Mavzu: Funksiyalarni sinflarga ajratish. Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

3. Monoton funksiyalar.
funksiya to’plamda berilgan bo’lsin.
1-Ta’rif. Agar istalgan iar uchun bo’lganda

tengsizlik o'rinli bo'lsa, funksiya to'plamda o'suvchi yoki kamaymovchi (qat’iy o'suvchi) deb ataladi (1- a chizma), (1- b chizma).

1-chizma.
2-Ta’rif. Agar istalgan iar uchun bo’lganda

tengsizlik o'rinli bo'lsa, funksiya to'plamda kamayuvchi yoki o’smovchi(qat’iy o'suvchi) deb ataladi (2- a chizma), (2- b chizma).
O'suvchi va kamayuvchi funksiyalar monoton funksiyalar deb ataladi.

2-chizma
Monoton funksiyalar quyidagi xossalarga ega:
1. Ikkita o'suvchi (kamayuvchi) funksiyaning yig‘indisi yana o'suvchi (kamayuvchi) funksiya bo‘ladi.
2. Ikkita musbat o’suvchi (kamayuvchi) funksiyalarning ko’paytmasi yana o'suvchi (kamayuvchi) bo‘ladi.
3. Agar funksiya o'suvchi bo'lsa, funksiya kamayuvchi bo'ladi va aksincha.
4. Agar funksiya o'suvchi bo'lib, istalgan uchun bo'lsa, funksiya kamayuvchi bo'ladi.
5. Agar funksiya qat'iy o'suvchi bo'lsa, teskari funksiya ning ham bir qiymatli va qat'iy o'suvchi bo'ladi.
1 – teorema. segmentda monoton kamaymaydigan har qanday funksiya shu segmentda o’lchovli, chegaralangan hamda jamlanuvchi funksiyadir.
Isbot. Haqiqatan, funksiyaning segmentda monotonligidan har qanday uchun.

tengsizlik o’rinli. Bunday funksiyaning segmentda chegaralanganligi kelib chiqadi. Endi uning o’lchovi ekanini ko’rsatamiz. Shu maqsadda istalgan haqiqiy son uchun ushbu

to’plamni qaraymiz. funksiyaning monotonligidan tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar mavjud bo’lsa, to’plam yoki segment yoki yarim segment ko’rinishidagi to’plam ekanligi kelib chiqadi. Bu esa to’plamning o’lchovi ekanligini ko’rsatadi. Bundan funksiyaning o’lchovli ekanligi kelib chiqadi.