Mavzu: Gruppa. Halqa. Maydon reja: kirish. I bob. Algebra va algebraik amallar

II BOB
ASOSIY ALGEBRAIK STRUKTURALAR


2.1-§. Gruppa, yarimgruppa va monoidlar
Algebraik strukturalarning eng sodda va bir vaqtning o‘zida muhim algebraik struktura bo‘lgan gruppani ko‘rib chiqamiz.
Aytaylik A¹Æ to‘plam, * - A to‘plamda aniqlangan binar amal bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar A to‘plamda aniqlangan * binar amal assotsiativ bo‘lsa, ya’ni
"(a,bÎ A), (a*b)*c=a*(b*c)
bo‘lsa, u holda A yarimgruppa deyiladi. Agar * amal + (qo‘shish) amali bo‘lsa, additiv yarimgruppa, × (ko‘paytirish) bo‘lsa, A - multiplikativ yarimgruppa deyiladi.
Agar * amal kommutativ bo‘lsa, ya’ni "(a,bÎ A), a*b=b*a bo‘lsa, A ni kommutativ, agar A chekli bo‘lsa, A ni chekli yarimgruppa deyiladi.
"(a,x, uÎ A), (a*x=a*uÞx=u) va (x*a=u*aÞ x=u)
bo‘lsa, u holda A ni qisqartirishga ega bo‘lgan yarimgruppa deyiladi.
1-misol. M¹Æ, A={j: j: M®M}, * - akslantirishlarning ko‘paytirish (kompozitsiyasi) amalidan iborat bo‘lsin. U holda A yarimgruppa bo‘ladi. Chunki akslantirishlarni ko‘paytirish amali assotsiativlik xossasiga ega.

*	e	a
E	e	a
A	a	a

2-misol. A={e,a} ikki elementli to‘plam bo‘lib, unda aniqlangan * amal Keli jadvali bilan berilgan bo‘lsin, u holda A yarimgruppa bo‘ladi. Lekin u qisqartirishga ega bo‘lmaydi, chunki (a*e=a*a)Ù(e*a=a*a) munosabatlardan a=e bo‘lishi kelib chiqmaydi.