Mavzu: Gruppa. Halqa. Maydon reja: kirish. I bob. Algebra va algebraik amallar

2 – ta’rif. Agar A yarimgruppa bo‘lib, A to‘plam * amalga nisbatan e neytral element mavjud bo‘lsa, u holda monoid deyiladi.
3-misol. Yuqoridagi 2-misolda keltirilgan yarimgruppa monoid bo‘ladi.
4-misol. N algebra multiplikativ monoid bo‘lishini ko‘rsatish oson. N additiv yarimgruppa monoid bo‘lmaydi, chunki N to‘plamda qo‘shish amaliga nisbatan neytral element mavjud emas.
Aytaylik A yarimgruppa bo‘lsin, u holda
"(a₁, a₂,...,a_nÎ A) a₁*a₂*...*a_n (1)
simvolni
a₁* a₂*...*a_n=(a₁* a₂*...*a_n-1)*a_n
maonosida tushuniladi.
Agar * amal + (qo‘shish) dan iborat bo‘lsa, (1)ni qisqacha ko‘rinishda, * amal × (ko‘paytirish) dan iborat bo‘lsa, ko‘rinishda belgilaymiz. Demak,
= a₁+ a₂+...+a_n=( a₁+ a₂+...+a_n-1)+ a_n (2)
= a₁ a₂ ... a_n=( a₁ a₂ ... a_n-1) a_n (3)
Xususiy holda a₁=a₂= ...=a_n=a bo‘lsa, u holda (2) na=(n-1)a+a, (3) esa
aⁿ=a^n-1×a ko‘rinishga keladi.
Algebraning xususiy ko‘rinishlaridan biri gruppa tushunchasi bo‘lib, u matematika va uning tatbiqlarida muhim ahamiyatga ega.
3-ta’rif. G to‘plamda aniqlangan * binar amal quyidagi shartlar (gruppa aksiomalari) ni qanoatlantirsa:
1⁰. "(a,b,c Î G) a * (b*c)=(a*b) *c;
2⁰. $(eÎ G) " (a Î G) a * e=a;
3⁰. " (aÎ G) $ (a'Î G) a* a'=e.
u holda G gruppa deyiladi.
Agar yuqoridagi 1⁰ - 3⁰ shartlarga qo‘shimcha ravishda yana 4⁰ _­ -" (a,bÎG) a*b=b*a bo‘lsa, u holda G ni kommutativ gruppa yoki Abel gruppasi deyiladi. Agar G chekli to‘plam bo‘lsa, G ni chekli gruppa G ning elementlari soni G gruppaning tartibi deyiladi. Agarda G cheksiz to‘plam bo‘lsa, G gruppaning tartibi cheksiz deyiladi.
Agar * binar amal + (qo‘shish) dan iborat bo‘lsa, G gruppani additiv deyiladi. Bu holda "(a,bÎ G) a*b=a+b ko‘rinishda yoziladi va uni a va b elementlarni yigindisi deyiladi. Agar * amal × (ko‘paytirish) amalidan iborat bo‘lsa, G ni multiplikativ gruppa deyiladi, a*b ni a×b yoki ab ko‘rinishda belgilanadi hamda a va b elementlarning ko‘paytmasi deyiladi.
5-misol. A={x,y} - ikki elementli to‘plam, G={y₁,y₂} - A ni o‘ziga biektiv akslantirishlar to‘plami bo‘lib, j₁(x)=x, j₁(u)=u j₂(x)=u, j₂(u)=x ko‘rinishda berilgan va ° akslantirishlarning ko‘paytmasi (kompozitsiyasi) dan iborat bo‘lsin, u holda G algebra Abel gruppasi bo‘ladi.
Haqiqatan ham, gruppaning 1⁰ aksiomasining bajarilishini bevosita tekshirib ko‘rish mumkin.
Masalan.
[(j₂ j₁) j₂](x)=(j₂ j₁) j₂(x)=(j₂ j₁)(y)=j₂(j₁(y)) = =j₂(y) =xÞ(j₂ j₁) j₂=j₁; [j₂ (j₁ j₂)](x)=j₂ (j₁(x)))=j₂(j₁(y)) = j₂(y)= =xÞ j₂ (j₁ j₂)= j₁
bulardan
(j₂ j₁) j₂=j₂ (j₁ j₂)
kelib chiqadi. Qolgan mumkin bo‘lgan hollarni ham shu kabi tekshirib ko‘rish mumkin. 1⁰. G da j₁ neytral element vazifasini bajaradi. 2⁰ j₁ va j₂ larning har biri o‘z - o‘ziga teskari bo‘ladi.
(j₂ j₂)(x)= j₂(j₂)(x)=j₂(u)=xÞj₂ j₂=j₁ j₁,
(j₂ j₂)(u)= j₂(j₂)(u)=j₂(u)=u j₁(u) Þ
j₂ j₂= (j₁ j₁)(x)=j₁(j₁(x))=j₁(x), (j₁ j₁)(u)=j₁(j₁(u))=j₁(y) Þ j₁ j₁=j₁
Demak, j₁^-1=j₁, j₂^-1=j₂
4⁰. j₁ j₂=j₂ j₁ ekanligini bevosita tekshirib ko‘rish oson. Demak, G Abel gruppasi ekan.
Gruppaning quyidagi xossalarining mulptiplikativ gruppa uchun keltiramiz. Bu xossalar ixtiyoriy gruppalar uchun ham o‘ringa ega bo‘ladi. Bu holda * amal ko’paytirish, e=1 a¹=a^-1 dan iborat bo‘ladi.
1-teorema. Agar G gruppa bo‘lsa, "aÎ G uchun a^-1a=1 tenglik uringa ega bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik x Î G a^-1Î G ga teskari element bo‘lsa, ya’ni a^-1x=1. U holda a=a×1=a(a^-1×x)=1×x, a=1×x , a^-1a=a^-1×(1×x)=(a^-1×1)x=a^-1×x=1, ya’ni a^-1x=1.
Teorema isbotlandi.
2-teorema. G gruppa bo‘lsa, "aÎ G 1×a=a bo‘ladi.
Isbot. "aÎ G a^-1×a=1 3⁰ aksiomadan esa aa^-1=1 kelib chiqadi. Shuning uchun 1×a=(a×a^-1)a=a×(a^-1×a)= a×1=a. Demak, 1×a=a.
3-teorema. Agar ax=1 va au=1 bo‘lsa, x=u bo‘ladi.
Isbot. au=1 u=a^-1 shuning uchun 1-teoremadan ua=1 tenglik o‘rinli u=u1=u(ax)=(ua)x=1x=x.
Demak, x=u.
1-natija. G gruppa bo‘lsa "aÎ G (a^-1)^-1=a bo‘ladi.
Haqiqatan ham, a^-1a=aa^-1=a, (a^-1)^-1=a.
2-natija. G ixtiyoriy gruppada "a,bÎ G ax=b va ya=b tenglamalar yagona x=a^-1b, y=ba^-1 yechimlarga ega.
3-natija. G gruppa bo‘lsa, 1(e) undagi yagona birlik (neytral) element bo‘ladi.
4-natija. "a,bÎ G uchun (ab^-1)=b^-1a^-1 tenglik o‘ringa ega.
Haqiqatan ham, (ab)(b^-1a^-1)=a(bb^-1)a^-1=(a1)a^-1=aa^-1=1.
4-ta’rif. G gruppaning N¹Æ qism to‘plami uning qism gruppasi (gruppa ostisi) deyiladi. Agar H G da aniqlangan amalga nisbatan o‘zi gruppa bo‘lsa.
4-teorema. N¹Æ to‘plami G gruppaning qism to‘plami bo‘lsin. H G ning qism gruppasi bo‘lishi uchun
a) "a,bÎ HÞa*bÎ H;
b) aÎ NÞ a'Î H shartlar o‘ringa ega o‘ringa ega bo‘lishi zarur va yetarlidir.


2.2-§. Algebrik amallarga nisbatan halqa va maydonning
umumiy ta’riflari
Aytaylik, E- bo‘sh bo‘lmagan to‘plam. +, × undagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari bo‘lsin.
5-ta’rif. Agar E to‘plamda aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa E ni halqa deyiladi,
Ya’ni:

Agar E halqada
7. aksioma o‘ringa ega bo‘lsa E kommutativ halqa deyiladi.
Agar E kommutativ halqada
8. bo‘lsa E birlik elementga ega bo‘lgan holda jism deyiladi.
Agar E kommutativ halqada
8.
9.
aksiomalar o‘rniga ega bo‘lsa, E ni maydon deyiladi.
1-4 aksoimalardan E kommutativ additiv gruppa ekanligi kelib chiqadi, uni E halqaning additiv gruppasi deyiladi.
6-ta’rif. Agar bo‘lsa, u holda E halqaning a va b elementlarini nolning bo‘luvchilari deyiladi.
7-ta’rif. Nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmagan halqani butunlik soxasi deyiladi.
Misollar:
6-misol. Z - butun sonlar to‘plami odatdagidek qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan kommutativ, birlik elementga ega bo‘lgan halqa bo‘ladi:
7-misol. halqa bo‘ladi.
8-ta’rif. E halqa va E É K ¹ Æ uning qism to‘plami bo‘lib, K ham E dagi amallarga nisbatan halqa bo‘lsa K halqa E halqaning qism halqasi bo‘ladi.
9-ta’rif. R maydon va R É N ¹ Æ uning qism to‘plami bo‘lib, R maydonda aniqlangan amallarga nisbatan N maydon bo‘lsa, N maydon E maydonning qism maydoni deyiladi.
10-ta’rif. Aytaylik R maydon E butunlik soxasi bo‘lsin. Agar;
1. E R ni qism halqasi bo‘lsa.
2. shartlar o‘rinli bo‘lsa, u holda R ni E butunlik soxasining nisbatlari maydoni deyiladi.
Masalan. Q- ratsional sonlar maydoni Z butun sonlar halqasining nisbatlari maydoni bo‘ladi.
Agar E halqa bo‘lsa, uchun quyidagi tengliklar o‘ringa ega bo‘ladi:

Agar R maydon bo‘lsa, quyidagi munosabatlar o‘ringa ega bo‘ladi:
5-teorema. Aytaylik E halqa K esa uning bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plami bo‘lsin. K E halqaning qism halqasi bo‘lish uchun
a) "a,bÎ K, a+b, a×b Î E
b) aÎ K Þ (-a)Î K shartlarni o‘ringa ega bo‘lish zarur va yetarlidir.
2.3-§. Maydon va uning asosiy xususiyatlari
Endi halqalarning umumiy nazariyasiga yana qaytamiz. Halqalar uchun oddiy algebra va arifmetikadagi ko‘p qonunlarning saqlanib qolishini biz aniqlangan edik. Agarda biz quyidagi ikki shartning bajarilishini talab qilsak:
1) R halqa kommutativ bo‘lsin;
2) ax=b tenglama a0 bo‘lganda, har vaqt R ichida yechiladigan bo‘lsin, u holda halqaning algebraik xossalari yana ham kuchayadi. Quyidagi ta’rifni kiritamiz.
Maydon deb shunday kommutativ R halqaga aytiladiki, uning ichida hech bo‘lmaganda bitta noldan farq qiladigan element mavjud bo‘lib R dan olingan har qanday a0 va b elementlar uchun R ichida ax=b yechiladigan tenglamadir (taqsim qilishning bajarilishi).
Maydon qanday qo‘shimcha hossalar ega ekan? Maydon noldan va qarama-qarshi elementlardan boshqa yana birlik elementga va teskari elementlarga ega bo‘lar ekan.
Faraz qilaylik c0 maydonning biror elementi bo‘lsin. Maydon ta’rifi bo‘yicha har vaqt shunday e elementni tanlab olish mumkinki, natijada
(4)
bo‘ladi. Ochiq ma’lumki, e0. Agar e=0 bo‘lsa edi, c=ce=0 bo‘lib, c0 shart buzilgan bo‘lar edi.
Ko‘rsatish mumkinki, e maydonning birlik elementidir, ya’ni har qanday a element uchun

bo‘ladi. Isbot qilish maqsadida maydondan shunday x elementni tanlab olamizki, u quyidagi tenglamani qanoatlantirsin
(5)
so‘ngra bu tenglamaning ikki tomonini e ga ko‘paytiramiz. U vaqtda, assotsiativ va kommutativ qonunlardan foydalansak, mana bu

hosil bo‘ladi yoki (4) va (5) larga binoan

bo‘ladi. O‘z-o‘zidan ma’lumki, ea ham a ga teng, chunki maydon kommutativ halqadir.
Endi mana bu
(6)
tipdagi tenglamani ko‘rib chiqaylik. Buning bittagina yechimga ega ekanligini quyidagicha ko‘rsatish mumkin. Faraz etaylik (6) tenglamaning yechimi bitta emas, balki ikkita bo‘lsin: x=x₁, x=x₂, u vaqtda
(7)
(8)
bo‘ladi. (7) tenglikning ikki tomonini x₂ ga ko‘paytiramiz:
.
Lekin ikkinchi tomondan, (8) ga asosan

bundan x₁ = x₂ hosil bo‘ladi.
(8) tenglamaning yolg‘iz birgina yechilmasini yoki orqali belgilash va a ga nisbatan teskari element deb aytish qabul qilingan. Ya’na shuni ham eslab o‘tamizki, bo‘ladi, chunki tenglamaning yechilmasi, shubhasiz a bo‘ladi:

Endi umumiy holga o‘tamiz:
.
Buning ikki tomonini ga ko‘paytirish bilan biz yolg‘izgina yechilmaga ega bo‘lamiz va uni ko‘rinishda yozamiz. simvol ustida bo‘ladigan amallarning kasrlar ustida bo‘ladigan amallardan hech qanday farqi yo‘qligini ko‘rish qiyin emas: bo‘lganda va faqat shu holdagina bo‘ladi.
(qo‘shish qoidasi)
(ko‘paytirish qoidasi) ;
(bo‘lish qoidasi)
Shu munosabatlarning hammasini isbot qilamiz.
Birinchisidan boshlaymiz. tenglikning ikki tomonini bd ga ko‘paytirsak
yoki ad=bc
bo‘ladi.
Aksincha, ad=bc bo‘lsin. Bu tenglikning ikki tomonini ni ko‘paytirsak
yoki
kelib chiqadi.
Qo‘shish qoidasini isbot qilmoq uchun ni bd ga ko‘paytirib, distributiv qonundan foydalansak

yoki ba’zi ma’lum bo‘lgan qisqartishlardan keyin mana bu

kelib chiqadi. Nihoyat, so‘nggi tenglikning ikki tomonini ga ko‘paytirib ushbu natijaga ega bo‘lamiz:

Uchinchi munosabat ham (ko‘paytirish qoidasi) aynan shu usulda isbot qilinadi. Ya’ni:

buning ikki tomonini ga ko‘paytirilsa

hosil bo‘ladi.
Endi bo‘lish qoidasini tekshiramiz. Ma’lumki

Haqiqatan ham, ga nisbatan teskari elementdir, chunki ko‘paytirish qoidasiga muvofiq

Demak,

shuni isbot qilish kerak edi.
Arifmetikaning odatdagi qonunlari maydon uchun ham saqlanganidan, butun darajalar ustida bo‘ladigan hamma ma’lum qoidalarni aynan elementar algebradagi kabi keltirib chiqarish mumkin. Shu bilan birga manfiy ko‘rsatkichli daraja deb (m- butun musbat son ) biz ni tushunamiz. Manfiy ko‘rsatkichli bo‘lmagan darajani biz yuqorida aniqlangan edik.
Nihoyat, quyidagi arifmetik qonunning maydonda ham bajarilishini qayd qilib o‘tamiz: agarda ikkita ko‘paytiruvchining ko‘paytmasi nolga teng bo‘lsa, u holda ko‘paytiruvchilardan kamida bittasi nolga teng bo‘ladi, boshqacha aytganda maydon nolning bo‘luvchilariga ega emas.
Bu oddiy isbot qilinadi: a  0 bo‘lsin, u holda ab=0 tenglikning ikki tomonini ga ko‘paytirsak b=0 kelib chiqadi.
Yuqorida bayon qilingan fikrlarni yakunlaymiz. Biz yuqorida ko‘rdikki maydon faqat nol va qarama-qarshi elementlargagina ega bo‘lmasdan, balki birlik elementga va teskari elementlarga ham ega. Undan tashqari, maydon nolning bo‘luvchilariga ega emas.
Mana shu aytilganlarning mohiyati nima. Buning manosi shuki,
1) qo‘shish amaliga nisbatan maydon abel gruppasidir,
2) ko‘paytirishga nisbatan, maydonning noldan boshqa hamma elementlari abel gruppasini tashkil qiladi.
Maydonlarga misollar.
8-misol. Arifmetik qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan, hamma ratsional sonlar to‘plami maydon uchun eng sodda misol bo‘la olaydi. Darhaqiqat, amallarga nisbatan ratsional sonlar to‘plami kommutativ halqa tashkil qilib, ratsional a  0 va b uchun ax=b tenglama shu halqada hamma vaqt yechiladigan tenglamaladir. Chunki ikkita ratsional sonning nisbati yana ratsional son bo‘ladi.
Aksincha, hamma butun sonlar to‘plami arifmetik qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan maydon emas, faqat kommutativ halq tashkil etadi, chunki uning ichida ax=b (a0) tenglamani har vaqt ham yechib bo‘lavermaydi, bunga sabab shuki, ikkita butun sonning nisbati har doim butun bo‘lavermaydi.
9-misol. Boshqa misol-hamma haqiqiy (ya’ni ratsional va irratsional) sonlar to‘plami oldingi arifmetik amallarga nisbatan maydon tashkil qiladi, chunki bu to‘plam ko‘rayotgan amallarga nisbatan kommutativ halqa tashkil qilib, shu to‘plamda taqsim qilish amali har vaqt bajariladi (albatta, nolga bo‘lish chiqarib tashlanadi). Bu ishimizda biz ko‘pincha sonli maydonlar bilan ish ko‘ramiz, ya’ni shunday sonli halqalar bilan ish ko‘ramizki, ular ichida bo‘lish amalini, nolga bo‘lishni e’tiborga olmaganda bajarish mumkin bo‘lsin. Hamma kompleks sonlar to‘plami eng keng sonli maydon tashkil qiladi: u har qanday sonli maydonni o‘z ichida bir qismi sifatida saqlaydi.
10-misol. Hamma butun sonlarni ikki sinfga ajratamiz: juft sonlar sinfiga va toq sonlar sinfiga. Birinchi sinfni A₀ orqali va ikkinchi sinfni A₁ orqali belgilashni shart qilib olamiz, so‘ngra ikkita A₀ va A₁ elementlardan iborat bo‘lgan S to‘plamni tekshiramiz. Bu to‘plamda biz ikkita algebraik amalni – sinflarni qo‘shish va ko‘paytirishning ta’rifini beramiz.
A_i va A_j sinflarning A_i+A_j yig‘indisi deb biz A₀ va A₁ sinflardan shunisini tushunamizki u, A_i sinfning har bir sonini A_j sinfning har bir soni bilan qo‘shishdan hosil bo‘lgan butun sonlarning hammasini o‘z ichida saqlasin.
A_i va A_j sinflarning A_iA_j ko‘paytmasi deb A₀ va A₁ sinflardan shunisini aytamizki, uning ichida A_i sinfning har bir sonini A_j sinfning har bir soni bilan ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan hamma butun sonlar bo‘lsin.
Quyidagicha bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas
(9)
va
(10)
(9) tengliklarning to‘g‘riligi shundan ma’lumki, ikkita juft sonning yig‘indisi ham juft son, juft son bilan toq sonning yig‘indisi ham toqdir va hamma ikkita toq son yig‘indisi juft sondi. (10) tenglikning to‘g‘riligi ham shunga o‘xshash fikrlarga asoslanadi.
Shunday qilib, biz S to‘plamda ikkita algebraik amal tayinladik – sinflarni qo‘shish va ko‘paytirish. Bu amallar kommutativ, assotsiativ va distributiv qonunlarga bo’ysunadi, chunki bu amallar butun sonlarni arifmetik qo‘shish va ko‘paytirish amallarni bilan bog‘langandir, bular uchun esa yuqoridagi qonunlar to‘g‘ridir.
(9) tengliklardan bevosita ko‘rinadiki, A₀ sinf S to‘plamning nolli elementi bo‘lib xizmat qiladi va S to‘plamning har bir elementi o‘z-o‘ziga qarama-qarshi (A₀ sinf uchun A₀ o‘zi qarama-qarshi, A₁ uchun qarama-qarshi A₁ ning o‘zidir). Demak, biz A₀ sinfni 0 orqali belgilay olamiz. O‘z-o‘zidan ma’lumki, bundagi 0 to‘plam S ning nolli A₀ elementining belgilanishi bo‘lib, 0 son emasdir.
Shunday qilib S to‘plam sinflarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan kommutativ halqa tashkil qiladi. Biz hozir S ning maydon ekanligini ham ko‘ramiz.
Haqiqatan ham, (10) tengliklarga murojaat qilaylik. Ular har qanday a  0 va b uchun ax=b tenglamaning S ichida yechilishini ko‘rsatadi, masalan, A₁ x = A₀ tenglamaning yechilmasi x=A₀ va A₁x=A₁ tenglamaning yechimi x=A₁ bo‘ladi.
(10) tengliklardan ayonki, S maydonning birlik elementi A₁ sinfdan iboratdir. Demak, biz uni e orqali belgilay olamiz.
Shunday belgilashlar natijasida (9) va (10) tengliklar quyidagi ko‘rinishni oladi:
(11)
Hozir tekshirilgan maydonga misol quyidagi tomondan o‘rnlidir. (11) tengliklardan bittasini, masalan e+e=0 ni olaylik. Endi a elementning ka karralisining ta’rifini eslasak biz e+e=0 tenglikni 2e=0 ko‘rinishda yozaolamiz. Bundan biz ko‘ramizki, birlik e elementining musbat ne karrasi nolga bo‘lgan maydonlar ham mavjud ekan.
Shunday qilib ikki tipdagi maydonlar bor: birlik e elementining faqat nolli qarrasi nolga teng bo‘lgan maydon va birlik e elementining faqat nolga teng bo‘lgan maydon. Ikkinchi tipdagi maydon uchun shunday butun musbat r son mavjud bo‘lishi kerakka, u son uchun re=0 bo‘lib, r dan kichik bo‘lgan har qanday butun musbat n son uchun ne nolga teng bo‘lmaydi. Biz shunday r sonni maydonning xarakteristikasi deb ataymiz va shunga ko‘ra ikkinchi tipdagi maydonlarni chekli xarakteristikaga ega bo‘lgan, yani r xarakteristikali maydonlar deymiz, birinchi tipdagi maydonlarni esa, nolli xarakteristikaga ega bo‘lgan maydonlar deymiz.
Chekli xarakteristikali maydonlar quyidagi xossalarga ega.
1.Agarda r maydon chekli r xarakteristikali bo‘lsa, u holda r tub son bo‘lishi kerak.
Isbot. Aksincha faraz etaylik, r - murakkab son bo‘lsin:

bundagi n₁, n₂ sonlar r dan kichik bo‘lgan butun musbat sondir. Distributiv qonunga asosan


bo‘ladi. bundan ushbu natija kelib chiqadi:

Lekin biz bilamizki, maydonda nolning bo‘luvchilari bo‘lmaydi. Shuning uchun yoki bo‘ladi, biroq bunday bo‘lishi mumkin emas, chunki ta’rif bo‘yicha r xarakteristika, tenglikni hosil qiladigan, butun musbat n sonlar orasidagi eng kichik sondir.
2. Chekli r xarakteristitkali r maydondan olingan ixtiyoriy a element uchun ra=0 bo‘ladi.
Isbot. a elementning musbat karrasi ta’rifiga muvofiq biz quyidagicha yoza olamiz

.
Nolni xarakteristikaga ega bo‘lgan maydonlarga murojaat qilib, ularning tubandagi xossalarini qayd qilib o‘tamiz.
Agar R nol xarakteristikali maydon, a-P ning elementi, k – butun son bo‘lsa, u holda ka=0 tenglik faqat a=0 yoki k=0 bo‘lganda va faqat shu holdagina bajariladi.
Haqiqatan ham, agar a=0 yoki k=0 bo‘lsa, shubhasiz ka ham nolga teng bo‘ldi.
Aksincha, faraz etaylik ka=0 bo‘lsin. U vaqtda k musbat yoki nolga teng bo‘lganda mana bu

hosil bo‘ladi, endi bundan, R maydonda nolning bo‘luvchilari bo‘lmaganligi uchun, a=0 yoki ke=0 kelib chiqadi. So‘nggi holda k nolga teng bo‘lishi kerak, chunki R maydonning xarakteristikasi nolga teng.
k manfiy yoki nolga teng bo‘lgan holda k=-n faraz etsak:

hosil bo‘ladi, bundan yoki , yani yoki kelib chiqadi.
3. misoldagi S maydonning xarakteristikasi 2 ga teng ekanligini ko‘rish mumkin. Ravshanki, hamma sonli maydonlar nol xarakteristikali maydonlardan iboratdir.
Maydonga tegishli yana bitta misolni ko‘rib chiqaylik.
4. M orqali ushbu

ko‘rinishga ega bo‘lgan hamma matritsalar to‘plamini belgilaymiz, bundagi a,b - turli haqiqiy sonlardir. Matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan berilgan to‘plamning maydon tashkil qilishini ko‘rsatamiz.
Matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirish amallarining bir qiymatli ekanligiga shubha yo‘q. Shuning uchun endi bu amallarning M to‘plam ichida bajarilishi mumkin ekanligini ko‘rsatamiz. M dan olingan ushbu ikkita ixtiyoriy

matritsalarni qo‘shsa va o‘zaro ko‘paytirsak mana bu natija

hosil bo‘ladi, bulardagi

yani biz o‘sha tipdagi matritsaga ega bo‘ldik.
Matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirishnig assotsiativ va distributiv qonunlarga bo‘ysunishini, uning ustiga, matritsalarni qo‘shishning kommutativ qonunga bo‘ysunishini biz o‘z vaqtida aniqlab o‘tgan edik. SHuning uchun biz endi bu erda ko‘paytirishning kommutativ qonunga bo‘ysunishligini aniqlaymiz. Haqiqatan ham, buning to‘g‘riligiga ishonishi mumkin:

Tekshirilayotgan to‘plamning matritsalari orasida nolli matritsa ham bo‘ladi va har qanday

matritsa uchun teskari bo‘lgan

matritsa ham M to‘plamga qarashli bo‘ladi, chunki – A matritsa A kabi ko‘rinishga ega. Shunday qilib biz ko‘ramizki, matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan M to‘plam kommutativ halqa tashkil qiladi.
Endi M dan olingan har qanday A  0 va V matritsalar uchun Ax=B tenglamaning M ichida yechilishi mumkin ekanligini ko‘rsatish qoladi. Bu esa, A 0 matritsaning maxsusmas ekanligidan kelib chiqadi. Darhakikat, A  0 bo‘lgani uchun A matritsaning a,b elementlaridan kamida bittasi noldan farq qiladi, shunga ko‘ra u matritsaning ushbu

determinanti nolga teng bo‘lmaydi.
A 0 maxsusmas matritsa bo‘lgani uchun unga teskari bo‘lgan matritsa, albatta, bor. Shuni topamiz:

bundagi
.
Ko‘ramizki, M to‘plamga tegishli matritsa kelib chiqdi. Endi biz tenglamamizning yechimini yoza olamiz. Bu esa x=A^-1B dan iborat bo‘lib, shubhasiz, A^-1B yana M to‘plamga qarashlidir, chunki A^-1 va B matritsalar M ga qarashlidir. Binobarin, biz ko‘rsatdikki, matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirishga nisbatan M to‘plam maydonni tashkil qiladi.
Maydon tushunchasi bizga nima beradi? Bu tushuncha hamma natijalarini har qanday maydonga tarqatishga yo‘l ochadi. Determinantlar nazariyasi, chiziqli tenglamalar nazariyasi, chiziqli almashtirmalar va matritsalar nazariyasi, n- o‘lchovli vektorial fazolar va ularning chiziqli almashtirmalari nazariyasi – kompleks sonlar maydoni uchun bayon qilingan mana shu nazariyalarning hammasi hech qanday o‘zgarishsiz ixtiyoriy R maydonga o‘tkazilishlari mumkin faqat bu joyda sonlar to‘g‘risida emas, balki tekshirilayotgan R maydonning elementlari to‘g‘risida so‘zlashga to‘g‘ri keladi. Bu, albatta tushunarlik bir narsa, chunki isbotimiz maydonning algebraik amallarining umumiy xossalariga asoslangan edi.
Hozirgi aytilgan fikrimizga qo‘shimcha qilib shuni qayd qilib o‘tamizki, a_i koordinatalari R maydondan olingan n- o‘lchovli vektorni R maydon ustidagi n- o‘lchovli vektor va shunday vektorlarning to‘plamini R maydon ustidagi n- o‘lchovli vektorial fazo deb aytish qabul qilingan.
Algebraning asosiy vazifasi algebraik amallarning xossalarini o‘rganishdan iborat ekanligini eslatib o‘tgan edik. Algebraik nuqtai nazardan o‘rnashtirilgan amalga nisbatan o‘zlarini bir xilda olib boradigan to‘plamlar orasida hech qanday farq yo‘q, ularni aynan bir xil deb hisoblash mumkin.
XULOSA

Ushbu kurs ishimda matematikaning asosiy tushunchalaridan bo‘lgan algebra va algebraik sistemalar ko‘rib chiqildi. Algebraik sistemalar orqali matematikaning turli bo‘limlari aksiomatik qurilishga ega bo‘ladilar. Aksiomatik qurish esa matematika rivojida asosiy negiz bo‘lib xizmat qiladi.

Kurs ishida to‘plam va to‘plamlar ustida amallar, algebraik amallar va ularning turlari, gruppa, yarimgruppa va monoidlar, algebrik amallarga nisbatan halqa va maydonning umumiy ta’riflari, maydon va uning asosiy xususiyatlari ko‘rib chiqildi va misollar bilan boyitildi. Ko‘rilgan masalalar muhim ahamiyatga ega bo‘lib matematikaning turli bo‘limlari uchun umumiy xossalar aytish imkoniyatini beradi.
Masalan maydon tushunchasi bizga nima beradi? Bu tushuncha hamma natijalarini har qanday maydonga tarqatishga yo‘l ochadi. Determinantlar nazariyasi, chiziqli tenglamalar nazariyasi, chiziqli almashtirmalar va matritsalar nazariyasi, n- o‘lchovli vektorial fazolar va ularning chiziqli almashtishlari nazariyasi – kompleks sonlar maydoni uchun bayon qilingan mana shu nazariyalarning hammasi hech qanday o‘zgarishsiz ixtiyoriy R maydonga o‘tkazilishlari mumkin faqat bu joyda sonlar to‘g‘risida emas, balki tekshirilayotgan R maydonning elementlari to‘g‘risida so‘zlashga to‘g‘ri keladi.
Xulosa qilib shuni aytish kerak-ki, algebra va algebraik sistemalar matematikaning fundamental bo’limlaridan hisoblanadi. Va buni o’rganish juda ko’p masalalarning yechimini topish demakdir.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1. 
   I.A.Karimоv “Yuksak malakali mutaxassislar-taraqqiyot оmili”. T.: O’zbekistоn, 1995-y.
   
2. 
   I.A.Karimоv “Vatan ravnaqi uchun har birimiz mas’ulmiz”.T.: O’zbekistоn, 2001-y.
   
3. 
   I.A.Karimоv “Insоn, uning huquq va erkinliklari - оliy qadriyat”.T: “O’zbekistоn nashriyot-matbaa ijоdiy uyi”, 2006-y.
   
4. 
   Курoш А.Г. Oлий алгeбра курси , Тoшкeнт «Ўқитувчи», 1967й
   
5. 
   Iskandarov R. Oliy algebra, 2- qism Toshkent «Oliy va o‘rta maktab», 1963
   
6. 
   Gaymnazarov G. Funksional analiz kursidan masalalar yechish. Toshkent «Fan va texnologiya» 2006 y.
   
7. 
   Gaymnazarov G., Jomuratov K. Chiziqli algebra elementlari. Guliston 1999y
   
8. 
   Фадeeв Д.К., Сoминский И.С. ,Сбoрник задач пo висшьей алгeбра. М.»Науки»,1977.
   
9. 
   Ҳ.Маҳмудов. Алгебра ва сонлар назариясидан амалий машғулотлар. - Фарғона ФДУ.2002. -119 б..
   

		Internet saytlari
	Maktabda axborot texnologiyalari			www.edunet.uz
	Talaba-yoshlar sayti			www.study.uz www.student.uz
	Bilim portali			www.ziyonet.uz www.pedagog.uz