laroq, elliptik egri chiziqda olingan bazaviy G -nuqtaning tartibi tub bo‘lishi shart emas. Faqat tanlangan р sonning tub bo‘lishining o‘zi yetarli. Ko‘rilayotgan misolda elliptik egri chiziqqa tegishli bo‘lgan bazaviy nuqtaning n -tartibini tub bo‘lganligini esa tasodifiy holat deb qarash mumkin. Quyida imzo algoritmi shartiga ko‘ra ochiq va maxfiy kalitlar tanlanadi.
Imzo qo‘yish kaliti (mahfiy kalit) sifatida – intervaldagi biror soni olinadi.
Imzoni tekshirish kaliti (ochiq kalit) – elliptik egri chiziqdagi nuqta, ya’ni nuqta hisoblanadi.
Bundan tashqari raqamli imzo algoritmida - xesh-funksiyadan ham foydalaniladi. Ushbu misolda xesh qiymat sifatida h=459 qiymat tanlangan.