Mavzu: Funksiyalarni sinflarga ajratish. Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

2 – teorema. Monoton funksiyaning uzilish nuqtalari birinchi turdagi bo’lishi mumkin.
Isbot. Haqiqaan, ixtiyoriy nuqta bo’lib,

ketma – ketlik nuqtaga chapdan yaqinlashsin, ya’ni 1 – teoremaga asosan ketma –ketlik quyidan va yuqoridan mos ravishda va sonlar bilan chegaralangandir. Matematik analizdagi monoton ketma – ketlikning limiti haqidagi teoremaga asosan bunday ketma - ketlik limitga ega. Funksiyaning monotonligiga asosan bu limit nuqta yagonadir. Shu bilan ning mavjudligi isbotlandi. ning mavjudligi shunga o’xshash isbotlanadi.
3 – teorema. Monoton funksiyaning uzilish nuqtalari to’plami ko’pi bilan sanoqlidir.
Isbot. Haqiqatan, segmentda monoton bo’lgan funksiyaning chekli sondagi sakrashlarning yig’indisi ayirmadan katta bo’la olmaydi. Bundan quyidagi muhim natija kelib chiqadi: har bir natural son uchun qiymati dan katta bo’lgan sakrashlar soni cheklidir. Bulardan, bo’yicha qo’shib chiqib, sakrash nuqtalardan iborat to’plam chekli yoki sanoqli degan xulosani olamiz.
2 – ta’rif. Agar segmentda aniqlangan monoton funksiya uchun nuqtada tenglik bajarilsa, u nuqtada chapdan uzluksiz, agarda tenglik bajarilsa, nuqtada o’ngdan uzluksiz funksiya deyiladi.
4- teorema: Chapdan uzliksiz bo’lgan har qanday monoton funksiyani yagona usul bilan uzliksiz monoton funksiya va chapdan uzliksiz bo’lgan sakrash funksiyaning yig’indisi sifatida yozish mumkin.
Isbot: Aytaylik, funksiya chapdan uzliksiz monoton funksiya bo’lsin. Bu funksiyaning uzilish nuqtalarini orqali va bu nuqtalarga mos kelgan funksiyaning sakrashlarini orqali belgilaymiz. orqali quyidagini belgilaymiz:


tenglik bilan aniqlangan funksiya kamaymaydigan uzliksiz funksiya ekanini ko’rsatsak, teorema isbotlangan bo’ladi. Dastlab funksiyaning kamaymaydigan funksiya ekanini ko’rsatamiz. Buning uchun deb olib,

ayirmani qarasak u holda bu tengliknimg o’ng tomonida funksiyaning oraliqdagi to’la orttirmasi bilan uning shu oraliqdagi sakrashlari yig’indisining farqi turganini ko’ramiz. funksiya monoton bo’lgani uchun bu ayirmaning manfiy emasligi ravshan.Demak, kamaymaydigan funksiya ekan. Endi ning uzluksizligini ko’rsatamiz. Buning uchun nuqtani ixtiyoriy tanlab,quyidagi tenglikni yozishimiz mumkin:


Bundan,

tenglikni olamiz, bu yerda son funksiyaning nuqtadagi sakrashi. Bu tenglikdan va funksiyalarning chapdan uzliksizligi hamda nuqtaning ixtiyoriyligidan funksiyaning uzluksizligi kelib chiqadi.
Monoton funksiyalarga misol
1. Aytaylik, segmentdan olingan soni chekli yoki sanoqli nuqtalarga musbat sonlar mos qo’yilgan bo’lib, bo’lsin.
segmentda
(1)
tenglik bilan aniqlangan funksiya sakrash funksiyasi deyiladi. Bu funksiya nuqtadan chapdan uzluksiz monoton funksiyadir. Haqiqatan, natural sonni shunday katta tanlashimiz mumkinki, bo’lganda tengsizlik ham o’rinli bo’ladi. Bundan funksiyaning ta’riflanishiga asosan

tenglik kelib chiqadi. Bundan da

ni olamiz. Agar (1) tenglik bilan
funksiya o’rniga ushbu

tenglik bilan aniqlangan funksiyani olsak, bu funksiya uzilish nuqtalari lardan va bu nuqtalarga mos kelgan sakrashlari sonlardan iborat bo’lgan o’ngdan uzluksiz monoton funksiya bo’ladi.
2. segmentdagi Kantor mukammal to’plamini qaraymiz va funksiyani quyidagicha aniqlaymiz.
Agar
bo’lsa, ;
ikkinchi qadamda tushirib qoldiriladigan intervalda va intervalda va umuman - qadamda tushirib qoldiriladigan chapdan birinchi intervalda , ikkinchi intervalda va hakozo, oxirgi intervalda kabi aniqlaymiz. Bu jarayonni cheksizgacha davom qildiramiz. Natijada funksiya segmentning kantor mukammal to’plamidan boshqa barcha nuqtalarida aniqlangan bo’ladi.
Endi to’plamda funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:Agar bo’lsa,

Bundan tashqari nuqtada deb olsak, funksiyani butun segmentda aniqlagan bo’lamiz. Bu usul bilan aniqlangan funksiya monoton kamaymaydigan uzluksiz funksiyadir.

Xulosa.
Odatda, funksiyalar quyidagi sinflarga ajratiladi: juft va toq, davriy, bir qiymatli va ko’p qiymatli, chegaralangan va chegaralanmagan, monoton, teskari, murakkab va elementar funksiyalar.
Maktab matematikasi kursida funksiya sinflari haqida boshlang’ich tushunchalar va qisqacha ta’rif va shartlari berib o’tilgan. Kurs ishida juft va toq, monoton, davriy, bir qiymatli va ko’p qiymatli funksiyalar sinfi yoritib berilgan. Kurs ishida juft va toq funksiya grafigi uning o’sish va kamayish oralig’lari keltirib o’tilgan. Kurs ishimiz mavzusi funksiyalar sinfi mavzusi edi va bu mavzu atroflicha yoritib o’tildi. Kurs ishidan funksiyalar sinfini o’rganishda qo’llanma sifatida foydalanish mumkin.